距離空間における境界点・境界

境界点・境界

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)の任意の近傍が\(A\)とその補集合\(A^{c}\)の双方と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の境界点（frontier point）と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素と\(A^{c}\)の要素の双方が存在することを意味します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A \)のすべての境界点からなる集合を\(A\)の境界（frontier）と呼び、\begin{equation*}A^{f},\quad \partial A
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}x\in A^{f}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon
}(a)\cap A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}という関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の境界点\(a\in A^{f}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立ちます。\(\left(A^{c}\right) ^{c}=A\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A^{c}\)の境界点であること、すなわち\(a\in \left( A^{c}\right) ^{f}\)であることを意味します。つまり、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分です。\(A\)と\(A^{c}\)は同じ境界を持つということです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)と点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であること、すなわち\(a\in A^{f}\)が成り立つことは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、\(a\)が\(A\)の境界点でないこと、すなわち\(a\in X\backslash A^{f}\)であることは上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}=\phi \vee
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}=\phi \right] \end{equation*}が成り立つことと必要十分です。さらに、任意の集合\(P,Q\)について、\begin{equation*}P\cap Q^{c}=\phi \Leftrightarrow P\subset Q
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、上の命題は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\subset A\vee
N_{\varepsilon }(a)\subset A^{c}\right] \end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A\)の内点または外点であること、すなわち\(a\in A^{i}\cup A^{e}\)であることを意味します。以上より、\begin{equation*}a\in \left( A^{f}\right) ^{c}\Leftrightarrow a\in A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点でないことは、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることと必要十分です。言い換えると、\(A\)の境界の補集合は\(A\)の内部と外部の和集合と一致します。

上の命題を踏まえると、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}もまた成立します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることと、点\(a\)が集合\(A\)の内点と外点のどちらでもないことは必要十分です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点や外点ではない場合、その点\(a\)は集合\(A\)の境界点であることが保証されます。言い換えると、\(A\)の境界点を\(A\)の内点や外点ではない\(X\)上の点として定義できます。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の内点は常に\(A\)の点であり、\(A\)の外点は常に\(A^{c}\)の点です。つまり、\begin{eqnarray*}A^{i} &\subset &A \\
A^{e} &\subset &A^{c}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。一方、集合\(A\)の境界点については、それが\(A\)の点である場合と\(A^{c}\)の点である場合の双方が起こり得ます。以下の例より明らかです。

境界点は存在するとは限らない

距離空間の部分集合は境界点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

内部・外部・境界の関係

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。加えて、集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるため、\(A^{i}\)と\(A^{e}\)は交わりません。したがって、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(X\)は\(A\)の内部、外部、境界に分割することができ、なおかつそれら3つの集合が互いに交わらないことが保証されます。

距離空間\(X\)の部分集合の内部や外部はいずれも\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)から間接的に定義される概念です。この事実と、境界が内部と外部から間接的に定義可能であることを踏まえると、距離空間\(X\)の部分集合の境界という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)から間接的に定義可能な概念ということになります。

境界を用いた閉集合の定義

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A^{f} &\subset &A \\
A &\subset &A^{f}
\end{eqnarray*}はともに成り立つとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件のもとで以上の包含関係が成り立つのでしょうか。実は、\(A\)が\(X\)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{f}\subset A\)という関係が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の任意の境界点が\(A\)の要素であることと、\(A\)が\(X\)上の閉集合であることは必要十分です。

境界を用いた閉集合であることの判定

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示してもよいということになります。

境界を用いた閉集合ではないことの判定

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の命題\begin{equation*}
A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\not\subset A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合ではないことを示してもよいということになります。つまり、\(A\)の境界点の中に\(A\)の要素ではないものが存在する場合、\(A\)は閉集合です。

ちなみに、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことは\(A\)が開集合であることを必ずしも意味しないため、\(A^{f}\not\subset A\)を示した場合、\(A\)が開集合であることを示したことにはなりません。

境界は閉集合

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。集合\(A\)の内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)はいずれも\(X\)上の開集合であり、開集合どうしの和集合は開集合であるため\(A^{i}\cup A^{e}\)は開集合です。したがって、それと一致する\(\left( A^{f}\right) ^{c}\)は開集合であるため、その補集合である境界\(A^{f}\)は閉集合です。つまり、\(X\)の任意の部分集合の境界は\(X\)上の閉集合であるということです。

演習問題