固有値の固有空間とその次元

固有値・列固有ベクトル・固有多項式（復習）

正方行列の固有値および列固有ベクトルの定義と、正方行列の固有多項式について簡単に復習します。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それに関する固有値問題は、\begin{equation*}\exists \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} :Ax=\lambda x
\end{equation*}と定義されます。また、固有値問題の解であるスカラーと非ゼロベクトルからなる組\begin{equation*}
\left( \lambda ,x\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}を\(A\)の固有対と呼びます。固有対\(\left( \lambda ,x\right) \)を構成するスカラー\(\lambda \)を正方行列\(A\)の固有値と呼び、固有値\(\lambda \)とともに固有対\(\left( \lambda ,x\right) \)を形成する非ゼロベクトル\(x\)を固有値\(\lambda \)に対応する列固有ベクトルと呼びます。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\det \left( A-tI_{n}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を\(A\)の固有多項式と呼びます。このとき、スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)が関数\(P_{A}\)の根であることは、すなわち、\begin{equation*}P_{A}\left( \lambda \right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\lambda \)が\(A\)の固有値であるための必要十分条件です。

固有多項式\(P_{A}\left( t\right) \)は\(t\)に関する\(n\)次の多項式\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\left( -1\right) ^{n}t^{n}+\cdots
\end{equation*}であるため、複素数の範囲において重複度を含めて\(n\)個の根を持ちます。以上の事実は\(n\)次の正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が重複度を含めて\(n\)個の固有値を持つことを意味します。したがって、正方行列\(A\)の相異なる固有値を\(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{m}\)と表記するのであれば、\(m\leq n\)であるとともに、固有多項式を、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\left( -1\right) ^{n}\left( t-\lambda _{1}\right)
^{r_{1}}\left( t-\lambda _{2}\right) ^{r_{2}}\times \cdots \times \left(
t-\lambda _{m}\right) ^{r_{m}}
\end{equation*}と表現できます。\(r_{i}\)は固有値\(\lambda _{i}\)の重複度を表す自然数です。

固有値の固有空間

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値\(\lambda \in \mathbb{R} \)が具体的に与えられた状況を想定します。この固有値\(\lambda \)に対応する固有ベクトルは、ベクトル変数\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に関する行列方程式\begin{equation*}Ax=\lambda x
\end{equation*}の非ゼロベクトル解\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)であるため、固有値\(\lambda \)に対応する列固有ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \ |\ Ax=\lambda x\right\}
\end{equation*}となります。ゼロベクトルは固有値の列固有ベクトルになり得ないため、この集合にはゼロベクトルは含まれません。そこで、この集合にゼロベクトルを加えることにより得られる集合を、\begin{eqnarray*}
E_{\lambda } &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \ |\ Ax=\lambda x\right\} \cup \left\{
0\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=\lambda x\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを正方行列\(A\)の固有値\(\lambda \)に対応する固有空間（\(\lambda \)-eigenspace of \(A\)）と呼びます。つまり、固有値\(\lambda \)に対応する固有空間とは、\(\lambda \)に対応するすべての列固有ベクトルとゼロベクトルからなる集合です。

固有空間を特定する方法（同次連立1次方程式の解集合としての固有空間）

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値\(\lambda \in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。固有空間は、\begin{equation*}E_{\lambda }=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=\lambda x\right\}
\end{equation*}と定義されますが、固有空間\(E_{\lambda }\)を定義する行列方程式\begin{equation*}Ax=\lambda x
\end{equation*}は、以下の行列方程式\begin{equation*}
Ax=\lambda I_{n}x
\end{equation*}と必要十分です。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。さらにこれを変形すると、\begin{equation*}\left( A-\lambda I_{n}\right) x=0
\end{equation*}を得ますが、これは正方行列\begin{equation*}
A-\lambda I_{n}=\begin{pmatrix}
a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda
\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を係数行列とする変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する同次連立1次方程式に他なりません。したがって、この同次連立1次方程式を解けば、その解集合として固有空間\(E_{\lambda }\)が得られます。

固有空間は部分空間（線形変換の核としての固有空間）

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値\(\lambda \in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。固有空間は、\begin{equation*}E_{\lambda }=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=\lambda x\right\}
\end{equation*}と定義されますが、先の議論より、これを、\begin{equation*}
E_{\lambda }=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( A-\lambda I_{n}\right) x=0\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

固有空間\(E_{\lambda }\)を特徴づける\(A-\lambda I_{n}\)は正方行列であるため、ここから線形変換\begin{equation*}f_{A-\lambda I_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、この線形変換\(f_{A-\lambda I_{n}}\)がそれぞれの列ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める列ベクトルは、\begin{equation*}f_{A-\lambda I_{n}}\left( x\right) =\left( A-\lambda I_{n}\right) x
\end{equation*}です。この線形変換\(f_{A-\lambda I_{n}}\)によるゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)の逆像、すなわち\(f\)の核（ゼロ空間）は、\begin{eqnarray*}\ker f_{A-\lambda I_{n}} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f_{A-\lambda I_{n}}\left( x\right) =0\right\} \quad \because \text{核の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( A-\lambda I_{n}\right) x=0\right\} \quad \because
f_{A-\lambda I_{n}}\text{の定義} \\
&=&E_{\lambda }\quad \because \text{固有空間の定義}
\end{eqnarray*}であり、固有値\(\lambda \)に対応する固有空間と一致することが明らかになりました。

一般に、線形変換の核は定義域の部分空間です。また、先の議論より、固有値\(\lambda \)に対応する固有空間\(E_{\lambda }\)は線形変換\(f_{A-\lambda I_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の核です。したがって、固有空間\(E_{\lambda }\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であることが明らかになりました。

正方行列の固有値\(\lambda \)が与えられたとき、\(\lambda \)に対応する固有空間\(E_{\lambda }\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であることが明らかになりました。部分空間の定義より、以上の事実は\(E_{\lambda }\)が非空であるとともに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in E_{\lambda }:x+y\in E_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in E_{\lambda }:ax\in E_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。\(\left(a\right) \)は固有値\(\lambda \)に対応する列固有ベクトルどうしのベクトル和もまた\(\lambda \)に対応する列固有ベクトルであることを意味し、\(\left(b\right) \)は固有値\(\lambda \)に対応する列固有ベクトルのスカラー倍もまた\(\lambda \)に対応する列固有ベクトルであることを意味します。

固有空間の次元と固有値の重複度の関係

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値\(\lambda _{i}\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それに対応する固有空間\begin{equation*}E_{\lambda _{i}}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=\lambda _{i}x\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であることが明らかになりました。したがって、その次元\begin{equation*}\dim E_{\lambda _{i}}
\end{equation*}について考えることができます。さて、正方行列\(A\)の相異なる固有値を\(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda_{m}\)と表記するのであれば、\(m\leq n\)であるとともに、固有多項式を、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\left( -1\right) ^{n}\left( t-\lambda _{1}\right)
^{r_{1}}\left( t-\lambda _{2}\right) ^{r_{2}}\times \cdots \times \left(
t-\lambda _{m}\right) ^{r_{m}}
\end{equation*}と表現できることは先に指摘した通りです。ただし、\(r_{i}\)は固有値\(\lambda _{i}\)の重複度です。このとき、以下の関係\begin{equation*}\dim E_{\lambda _{i}}\leq r_{i}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、固有値\(\lambda _{i}\)に関する固有空間の次元は\(\lambda _{i}\)の重複度以下になるということです。

正方行列\(A\)の固有多項式\(P_{A}\)の根を特定した結果、固有値\(\lambda _{i}\)の重複度が\(1\)であることが判明した状況を想定します。すると先の命題より、この固有値\(\lambda _{i}\)に対応する固有空間\(\dim E_{\lambda _{i}}\)の次元が\(1\)であることが確定します。これは、固有空間\(\dim E_{\lambda _{i}}\)を張るために必要な線型独立なベクトルの個数の最小値が\(1\)であることを意味するため、\(\dim E_{\lambda _{i}}\)は原点を通過する直線であり、したがって、固有値\(\lambda _{i}\)に対応する列固有ベクトル\(v_{i}\)が与えられれば、固有空間を、\begin{equation*}\dim E_{\lambda _{i}}=\left\{ kv_{i}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と表現できることを意味します。つまり、固有空間を表現するために必要なパラメータ\(k\)の個数が1つであるということです。

固有値\(\lambda _{i}\)の重複度が\(2\)である場合、同様の理由により、固有空間\(E_{\lambda _{i}}\)を表現するために必要なパラメータの個数は\(1\)または\(2\)です。その他の場合についても同様に考えます。

演習問題