実数値をとる写像の絶対値の連続性
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
さらに、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)が与えられているものとします。ただし、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対値にもとづく通常の距離関数であり、2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。この場合、\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間になります。
以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。
写像\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert f\left( x\right)
\right\vert
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
写像\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続である状況を想定します。この場合、写像\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
したがって、何らかの実数値関数\(f\)の絶対値の形をしている実数値写像\(\left\vert f\right\vert \)の連続性を検討する際には、写像の連続性の定義にさかのぼって考える前に、\(f\)が連続であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}と定める。写像\(\left\vert f\right\vert :X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続である。
\end{equation*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)上に存在する実数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続です。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)上に存在する複素数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続です。
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。\(f\)が定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において連続です。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続です。
複素数値をとる写像の絶対値の連続性
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
さらに、複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d_{1}\right) \)が与えられているものとします。ただし、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{1}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right]
^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。ただし、\(\mathrm{Re}\left( x\right) \)は複素数\(x\)の実部であり、\(\mathrm{Im}\left(x\right) \)は複素数\(x\)の虚部です。この場合、\(\left( \mathbb{C} ,d_{1}\right) \)は距離空間になります。
以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d_{1}\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}を定義します。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。
写像\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) &=&\left\vert f\left( x\right)
\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( f\left( x\right) \right) \right] ^{2}+\left[
\mathrm{Im}\left( f\left( x\right) \right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\(\left\vert f\right\vert \)の終集合\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。
写像\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続である状況を想定します。この場合、写像\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
したがって、何らかの複素数値写像\(f\)の絶対値の形をしている実数値写像\(\left\vert f\right\vert \)の連続性を検討する際には、写像の連続性の定義にさかのぼって考える前に、\(f\)が連続であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}と定め、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定める。写像\(\left\vert f\right\vert :X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続である。
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)上に存在する実数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続です。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)上に存在する複素数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続です。
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。\(f\)が定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において連続です。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\vert f\right\vert \)もまた点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(A\)上で連続です。
ベクトル値をとる写像のノルムの連続性
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
さらに、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)が与えられているものとします。ただし、ユークリッド距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。この場合、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d_{1}\right) \)は距離空間になります。
以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合がユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d_{1}\right) \)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}へ変換する写像です。
写像\(\boldsymbol{f}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( x\right) &=&\left\Vert
\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ f_{n}\left(
x\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)の終集合\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。
写像\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続である状況を想定します。この場合、写像\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
したがって、何らかのベクトル値写像\(\boldsymbol{f}\)のノルムの形をしている実数値写像\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)の連続性を検討する際には、写像の連続性の定義にさかのぼって考える前に、\(\boldsymbol{f}\)が連続であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}と定める。写像\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、\(\left\vert \boldsymbol{f}\right\vert \)もまた点\(a\)において連続である。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\vert \boldsymbol{f}\right\vert \)もまた\(A\)上で連続である。
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)上に存在する実数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}へ変換する写像です。\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた点\(a\)において連続です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(A\)上で連続です。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)上に存在する複素数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}へ変換する写像です。\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた点\(a\)において連続です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(A\)上で連続です。
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{m}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}へ変換する写像です。\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において連続です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(A\)上で連続です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}へ変換する写像です。\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続ならば、先の命題より\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた点\(a\)において連続です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が\(A\)上で連続ならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(A\)上で連続です。
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