実数値をとる写像のスカラー倍の極限
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
さらに、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)が与えられているものとします。ただし、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対値にもとづく通常の距離関数であり、2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。この場合、\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間になります。
以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。
写像\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
cf:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に写像\(f\)が\(\mathbb{R} \)上の点へ収束する状況を想定します。この場合、写像\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}cf\left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow a}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、有限な実数へ収束する実数値写像\(f\)の定数倍の形をしている実数値写像\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた有限な実数へ収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限を\(c\)倍すれば\(cf\)の極限が得られます。したがって、何らかの実数値写像\(f\)の定数倍の形をしている実数値写像\(cf\)の収束可能性を検討する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}と定める。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で写像\(cf:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられているものとする。\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)上に存在する実数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば、先の命題より\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)上に存在する複素数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)について、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば、先の命題より\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(f\)が\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば、先の命題より\(cf\)もまた\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow a}\left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =c\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow a}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば、先の命題より\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
複素数値をとる写像のスカラー倍の極限
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
さらに、複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)が与えられているものとします。ただし、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right]
^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。ただし、\(\mathrm{Re}\left( x\right) \)は複素数\(x\)の実部であり、\(\mathrm{Im}\left(x\right) \)は複素数\(x\)の虚部です。この場合、\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)は距離空間になります。
以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}を定義します。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。
写像\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の複素数\begin{eqnarray*}\left( cf\right) \left( x\right) &=&cf\left( x\right) \\
&=&c\mathrm{Re}\left( f\left( x\right) \right) +c\mathrm{Im}\left( f\left(
x\right) \right) i
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
cf:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に写像\(f\)が\(\mathbb{C} \)上の点へ収束する状況を想定します。この場合、写像\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}cf\left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow a}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、複素数へ収束する複素数値写像\(f\)の定数倍の形をしている複素数値写像\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた複素数へ収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限を\(c\)倍すれば\(cf\)の極限が得られます。したがって、何らかの複素数値\(f\)の定数倍の形をしている複素数値\(cf\)の収束可能性を検討する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}と定める。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で写像\(cf:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \)を定義する。\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられているものとする。\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)上に存在する実数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば、先の命題より\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)上に存在する複素数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)について、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば、先の命題より\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(f\)が\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば、先の命題より\(cf\)もまた\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow a}\left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =c\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow a}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば、先の命題より\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル値をとる写像のスカラー倍の極限
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
さらに、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)が与えられているものとします。ただし、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\left\Vert x-y\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。この場合、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間になります。
以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合がユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}へ変換する写像です。
写像\(\boldsymbol{f}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =c\boldsymbol{f}\left(
x\right) =\left(
\begin{array}{c}
cf_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
cf_{n}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
c\boldsymbol{f}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。
写像\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に写像\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束する状況を想定します。この場合、写像\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}c\boldsymbol{f}\left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
cf_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
cf_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) =c\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、有限なベクトルへ収束するベクトル値写像\(\boldsymbol{f}\)のスカラー倍の形をしている写像\(c\boldsymbol{f}\)が与えられたとき、\(c\boldsymbol{f}\)もまた有限なベクトルへ収束することが保証されるとともに、\(\boldsymbol{f}\)の極限を\(c\)倍すれば\(c\boldsymbol{f}\)の極限が得られます。したがって、何らかのベクトル値\(\boldsymbol{f}\)のスカラー倍の形をしているベクトル値\(c\boldsymbol{f}\)の収束可能性を検討する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(\boldsymbol{f}\)を分けた上で、\(\boldsymbol{f}\)が収束することを確認すればよいということになります。
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)上に存在する実数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するならば、先の命題より\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)上に存在する複素数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)について、\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するならば、先の命題より\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{m}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(\boldsymbol{f}\)が\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するならば、先の命題より\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow a}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =c\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するならば、先の命題より\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}と定めます。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で写像\(cf:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられているものとします。\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では以上の命題をイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、同じ命題を点列を用いて証明してください。
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