連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。この写像\(f\)は以下の2つの条件を満たすものとします。
1つ目の条件は、\(f\)の定義域\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるということです。つまり、\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在する状況を想定します。
2つ目の条件は、\(f\)が\(A\)上において連続写像であるということです。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall a\in A,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。ただし、\(f\)が\(A\)上において連続であることと、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。ただし、\(\mathcal{O}\left( Y\right) \)は\(Y\)の開集合系であり、\(\mathcal{O}\left( A\right) \)は\(A\)の開集合系です。
以上の条件が満たされる場合には、\(f\)による\(A\)の像\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in Y\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}が\(Y\)上のコンパクト集合になることが保証されます。つまり、連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になるということです。
命題（連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとする。\(f\)が\(A\)上の連続写像であるとともに、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるならば、\(f\left( A\right) \)は\(Y\)上のコンパクト集合である。
例（連続写像によるコンパクト距離空間の像はコンパクト集合）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられているものとします。\(f\)は\(X\)上の連続写像であるとともに、\(X\)はコンパクト距離空間であるものとします。すると先の命題より、\(f\left(X\right) \)は\(Y\)上のコンパクト集合です。
例（連続写像によるコンパクト集合の像）
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数であるため\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(\left[ 0,1\right] \)はコンパクト集合です。したがって先の命題より\(f\left( \left[ 0,1\right] \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(f\left( \left[ 0,1\right] \right) \)はコンパクト集合です。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数であるため\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(\left[ 0,1\right] \)はコンパクト集合です。したがって先の命題より\(f\left( \left[ 0,1\right] \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(f\left( \left[ 0,1\right] \right) \)はコンパクト集合です。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
例（連続写像によるコンパクト集合の像）
2次元ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{2}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{2}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset D\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in D\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
D=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は\(D\)上の連続写像であるとともに\(D\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であるため、先の命題より\(f\left( D\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( D\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in D\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(f\left( D\right) \)はコンパクト集合です。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset D\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in D\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
D=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は\(D\)上の連続写像であるとともに\(D\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であるため、先の命題より\(f\left( D\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( D\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in D\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(f\left( D\right) \)はコンパクト集合です。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
連続写像によるコンパクト集合の像の性質
距離空間の部分集合がコンパクト集合であることは以下のような様々な形で表現可能です。
命題（コンパクト集合の定義）
距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分集合\(A\subset X\)が与えられているものとする。このとき、以下の4つの命題は必要十分である。
- \(A\)は\(X\)上のコンパクト集合である。
- \(A\)の任意の無限部分集合\(B\subset A\)は\(A\)上に集積点を持つ。
- \(A\)は\(X\)上の点列コンパクト集合である。
- 部分距離空間\(\left( A,d\right) \)が完備であるとともに\(A\)が\(X\)上で全有界である。
以上の命題を踏まえると以下が得られます。
命題（連続写像によるコンパクト集合の像の性質）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとする。\(f\)が\(A\)上の連続写像であるとともに、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるならば、以下が成り立つ。
- \(f\left( X\right) \)は\(Y\)上のコンパクト集合である。
- \(f\left( X\right) \)の任意の無限部分集合は\(f\left( X\right) \)上に集積点を持つ。
- \(f\left( X\right) \)は\(Y\)上の点列コンパクト集合である。
- 部分距離空間\(\left( f\left(X\right) ,d_{Y}\right) \)が完備であるとともに\(f\left( X\right) \)が\(Y\)上で全有界である。
距離空間の部分集合がコンパクト集合である場合には、その集合は閉集合です。また、距離空間の部分集合が全有界である場合には、その集合は有界です。したがって以下を得ます。
命題（連続写像によるコンパクト集合の像は有界な閉集合）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとする。\(f\)が\(A\)上の連続写像であるとともに、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるならば、\(f\left( X\right) \)は\(Y\)上の有界な閉集合である。
連続写像によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合であるとは限らない
連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。その一方で、連続写像によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合になるとは限りません。つまり、距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left( Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、\(f\)が\(X\)上において連続であるとともに\(B\subset Y\)が\(Y\)上のコンパクト集合である場合、\(f\)による\(B\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（連続写像によるコンパクト集合の逆像）
2次元ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{2}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{2}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数写像であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。以下の集合\begin{equation*}\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である一方で、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ではありません（演習問題）。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数写像であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。以下の集合\begin{equation*}\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である一方で、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ではありません（演習問題）。
連続写像による完備距離空間の像は完備距離空間であるとは限らない
連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。コンパクト集合であることは完備かつ全有界であることと必要十分であるため、先の事実は、連続写像による完備かつ全有界な集合の像は完備かつ全有界であることを意味します。その一方で、連続写像による完備距離空間の像は完備距離空間であるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（連続写像による完備距離空間の像）
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は完備距離空間であり、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の連続写像です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \arctan \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{eqnarray*}ですが、\begin{equation*}
\left( f\left( \mathbb{R} \right) ,d\right) =\left( \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
,d\right)
\end{equation*}は完備距離空間ではありません。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は完備距離空間であり、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の連続写像です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \arctan \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{eqnarray*}ですが、\begin{equation*}
\left( f\left( \mathbb{R} \right) ,d\right) =\left( \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
,d\right)
\end{equation*}は完備距離空間ではありません。
連続写像による全有界集合の像は全有界集合であるとは限らない
連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。コンパクト集合であることは完備かつ全有界であることと必要十分であるため、先の事実は、連続写像による完備かつ全有界な集合の像は完備かつ全有界であることを意味します。その一方で、連続写像による全有界集合の像は全有界集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（連続写像による全有界集合の像）
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}n>\frac{1}{\varepsilon }
\end{equation*}を満たす番号\(n\in \mathbb{N} \)を選んだ上で、有限\(n\)個の近傍\begin{gather*}N_{\varepsilon }\left( 1\varepsilon \right) =\left( \varepsilon -\varepsilon
,\varepsilon +\varepsilon \right) =\left( 0,2\varepsilon \right) \\
N_{\varepsilon }\left( 2\varepsilon \right) =\left( 2\varepsilon
-\varepsilon ,2\varepsilon +\varepsilon \right) =\left( \varepsilon
,3\varepsilon \right) \\
N_{\varepsilon }\left( 3\varepsilon \right) =\left( 3\varepsilon
-\varepsilon ,3\varepsilon +\varepsilon \right) =\left( 2\varepsilon
,4\varepsilon \right) \\
\vdots \\
N_{\varepsilon }\left( n\varepsilon \right) =\left( n\varepsilon
-\varepsilon ,n\varepsilon +\varepsilon \right)
\end{gather*}を構成します。隣り合う2つの近傍は交わるとともに、最後の近傍\(N_{\varepsilon }\left( n\varepsilon \right) \)の右側の端点は、\begin{eqnarray*}n\varepsilon +\varepsilon &>&\frac{1}{\varepsilon }\cdot \varepsilon
+\varepsilon \quad \because n>\frac{1}{\varepsilon } \\
&=&1+\varepsilon \\
&>&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left(
i\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において全有界です。また、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上において連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}ですが、\([1,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の有界集合ではないため全有界でもありません。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}n>\frac{1}{\varepsilon }
\end{equation*}を満たす番号\(n\in \mathbb{N} \)を選んだ上で、有限\(n\)個の近傍\begin{gather*}N_{\varepsilon }\left( 1\varepsilon \right) =\left( \varepsilon -\varepsilon
,\varepsilon +\varepsilon \right) =\left( 0,2\varepsilon \right) \\
N_{\varepsilon }\left( 2\varepsilon \right) =\left( 2\varepsilon
-\varepsilon ,2\varepsilon +\varepsilon \right) =\left( \varepsilon
,3\varepsilon \right) \\
N_{\varepsilon }\left( 3\varepsilon \right) =\left( 3\varepsilon
-\varepsilon ,3\varepsilon +\varepsilon \right) =\left( 2\varepsilon
,4\varepsilon \right) \\
\vdots \\
N_{\varepsilon }\left( n\varepsilon \right) =\left( n\varepsilon
-\varepsilon ,n\varepsilon +\varepsilon \right)
\end{gather*}を構成します。隣り合う2つの近傍は交わるとともに、最後の近傍\(N_{\varepsilon }\left( n\varepsilon \right) \)の右側の端点は、\begin{eqnarray*}n\varepsilon +\varepsilon &>&\frac{1}{\varepsilon }\cdot \varepsilon
+\varepsilon \quad \because n>\frac{1}{\varepsilon } \\
&=&1+\varepsilon \\
&>&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left(
i\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において全有界です。また、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上において連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}ですが、\([1,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の有界集合ではないため全有界でもありません。
連続写像による有界集合の像は有界集合であるとは限らない
連続写像による全有界集合の像は全有界集合になるとは限らないことが明らかになりました。加えて、連続写像による有界集合の像は有界集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（連続写像による有界集合の像）
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において有界です。また、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上において連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}ですが、\([1,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の有界集合ではありません。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において有界です。また、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上において連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}ですが、\([1,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の有界集合ではありません。
演習問題
問題（連続写像による点列コンパクト集合の像は点列コンパクト）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとします。本文中で明らかにしたように、\(f\)が\(A\)上の連続写像であるとともに、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるならば、\(f\left( A\right) \)は\(Y\)上のコンパクト集合です。距離空間の部分集合がコンパクト集合であることと点列コンパクト集合は必要十分であるため、\(f\)が\(A\)上の連続写像であるとともに、\(A\)が\(X\)上の点列コンパクト集合であるならば、\(f\left( A\right) \)は\(Y\)上の点列コンパクト集合になります。以上の主張を点列コンパクト集合の定義にもとづいて証明してください。
問題（連続写像によるコンパクト集合の逆像）
写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)における距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定める一方で、2次元ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{2}\right) \)における距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めるものとします。以下の集合\begin{equation*}
\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である一方で、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ではないことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)における距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定める一方で、2次元ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{2}\right) \)における距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めるものとします。以下の集合\begin{equation*}
\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である一方で、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ではないことを示してください。
問題（連続写像による完備距離空間の像）
本文中で明らかにしたように、連続写像による完備距離空間の像は完備距離空間になるとは限りません。ただし、一定の条件のもとでは、連続写像による完備距離空間の像は完備距離空間になります。距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられているものとします。\(f\)は\(X\)上において連続であり、\(\left( X,d_{X}\right) \)は完備距離空間であるとともに、\begin{equation*}\forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \leq d\left( f\left( x\right) ,f\left(
y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の条件のもとでは\(\left( Y,d_{Y}\right) \)の部分距離空間である\begin{equation*}\left( f\left( X\right) ,d_{Y}\right)
\end{equation*}が完備距離空間になることを証明してください。
y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の条件のもとでは\(\left( Y,d_{Y}\right) \)の部分距離空間である\begin{equation*}\left( f\left( X\right) ,d_{Y}\right)
\end{equation*}が完備距離空間になることを証明してください。
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