正方行列の固有値と固有ベクトルの定義

固有値や固有ベクトルを導入する背景

正方行列を対角化することの意味と利点について簡単に復習します。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において標準基底\(e=\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)を採用する場合、線形変換\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)は標準行列\begin{equation*}A=\left( f_{A}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f_{A}\left(
\boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\end{equation*}と同一視されます。この線形変換\(f_{A}\)は標準基底\(e\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ \boldsymbol{x}\right]_{e}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはり\(e\)のもとでの座標ベクトル\begin{equation*}f_{A}\left( \left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}\right) =A\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}
\end{equation*}を出力します。

特に、線形変換\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を特徴づける標準行列\(A\)が対角行列である場合には、つまり、\begin{equation*}A=\left( f_{A}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f_{A}\left(
\boldsymbol{e}_{n}\right) \right) =\mathrm{diag}\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right)
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots n\right\} :f_{A}\left( \boldsymbol{e}_{i}\right) =a_{i}\boldsymbol{e}_{i}
\end{equation*}が成り立つことを示しました。つまり、対角行列\(A\)によって特徴づけられる線形変換\(f_{A}\)に標準基底\(e\)の要素である標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{i}\)を入力するとスカラー倍\(a_{i}\boldsymbol{e}_{i}\)が出力されるため、\(f_{A}\)に入力したベクトルと出力されるベクトルの対応関係を容易に把握できます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を標準基底\(e\)から基底\(v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)へ変更する場合、標準行列\(A\)によって特徴づけられていた線形変換\(f_{A}\)は、基底\(v\)に関する\(f_{A}\)の行列表現\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}によって特徴づけられる線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)へと変換されます。この新たな線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)は基底\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ \boldsymbol{x}\right]_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはり\(v\)のもとでの座標ベクトル\begin{eqnarray*}f_{\left[ A\right] _{v}}\left( \left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}\right) &=&\left[ A\right] _{v}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v} \\
&=&C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{eqnarray*}を出力します。\(f_{A}\)と\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)は同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであり、したがって基底が異なるという点を除いて両者は等しい情報を含む線形変換です。

2つの正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が相似であることは、\(\mathbb{R} ^{n}\)における何らかの基底\(v\)のもとで、\begin{equation*}B=\left[ A\right] _{v}
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。2つの線形変換\(f_{A},f_{B}\)は同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであるため、\(A\)と\(B\)もまた基底が異なるという点を除いて等しい情報を含む正方行列です。したがって、与えられた正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が複雑で扱いづらい場合、それを対角行列へと相似変換できれば理想的です。

正方行列を対角行列へと相似変換することを対角化と呼びます。正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)における何らかの基底\(v\)のもとで、\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}が対角行列になることは、\(A\)が対角化可能であるための必要十分条件であることを示しました。ここから、\begin{equation*}A=C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow e}
\end{equation*}を得るため、線形変換\(f_{A}\)は正方行列\(C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow e}\)を標準行列として持つ線形変換\(f_{C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow e}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と一致します。さらに、\(\left[ A\right] _{v}\)は対角行列であるため、\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=\mathrm{diag}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{equation*}とおくことができますが、この場合には、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots n\right\} :f_{_{C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow e}}}\left( \left[ \boldsymbol{v}_{i}\right] _{e}\right) =a_{i}\left[ \boldsymbol{v}_{i}\right] _{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots n\right\} :f_{A}\left( \boldsymbol{v}_{i}\right) =a_{i}\boldsymbol{v}_{i}
\end{equation*}が成り立つことを示しました。つまり、基底\(v\)のもとで対角化可能な正方行列\(A\)によって特徴づけられる線形変換\(f_{A}\)に基底\(v\)を構成する基底ベクトル\(\boldsymbol{v}_{i}\)を入力するとスカラー倍\(a_{i}\boldsymbol{v}_{i}\)が出力されるため、\(f_{A}\)に入出力するベクトルを基底\(v\)のもとでの座標ベクトルに変更することにより、入力するベクトルと出力されるベクトルの対応関係を容易に把握できるようになります。

正方行列を対角化することで得られるメリットは以上の通りです。では、正方行列\(A\)が対角化可能であることを判定する手法は存在するのでしょうか。また、正方行列\(A\)が対角化可能である場合、それと相似な対角行列\(\left[ A\right] _{v}\)を特定する手法は存在するのでしょうか。順番に考えます。

固有値問題（右固有ベクトル問題）

標準行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)によって特徴づけられる線形変換\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)に対して列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を入力すれば、以下の列ベクトル\begin{equation*}f_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}
\end{equation*}が出力されます。この出力された列ベクトル\(A\boldsymbol{x}\)が、入力した列ベクトル\(\boldsymbol{x}\)のスカラー倍であるような状況は起こり得るでしょうか。つまり、以下の命題\begin{equation}\exists \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立つでしょうか。

ゼロベクトルを入力する場合には、すなわち\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)である場合には、任意のスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)のもとで、\begin{equation*}A\boldsymbol{0}=\lambda \boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)は明らかに成り立ちます。そこで、入力するベクトルを非ゼロベクトルに制限する形で\(\left( 1\right) \)を修正すれば以下の命題\begin{equation*}\exists \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :A\boldsymbol{x}=\lambda
\boldsymbol{x}
\end{equation*}が得られます。これを正方行列\(A\)に関する固有値問題（eigenvalue problem）や右固有ベクトル問題（right eigenvector problem）などと呼びます。また、固有値問題を構成する行列方程式\begin{equation*}A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}
\end{equation*}を固有値方程式（eigenvalue equation）や右固有ベクトル方程式（right eigenvector equation）などと呼びます。

固有値問題の解法については後ほど解説することにして、まずは具体例を提示します。

正方行列の固有値と列固有ベクトル

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に関する固有値問題\begin{equation}\exists \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :A\boldsymbol{x}=\lambda
\boldsymbol{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}が真である場合、その解であるスカラーと非ゼロベクトルからなる組\begin{equation*}
\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}を正方行列\(A\)の固有対（eigen pair of \(A\)）と呼びます。

正方行列\(A\)の固有対\(\left(\lambda ,\boldsymbol{x}\right) \)を構成するスカラー\(\lambda \)を正方行列\(A\)の固有値（eigenvalue of \(A\)）と呼びます。つまり、任意のスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)について以下の関係\begin{eqnarray*}\lambda \text{は}A\text{の固有値}
&\Leftrightarrow &\exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \text{は}A\text{の固有対} \\
&\Leftrightarrow &\exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :A\boldsymbol{x}=\lambda
\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}を満たすものとして正方行列\(A\)の固有値は定義されます。先の例が示唆するように、正方行列\(A\)の固有値\(\lambda \)は一意的に定まるとは限りません。

先の例が示唆するように、正方行列\(A\)の固有対\(\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \)を構成する非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\)は固有値\(\lambda \)に依存して変化します。そこで、固有値\(\lambda \)とともに固有対\(\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \)を形成する非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\)を固有値\(\lambda \)に対応する列固有ベクトル（column eigenvector corresponding to \(\lambda \)）と呼びます。つまり、正方行列\(A\)の固有値\(\lambda \)が与えられたとき、任意の非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)について以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\text{は}\lambda \text{に対応する}A\text{の固有べクトル}
&\Leftrightarrow &\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \text{は}A\text{の固有対} \\
&\Leftrightarrow &A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}を満たすものとして固有値\(\lambda \)に対応する列固有ベクトルは定義されます。

固有値に対応する列固有ベクトルの非一意性

正方行列\(A\)の固有値\(\lambda \)に対応する固有ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{x}\)の非ゼロのスカラー倍であるような任意のベクトルもまたその固有値\(\lambda \)に対応する固有ベクトルになることが保証されます。言い換えると、線形変換\(\boldsymbol{f}_{A}\)にベクトル\(\boldsymbol{x}\)を入力するとそれがスカラー\(\lambda \)倍されるのであれば、\(\boldsymbol{x}\)を非ゼロスカラー倍することにより得られるベクトルを\(\boldsymbol{f}_{A}\)に入力した場合にもそれが\(\lambda \)倍されるということです。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値\(\lambda _{i}\in \mathbb{R} \)が具体的に与えられた状況を想定します。この固有値\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルは、固有方程式\begin{equation*}A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}
\end{equation*}に固有値\(\lambda =\lambda _{i}\)を代入することにより得られる行列方程式\begin{equation*}A\boldsymbol{x}=\lambda _{i}\boldsymbol{x}
\end{equation*}の非ゼロベクトル解\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)です。これを変形すると、\begin{equation*}A\boldsymbol{x}-\lambda _{i}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を得ますが、成分を明示する形で表現すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) -\lambda _{i}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となります。これは同次連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\left( a_{11}-\lambda _{i}\right) x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+\left( a_{22}-\lambda _{i}\right) x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +\left( a_{nn}-\lambda _{i}\right) x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}と必要十分であるため、この同次連立1次方程式の非ゼロベクトル解は固有値\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルです。さらに先の命題より、固有値\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルのスカラー倍もまた\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルになるため、結局、先の同次連立1次方程式の解集合からゼロベクトルを除けば、固有値\(\lambda _{i}\)に対応するすべての固有ベクトルからなる集合が得られます。

固有ベクトルが属する固有値の一意性

正方行列\(A\)の何らかの固有値\(\lambda \)に属する固有ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}\)が属する固有値は\(\lambda \)だけです。言い換えると、線形変換\(\boldsymbol{f}_{A}\)にベクトル\(\boldsymbol{x}\)を入力するとそれがスカラー\(\lambda \)倍されるのであれば、\(\lambda \)の値は一意的に定まるということです。

固有値がゼロである場合

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に関する固有値問題は、\begin{equation*}\exists \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :A\boldsymbol{x}=\lambda
\boldsymbol{x}
\end{equation*}と定義されるため、ゼロベクトルが固有ベクトルになり得る可能性は排除されています。仮に、ゼロベクトルを許容する形で固有値問題を定義すると、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}
\end{equation*}となりますが、この場合、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}:A\boldsymbol{0}=\lambda \boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}となるため、任意の実数\(\lambda \)が\(A\)の固有値として判定されてしまい、有用な知見が得られないからです。

一方、正方行列\(A\)の選び方によってゼロが固有値になるケースとそうでない場合の双方のケースが起こり得るため、固有値がゼロであることは意味のある情報です。

正方行列の対角化と固有値および固有ベクトルの関係

先に具体例を用いて指摘したように、正方行列\(A\)が基底\(v\)のもとで対角行列\(\left[ A\right] _{v}\)へ対角化可能である場合には、\(A\)の固有値は\(\left[ A\right] _{v}\)の対角成分と一致するとともに、列固有ベクトルは\(v\)の要素である基底ベクトルと一致します。

先の命題より、正方行列\(A\)が対角化可能である場合には、\(A\)と相似な対角行列\(\left[ A\right] _{v}\)の対角要素\(\lambda _{i}\)は必ず\(A\)の固有値であるとともに、\(A\)の対角化を実現する基底\(v\)の要素である基底ベクトル\(\boldsymbol{v}_{i}\)は\(\lambda _{i}\)の列固有ベクトルであることが明らかになりました。つまり、正方行列\(A\)の対角化は\(A\)の固有値と列固有ベクトルによってのみ実現されるということです。では、逆に、正方行列\(A\)の固有値と列固有ベクトルが与えられれば、それを用いることにより\(A\)を必ず対角化できるのでしょうか。可能です。

以上の諸命題では正方行列\(A\)の固有値\(\lambda_{1},\cdots ,\lambda _{n}\)が異なる状況を必ずしも想定していません。固有値\(\lambda_{1},\cdots ,\lambda _{n}\)の中に重複がある場合でも、\(\lambda _{1},\cdots,\lambda _{n}\)に対応する列固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)が線型独立であれば基底\(v\)を構成できるため、そのような\(v\)のもとで\(A\)は対角化可能です。

他方で、正方行列\(A\)の固有値\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\)の中に重複があり、\(\lambda _{1},\cdots,\lambda _{n}\)に対応する列固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)が線型独立でない場合には基底\(v\)を構成できないため、そのような場合には\(A\)は対角化不可能です。

対角化は固有値を変化させない

正方行列を\(A\)何らかの基底\(v\)のもとで対角化して対角行列\(\left[ A\right] _{v}\)を得たとき、その前後において固有値は変化しません。

先の命題をもう少し一般化できます。

演習問題