写像の極限と点列の極限の関係
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
定義域が距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が距離空間\(\left( Y,d_{Y}\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(Y\)上の点\begin{equation*}f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}へ変換する写像です。その上で、写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)を任意に選びます。集積点の定義より、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\delta \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left\{ x\in A\ |\ d_{X}\left( x,a\right)
<\delta \right\}
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在します。
このような写像\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(Y\)上の点へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in Y:\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists b\in Y,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:
\left[ 0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,b\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいて写像が収束することを証明するのは面倒です。写像の極限は点列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が写像が収束することを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in X\)および点\(b\in Y\)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、点\(a\)以外の\(A\)の点を項とするとともに、点\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。点\(a\)は集合\(A\)の集積点であるため、このような点列\(\left\{x_{n}\right\} \)は必ず存在することに注意してください。
さて、この点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は写像\(f\)の定義域\(A\)の要素であるため、それに対して写像\(f\)は像\(f\left(x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left(x_{n}\right) \)は\(Y\)上の点であるため、これを項とする新たな\(Y\)上の点列\begin{equation*}\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。このとき、この点列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。\(a\)とは異なる\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題の逆もまた成立します。つまり、写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)および点\(b\in Y\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このようにして得られた任意の点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束する場合には、写像\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つならば、写像\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
以上の2つの命題により、写像の収束概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
\end{equation*}が成り立つことは、写像\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。
この命題が要求していることは、\(a\)とは異なる\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」点列\(\left\{x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、写像\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束することを示したことにはなりません。
写像が収束することの判定
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)および点\(b\in Y\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\left\{x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より、写像\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことを示したことになります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =6
\end{equation*}が成り立つことを示します。そこで、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=2 \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=2
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。このとき、点列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }3x_{n}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \\
&=&3\cdot 2\quad \because \left( c\right) \\
&=&6
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =6
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。
写像が収束しないことの判定
先の命題は写像が収束するための必要十分条件を与えているため、写像が収束しないことを示す際にも有用です。具体的には以下の通りです。
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(Y\)上の点へ収束しないことを示せば、写像\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に\(Y\)上の点へ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(Y\)上の点へ収束することと矛盾するからです。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の点へ収束しないことを示します。具体的には、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられる点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。この点列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=0 \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たします。その一方で、点列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }f\left( \frac{1}{n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となりますが、この極限は\(\mathbb{R} \)上の点ではないため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の点へ収束しないことが明らかになりました。
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの2つの点列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して点列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束することを示せば、\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に\(Y\)上の点へ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(Y\)上の点へ収束することと矛盾するからです。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の点へ収束しないことを示します。具体的には、一般項が、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{1}{n} \\
y_{n} &=&-\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}として与えられる点列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)に注目します。点列\(\left\{x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=0 \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }f\left( \frac{1}{n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1\quad \because f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。他方で、点列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0 \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、点列\(\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }f\left( -\frac{1}{n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }0\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) \not=\lim_{x\rightarrow
\infty }f\left( y_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、このような点列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が存在することは、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の点へ収束しないことを意味します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =12
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の点へ収束しないことを証明してください。
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