境界点・境界
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)の任意の近傍が\(A\)とその補集合\(A^{c}\)の双方と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N(a)\cap A^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(X\)における\(A\)の境界点（frontier point of \(A\) in \(X\)）と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素と\(A^{c}\)の要素の双方が存在することを意味します。
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)のすべての境界点からなる集合を\(A\)の境界（frontier）と呼び、\begin{equation*}A^{f},\quad \partial A
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}x\in A^{f}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon
}(a)\cap A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
繰り返しになりますが、集合\(A\)の境界点\(a\in A^{f}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(A^{c}\right) ^{c}=A\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A^{c}\)の境界点であること、すなわち\(a\in \left( A^{c}\right) ^{f}\)であることを意味します。つまり、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分です。\(A\)と\(A^{c}\)は同じ境界を持つということです。
\end{equation*}が成り立つ。
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)と点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であること、すなわち\(a\in A^{f}\)が成り立つことは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、\(a\)が\(A\)の境界点でないこと、すなわち\(a\in X\backslash A^{f}\)であることは上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}=\phi \vee
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}=\phi \right]
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。さらに、任意の集合\(P,Q\)について、\begin{equation*}P\cap Q^{c}=\phi \Leftrightarrow P\subset Q
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、上の命題は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\subset A\vee
N_{\varepsilon }(a)\subset A^{c}\right]
\end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A\)の内点または外点であること、すなわち\(a\in A^{i}\cup A^{e}\)であることを意味します。以上より、\begin{equation*}a\in \left( A^{f}\right) ^{c}\Leftrightarrow a\in A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点でないことは、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることと必要十分です。言い換えると、\(A\)の境界の補集合は\(A\)の内部と外部の和集合と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{e}\)は\(A\)の外部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。
上の命題を踏まえると、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}もまた成立します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることと、点\(a\)が集合\(A\)の内点と外点のどちらでもないことは必要十分です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点や外点ではない場合、その点\(a\)は集合\(A\)の境界点であることが保証されます。言い換えると、\(A\)の境界点を\(A\)の内点や外点ではない\(X\)上の点として定義できます。
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)の内点は常に\(A\)の点であり、\(A\)の外点は常に\(A^{c}\)の点です。つまり、\begin{eqnarray*}A^{i} &\subset &A \\
A^{e} &\subset &A^{c}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。一方、集合\(A\)の境界点については、それが\(A\)の点である場合と\(A^{c}\)の点である場合の双方が起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。境界は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。\(\left( a,b\right) \)の境界点\(a,b\)はいずれも\(\left( a,b\right) \)の要素ではありません。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。境界は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。\(\left[ a,b\right] \)の境界点\(a,b\)はともに\(\left[ a,b\right] \)の要素です。
点と集合の距離を用いた境界の表現
距離空間上の点\(x\in X\)から距離空間上の非空な部分集合\(A\subset X\)の間の距離は、\begin{equation*}d\left( x,A\right) =\inf \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ y\in A\right\}
\end{equation*}と定義されますが、以上の定義を踏まえると、点\(a\in X\)が集合\(A\subset X\)の境界であることを、\begin{equation*}d\left( a,A\right) =d\left( a,A^{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立つこととして表現できます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることと、\(a\)と\(A\)の間の距離と\(a\)と\(A^{c}\)の間の距離がともにゼロであることは必要十分です。
以上の事実を踏まえると、集合\(A\subset X\)の境界を、\begin{equation*}A^{f}=\left\{ a\in X\ |\ d\left( a,A\right) =d\left( a,A^{c}\right)
=0\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
=0\right\}
\end{equation*}が成り立つ。
境界点は存在するとは限らない
距離空間の部分集合は境界点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その境界は、\begin{equation*}A^{f}=\phi
\end{equation*}となります（演習問題）。
内部・外部・境界の関係
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。加えて、集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるため、\(A^{i}\)と\(A^{e}\)は交わりません。したがって、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(X\)は\(A \)の内部、外部、境界に分割することができ、なおかつそれら3つの集合が互いに交わらないことが保証されます。
&&\left( b\right) \ A^{i}\cap A^{e}=\phi \\
&&\left( c\right) \ A^{i}\cap A^{f}=\phi \\
&&\left( d\right) \ A^{e}\cap A^{f}=\phi
\end{eqnarray*}が同時に成り立つ。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{e}\)は\(A\)の外部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。
距離空間\(X\)の部分集合の内部や外部はいずれも\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)から間接的に定義される概念です。この事実と、境界が内部と外部から間接的に定義可能であることを踏まえると、距離空間\(X\)の部分集合の境界という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)から間接的に定義可能な概念ということになります。
境界を用いた閉集合の定義
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A^{f} &\subset &A \\
A &\subset &A^{f}
\end{eqnarray*}は成り立つとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件のもとで以上の包含関係が成り立つのでしょうか。
まず、\(A\)が\(X\)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{f}\subset A\)が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の任意の境界点が\(A\)の要素であることと、\(A\)が\(X\)上の閉集合であることは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上の閉集合であるための必要十分条件である。
境界を用いた閉集合であることの判定
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示してもよいということになります。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。境界は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
X^{f}\subset X
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(X\)は\(X\)上の閉集合です。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\phi ^{f}\subset \phi
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\phi \)は\(X\)上の閉集合です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その境界は、\begin{equation*}A^{f}=\phi
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
A^{f}\subset \phi
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(A\)は\(X\)上の閉集合です。
境界を用いた閉集合ではないことの判定
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の命題\begin{equation*}
A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\not\subset A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合ではないことを示してもよいということになります。つまり、\(A\)の境界点の中に\(A\)の要素ではないものが存在する場合、\(A\)は閉集合です。
ちなみに、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことは\(A\)が開集合であることを必ずしも意味しないため、\(A^{f}\not\subset A\)を示した場合、\(A\)が開集合であることを示したことにはなりません。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。境界は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}\subset \left( a,b\right)
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
境界は閉集合
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。集合\(A\)の内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)はいずれも\(X\)上の開集合であり、開集合どうしの和集合は開集合であるため\(A^{i}\cup A^{e}\)は開集合です。したがって、それと一致する\(\left( A^{f}\right) ^{c}\)は開集合であるため、その補集合である境界\(A^{f}\)は閉集合です。つまり、\(X\)の任意の部分集合の境界は\(X\)上の閉集合であるということです。
境界は距離空間に依存する
2つの異なる距離空間\(\left( X_{1},d_{1}\right) ,\left( X_{2},d_{2}\right) \)が与えられた状況において\(A\subset X_{1}\)かつ\(A\subset X_{2}\)を満たす集合\(A\)が存在する場合、\(X_{1}\)における\(A\)の境界と\(X_{2}\)における\(A\)の境界は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目した上で、\(d\)の定義域を制限して\(d:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)とすれば部分空間\begin{equation*}\left( \left[ 0,1\right] ,d\right)
\end{equation*}が得られます。部分空間もまた距離空間です。距離空間\(\mathbb{R} \)における集合\(\left[ 0,1\right] \)の境界は、\begin{equation*}\left[ 0,1\right] ^{f}=\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}である一方で、距離空間\(\left[ 0,1\right] \)における集合\(\left[ 0,1\right] \)の境界は、\begin{equation*}\left[ 0,1\right] ^{f}=\phi
\end{equation*}であり、両者は一致しません。
演習問題
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その境界は、\begin{equation*}A^{f}=\phi
\end{equation*}であることを示してください。
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert <1\right\}
\end{equation*}の境界は、\begin{equation*}
A^{f}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert =1\right\}
\end{equation*}であることを示してください。
\end{equation*}と定めます。複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d_{2}\right) \)は距離空間であり、距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(z,w\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( z,w\right) =\left\vert z-w\right\vert
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。\(\mathbb{R} \subset \mathbb{C} \)であるため、\begin{equation*}\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{C} \end{equation*}でもあります。\(\mathbb{R} \)における\(\left[ 0,1\right] \)の境界と\(\mathbb{C} \)における\(\left[ 0,1\right] \)の境界は一致しないことを示してください。
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