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距離空間の位相

距離空間における境界点・境界

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境界点・境界

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)の任意の近傍が\(A\)とその補集合\(A^{c}\)の双方と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の境界点(frontier point)と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素と\(A^{c}\)の要素の双方が存在することを意味します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)のすべての境界点からなる集合を\(A\)の境界(frontier)と呼び、\begin{equation*}A^{f},\quad \partial A
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}x\in A^{f}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon
}(a)\cap A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}という関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の境界点\(a\in A^{f}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立ちます。\(\left(A^{c}\right) ^{c}=A\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A^{c}\)の境界点であること、すなわち\(a\in \left( A^{c}\right) ^{f}\)であることを意味します。つまり、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分です。\(A\)と\(A^{c}\)は同じ境界を持つということです。

命題(集合と補集合は境界を共有する)
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{c}\right) ^{f}
\end{equation*}が成り立つ。

繰り返しになりますが、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)と点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}と必要十分です。したがって、\(a\)が\(A\)の境界点でないこと、すなわち\(a\in X\backslash A^{f}\)であることは上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}=\phi \vee
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}=\phi \right] \end{equation*}が成り立つこととして表現されます。さらに、集合\(A,B\)について\(A\subset B\)と\(A\cap B^{c}=\phi \)は必要十分であることを踏まえると、上の命題は、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\subset A\vee
N_{\varepsilon }(a)\subset A^{c}\right] \end{equation*}と必要十分ですが、これは\(a\)が\(A\)の内点または外点であること、すなわち\(a\in A^{i}\cup A^{e}\)であることを意味します。つまり、\(a\)が\(A\)の境界点でないことは、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることと必要十分です。言い換えると、\(A\)の境界の補集合は\(A\)の内部と外部の和集合と一致します。

命題(境界の補集合)
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つ。

上の命題を踏まえると、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}という関係もまた成立します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることと、点\(a\)が集合\(A\)の内点と外点のどちらでもないことは必要十分です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点や外点ではないことが分かっている場合、その点\(a\)は集合\(A\)の境界点であることが保証されます。言い換えると、\(A\)の境界点を\(A\)の内点や外点ではない\(X\)上の点として定義できます。同じことですが、\(A\)の境界を\(A\)の内部と外部の和集合の補集合と定義することもできます。

復習になりますが、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の内点は常に\(A\)の点であり、外点は常に\(A^{c}\)の点です。つまり、\begin{eqnarray*}A^{i} &\subset &A \\
A^{e} &\subset &A^{c}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。一方、\(A\)の境界点については、それが\(A\)の点である場合と\(A^{c}\)の点である場合の双方が可能性として起こり得ます。以下の例より明らかです。

例(ユークリッド空間上の点の開近傍の境界)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は距離空間です。ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする開近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な開区間\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-x,a+x\right)
\end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤(境界を除く)\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の境界は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります(演習問題)。つまり、\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の境界点はいずれも\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素ではありません。
例(ユークリッド空間上の点の閉近傍の境界)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は距離空間です。ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な閉区間\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left[ a-x,a+x\right] \end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤(境界を含む)\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の境界は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります(演習問題)。つまり、\(C_{\varepsilon}\left( a\right) \)の境界点はいずれも\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素です。

距離空間の部分集合は境界点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(離散空間の部分集合の境界)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その境界は、\begin{equation*}A^{f}=\phi
\end{equation*}となります(演習問題)。

 

内部・外部・境界の関係

繰り返しになりますが、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)と点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点でないことと、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることは必要十分であるため、\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。加えて、集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるため、\(A^{i}\)と\(A^{e}\)は交わりません。したがって、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(X\)は\(A\)の内部、外部、境界に分割することができ、なおかつそれら3つの集合が互いに交わらないことが保証されます。

命題(内部・外部・境界の関係)
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(X\)は\(A\)の内部、外部、そして境界に分割される。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X=A^{i}\cup A^{e}\cup A^{f} \\
&&\left( b\right) \ A^{i}\cap A^{e}=\phi \\
&&\left( c\right) \ A^{i}\cap A^{f}=\phi \\
&&\left( d\right) \ A^{e}\cap A^{f}=\phi
\end{eqnarray*}が同時に成り立つ。

証明

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以前に指摘したように、距離空間\(X\)の部分集合の内部や外部はいずれも\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。この事実と、境界が内部と外部から間接的に定義可能であることを踏まえると、距離空間\(X\)の部分集合の境界という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義可能な概念ということになります。

 

境界を用いた閉集合の定義

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(X\)は\(A\)の内部・外部・境界に分割されることから、\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)はいずれも\(X\)上の開集合であるため、それらの和集合\(A^{i}\cup A^{e}\)もまた開集合です。したがって、その補集合\(\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}\)と一致する境界\(A^{f}\)は\(X\)上の閉集合です。

命題(境界は閉集合)
距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について、その境界\(A^{f}\)は\(X\)上の閉集合である。

先に例を通じて確認したように、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)について\(A^{f}\subset A\)や\(A\subset A^{f}\)などは成り立つとは限りません。実は、\(A\)が\(X\)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{f}\subset A\)という関係が成り立ちます。つまり\(A\)の任意の境界点が\(A\)の要素であることと、\(A\)が\(X\)上の閉集合であることは必要十分です。

命題(境界による閉集合の定義)
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上の閉集合であるための必要十分条件である。
証明

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演習問題

問題(ユークリッド空間上の点の近傍の境界)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は距離空間です。ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(ユークリッド空間上の点の閉近傍の境界)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は距離空間です。ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(離散空間の部分集合の境界)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その境界は、\begin{equation*}A^{f}=\phi
\end{equation*}であることを示してください。

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