イプシロン・デルタ論法を用いた写像の連続性の判定

集積点における写像の連続性をイプシロン・デルタ論法で定義する

非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。

定義域が距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が距離空間\(\left( Y,d_{Y}\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(Y\)上の点\begin{equation*}f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}へ変換する写像です。その上で、写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)を任意に選びます。集積点の定義より、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\delta \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left\{ x\in A\ |\ d_{X}\left( x,a\right)
<\delta \right\}
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在します。

写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が定義域の集積点\(a\in X\)において連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in Y \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。つまり、\(f\)は点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は\(Y\)上の点に収束し、さらにその極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、\(f\)は点\(a\)において連続です。

写像\(f\)の定義域上の点\(a\in A\)が定義域\(A\)の集積点ではない場合、\(a\)は\(A\)の孤立点になります。この場合、写像\(f\)は点\(a\)において連続であるものと定めます。

以上の定義では「写像の極限」という概念が前提となっていますが、「写像の極限」概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いて写像の連続性を定義することもできます。以下で順番に解説します。

写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられたとき\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が\(Y\)上の点へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in Y:\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(A\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に点\(f\left( x\right) \)が必ず\(Y\)上の何らかの点\(b\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation}\exists b\in Y,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:
\left[ 0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,b\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。

では、写像\(f\)が定義域\(A\)の集積点\(a\)において連続であることを、同じくイプシロン・デルタ論法を用いてどのように表現できるでしょうか。写像\(f\)が点\(a\)において連続であるものとします。この場合、写像\(f\)は点\(a\)および周辺の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)の場合に\(Y\)上の点へ収束し、なおかつその極限が\(f\left( a\right) \)と一致するため、\(\left( 1\right) \)中の\(b\)を\(f\left(a\right) \)に置き換えることができます。また、写像\(f\)が点\(a\)において連続である場合には\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、\(\left( 1\right) \)において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。つまり、\(\left( 1\right) \)中の\(0<d_{X}\left( x,a\right) \)は不要です。以上を踏まえると、写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)において連続であることを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right] \end{equation*}と表現できそうです。実際、これは正しい主張です。

孤立点における写像の連続性をイプシロン・デルタ論法で定義する

写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)の定義域上の点\(a\in A\)が定義域\(A\)の集積点ではない場合、\(a\)は\(A\)の孤立点になります。この場合、\(f\)は点\(a\)において連続であるものと定めましたが、その根拠を以下で解説します。

先ほど示したように、写像\(f\)が定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)上で定義されている場合には、すなわち\(a\in A\)が成り立つ場合には、写像\(f\)が点\(a\)において連続であることと、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは必要十分です。ただし、ここでは点\(a\)が写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点であることが前提となっています。では、点\(a\in A\)が\(A\)の集積点ではない場合、すなわち点\(a\)が\(A\)の孤立点である場合にも、点\(a\)における連続性の定義として\(\left( 1\right) \)をそのまま採用できるでしょうか。写像\(f\)は定義域\(A\)の孤立点\(a\)において連続であるものと定義したため、孤立点\(a\)における連続性の定義として\(\left( 1\right) \)を採用するためには、孤立点\(a\)に対して\(\left( 1\right) \)が必ず真になることを確認しておく必要があります。

写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の孤立点\(a\in X\)が与えられているものとします。孤立点の定義より、これは、\begin{equation}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\left\{
a\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。その上で、\(\left( 2\right) \)において存在が保証される\(\varepsilon>0\)に注目します。さらに、\(x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を満たす\(x\in X\)を任意に選びます。\(\left( 2\right) \)より、そのような条件を満たす点\(x\)は\(a\)だけであるため、\begin{eqnarray*}d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left( a\right) \right) &=&d_{Y}\left(
f\left( a\right) ,f\left( a\right) \right) \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left(
d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことの証明が完了しました。

イプシロン・デルタ論法を用いた写像の連続性の定義

これまでの議論から明らかになったように、イプシロン・デルタ論法を用いた写像の連続性の定義は、定義域上の集積点における連続性だけでなく、定義域上の孤立点における連続性に対しても有効です。写像の定義域上の点は集積点または孤立点のどちらか一方です。したがって、イプシロン・デルタ論法を用いた連続性の定義は、写像の定義域上に存在するすべての点に対して有効です。

このような事情を踏まえると、写像が連続であることを以下の形で改めて定義できます。

写像が連続でないことの証明

写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義できることが明らかになりました。

一方、写像\(f\)がそもそも点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in A\)である場合、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。また、\(a\in A\)である場合においても、上の命題が成り立たない場合には、すなわち、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in A:\left[
d_{X}\left( x,a\right) <\delta \wedge d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left(
a\right) \right) \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

演習問題