相似な線形変換と相似な正方行列

正方行列と線形変換の関係

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。特に、\(n=m\)であるような線形写像、すなわち、定義域と終集合が一致する線形写像\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を線形変換と呼びます。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられれば、それぞれの列ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、行列ベクトル積\begin{equation*}f_{A}\left( x\right) =Ax
\end{equation*}に相当する列ベクトルを値として定める写像\begin{equation*}
f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能ですが、これは線形変換になることが保証されます。

逆に、写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの列ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表される列ベクトルであることは、\(f\)が線形変換であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{n}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{n}\left( e_{n}\right)\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}です。ただし、\(\left\{e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

以上の2つの命題より、正方行列\(A\)が与えられれば線形変換\(f_{A}\)が一意的に定まり、逆に、線形変換\(f_{A}\)が与えられれば正方行列\(A\)が一意的に定まるため、正方行列\(A\)と線形変換\(f_{A}\)の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。加えて、両者の間には、\begin{equation*}A=\left( f_{A}\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f_{A}\left( e_{n}\right) \right)
\end{equation*}という関係が成立します。つまり、正方行列と線形変換は互いに交換可能な概念であるため、両者を同一視できます。言い換えると、正方行列に関する性質は線形変換の性質として記述可能であり、逆も然りであるということです。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に含まれる情報を集約的に表現する指標を作成するためには、どのような方針のもとで考えればよいでしょうか。先の議論より、そのような指標は、線形変換\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)に含まれる情報を集約的に表現する指標と同義です。

ここまでの議論では実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における基底として標準基底\(e\)を採用し、線形変換\(f_{A}\)を特徴づける行列\(A\)として標準基底から定義される標準行列\(\left( f_{A}\left( e_{1}\right) ,\cdots,f_{A}\left( e_{n}\right) \right) \)を採用しました。一方、先の線形変換\(f_{A}\)を標準基底\(e\)とは異なる基底\(v\)のもとで表現することにより線形変換\(f_{B}\)が得られる場合、\(f_{A}\)と\(f_{B}\)は同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであるため実質的に等しく、したがってこれらを同一のグループに属するものとみなすことができます。まずは、以上の方針のもとで線形変換を分類します。

基底に関する線形変換の行列表現

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において標準基底\(e\)を採用する場合、線形写像\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)は標準行列\begin{equation*}A=\left( f_{A}\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f_{A}\left( e_{n}\right) \right)
\end{equation*}によって特徴づけられます。つまり、\(f_{A}\)は標準基底\(e\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right]_{e}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはり\(e\)のもとでの座標ベクトルである、\begin{equation*}f_{A}\left( \left[ x\right] _{e}\right) =A\left[ x\right] _{e}
\end{equation*}を出力します。標準基底\(e\)を採用する場合、\(f_{A}\)の働きは以下のプロセス\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}\rightarrow \left[ Ax\right] _{e}
\end{equation*}として理解できます。標準基底\(e\)を採用しているため、\(f_{A}\)に入出力するベクトルはともに\(e\)のもとでの座標ベクトルです。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において基底を標準基底\(e\)から基底\(v\)へ変換する場合、それぞれのベクトルは基底\(v\)のもとでの座標ベクトルとして表現されるようになります。一方、先の線形変換\(f_{A}\)は標準基底\(e\)のもとでの座標ベクトルを入出力する状況を想定しているため、新たな基底\(v\)のもとで先の線形変換\(f_{A}\)を利用するためには、入力された\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{v}\)を\(e\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{e}\)に変換してから\(f_{A}\)を利用し、その結果として得られた\(e\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ Ax\right] _{e}\)を再び\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ Ax\right] _{v}\)へ再変換する必要があります。つまり、標準基底\(e\)の代わりに基底\(v\)を採用する場合、\(f_{A}\)の働きを以下のプロセス\begin{equation}\left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ x\right] _{e}\rightarrow \left[ Ax\right] _{e}\rightarrow \left[ Ax\right] _{v} \quad \cdots (1)
\end{equation}へと修正する必要があります。ベクトルの座標の基底を\(v\)から\(e\)へ変換するためには座標の変換行列\(C_{v\rightarrow e}\)を左から掛ければよく、逆に、ベクトルの座標の基底を\(e\)から\(v\)へ変換するためには座標の変換行列\(C_{v\rightarrow e}\)の逆行列\(C_{v\rightarrow e}^{-1}\)を左から掛ければよいため、以上の事実を用いて\(\left( 1\right) \)を言い換えると、\begin{equation*}\left[ x\right] _{v}\rightarrow C_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}\rightarrow AC_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}\rightarrow
C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{v}\rightarrow C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}を得ます。つまり、基底を\(e\)から\(v\)へ変更する場合、標準行列\(A\)によって特徴づけられていた線形変換\(f_{A}\)は、以下の正方行列\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}によって特徴づけられる線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)へと変換されます。この正方行列\(\left[ A\right] _{v}\)を基底\(v\)に関する線形変換\(f_{A}\)の行列表現（matrix representation）と呼びます。基底\(v\)を採用しているため、新たな線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)に入出力するベクトルは基底\(v\)のもとでの座標ベクトルです。具体的には、\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)に\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)を入力すると、\(v\)のもとでの座標ベクトル\begin{eqnarray*}f_{\left[ A\right] _{v}}\left( \left[ x\right] _{v}\right) &=&\left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v} \\
&=&C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}
\end{eqnarray*}を出力します。

標準基底\(e\)を採用した場合の線形変換\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を特徴づける標準行列\(A\)と、基底\(v\)に関する\(f_{A}\)の行列表現\(\left[ A\right] _{v}\)の間には以下の関係\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}が成立しますが、両辺の左側から\(C_{v\rightarrow e}\)を掛けて、右側から\(C_{v\rightarrow e}^{-1}\)を掛けると、\begin{equation*}C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow
e}^{-1}=C_{v\rightarrow e}C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow
e}C_{v\rightarrow e}^{-1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow e}^{-1}=I_{n}AI_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A=C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow e}^{-1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A=C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}
\end{equation*}を得ます。標準基底\(e\)に関する線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)の行列表現が\(A\)であるということです。

2つの線形変換\(f_{A},f_{\left[ A\right]_{v}}\)は同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであるため、実質的に等しいと言えます。以下で具体的に確認します。

標準基底\(e\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{e}\)を線形変換\(f_{A}\)へ入力した場合、\(e\)のもとでの座標ベクトル\(A\left[ x\right]_{e}\)が出力されます。一方、\(\left[ x\right] _{e}\)を基底\(v\)のもとでの座標ベクトルに変換してから\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)に入力し、出力された座標ベクトルを\(e\)のもとでの座標ベクトルへ戻す場合、以上の一連の操作は、\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}\rightarrow \left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ \left[ A\right] _{v}\left[
x\right] _{v}\right] _{e}
\end{equation*}と表現されますが、これは、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{e}\rightarrow C_{e\rightarrow v}\left[ x\right] _{e}\rightarrow \left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}\left[ x\right] _{e}\rightarrow C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}\left[ x\right] _{e}
\end{equation*}と言い換え可能であり、さらに先に示したように、\begin{equation*}
A=C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}
\end{equation*}が成り立つため、先の一連の操作によって最終的に得られる結果は、\begin{equation*}
C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}\left[ x\right] _{e}=A\left[ x\right] _{e}
\end{equation*}となり、これは\(f_{A}\)が\(\left[ x\right] _{e}\)に対して出力する座標ベクトルと一致します。

以上の議論より、線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)は線形変換\(f_{A}\)を異なる基底のもとで表現したものであることが鮮明になりました。このことを指して、\(f_{\left[ A\right]_{v}}\)は\(f_{A}\)に相似である（\(f_{\left[ A\right] _{v}}\ \)is similar to \(f_{A}\)）とか、\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)は相似変換によって\(f_{A}\)から得られる（\(f_{\left[ A\right] _{v}}\) is obtained by a similarity transmation of \(f_{A}\)）などと言います。

逆向きの議論も成立します。基底\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{v}\)を線形変換\(f_{\left[ A\right]_{v}}\)へ入力した場合、\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}\)が出力されます。一方、\(\left[ x\right] _{v}\)を標準基底\(e\)のもとでの座標ベクトルに変換してから\(f_{A}\)に入力し、出力された座標ベクトルを\(v\)のもとでの座標ベクトルへ戻す場合、以上の一連の操作は、\begin{equation*}\left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ x\right] _{e}\rightarrow A\left[ x\right] _{e}\rightarrow \left[ A\left[ x\right] _{e}\right] _{v}
\end{equation*}と表現されますが、これは、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{v}\rightarrow C_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}\rightarrow AC_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}\rightarrow
C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}と言い換え可能であり、さらに、\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}が成り立つため、先の一連の操作によって最終的に得られる結果は、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}=\left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}となり、これは\(f_{\left[ A\right]_{v}}\)が\(\left[ x\right] _{v}\)に対して出力する座標ベクトルと一致します。

以上の議論より、線形変換\(f_{A}\)は線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)を異なる基底のもとで表現したものであることが鮮明になりました。つまり、\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)が\(f_{A}\)に相似であることは、\(f_{A}\)が\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)に相似であることも同時に意味します。

標準基底とは異なる基底間での変換

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において標準基底\(e\)を採用する場合、線形変換\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)は標準行列\begin{equation*}A=\left( f_{A}\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f_{A}\left( e_{n}\right) \right)
\end{equation*}によって特徴づけられます。基底を標準基底\(e\)から基底\(v\)へ変更した場合、\(v\)のもとでの\(f_{A}\)の行列表現\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}によって特徴づけられる線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が得られるとともに、これは\(f_{A}\)と相似です。では、基底\(v\)をさらに別の基底\(w\)へ変更した場合、線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)はどのような形へ再変換されるでしょうか。順番に考えます。

線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)は基底\(v\)のもとでの\(f_{A}\)の行列表現\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}によって特徴づけられます。つまり、\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)は基底\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right]_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはり\(v\)のもとでの座標ベクトルである、\begin{equation*}f_{\left[ A\right] _{v}}\left( \left[ x\right] _{v}\right) =\left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}を出力します。つまり、\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)の働きは以下のプロセス\begin{equation*}\left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}として理解できます。基底\(v\)を採用しているため、\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)に入出力するベクトルはともに\(v\)のもとでの座標ベクトルです。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において基底を\(v\)から\(w\)へ変換する場合、それぞれのベクトルは基底\(w\)のもとでの座標ベクトルとして表現されるようになります。一方、先の線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)は基底\(v\)のもとでの座標ベクトルを入出力する状況を想定しているため、新たな基底\(w\)のもとで先の線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)を利用するためには、入力された\(w\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{w}\)を\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{v}\)に変換してから\(f_{\left[ A\right]_{v}}\)を利用し、その結果として得られた\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}\)を再び\(w\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ \left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}\right] _{w}\)へ再変換する必要があります。つまり、基底\(v\)の代わりに基底\(w\)を採用する場合、\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)の働きを以下のプロセス\begin{equation}\left[ x\right] _{w}\rightarrow \left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ \left[ A\right] _{v}\left[
x\right] _{v}\right] _{w} \quad \cdots (1)
\end{equation}へと修正する必要があります。ベクトルの座標の基底を\(w\)から\(v\)へ変換するためには座標の変換行列\(C_{w\rightarrow v}\)を左から掛ければよく、逆に、ベクトルの座標の基底を\(v\)から\(w\)へ変換するためには座標の変換行列\(C_{w\rightarrow v}\)の逆行列\(C_{w\rightarrow v}^{-1}\)を左から掛ければよいため、以上の事実を用いて\(\left( 1\right) \)を言い換えると、\begin{equation*}\left[ x\right] _{w}\rightarrow C_{w\rightarrow v}\left[ x\right] _{w}\rightarrow \left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}\left[ x\right] _{w}\rightarrow C_{w\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}\left[ x\right] _{w}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{w}\rightarrow C_{w\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}\left[ x\right] _{w}
\end{equation*}を得ます。つまり、基底を\(v\)から\(w\)へ変更する場合、正方行列\(\left[ A\right] _{v}\)によって特徴づけられていた線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)は、以下の正方行列\begin{equation*}\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}=C_{w\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}
\end{equation*}によって特徴づけられる線形変換\(f_{\left[ \left[ A\right]_{v}\right] _{w}}\)へと変換されます。この正方行列\(\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}\)を基底\(w\)に関する線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)の行列表現（matrix representation）と呼びます。新たな線形変換\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)は基底\(w\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{w}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはり\(w\)のもとでの座標ベクトルである、\begin{eqnarray*}f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\left( \left[ x\right] _{w}\right) &=&\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}\left[ x\right] _{w}
\\
&=&C_{w\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}\left[ x\right] _{w}
\end{eqnarray*}を出力します。基底\(w\)を採用しているため、\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)に入出力するベクトルはともに\(w\)のもとでの座標ベクトルです。

基底\(v\)を採用した場合の線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を特徴づける行列\(\left[A\right] _{v}\)と、基底\(w\)に関する\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)の行列表現\(\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}\)の間には以下の関係\begin{equation*}\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}=C_{w\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}
\end{equation*}が成立しますが、両辺の左側から\(C_{w\rightarrow v}\)を掛けて、右側から\(C_{w\rightarrow v}^{-1}\)を掛けると、\begin{equation*}C_{w\rightarrow v}\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}C_{w\rightarrow
v}^{-1}=C_{w\rightarrow v}C_{w\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}C_{w\rightarrow v}^{-1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
C_{w\rightarrow v}\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}C_{w\rightarrow
v}^{-1}=I_{n}\left[ A\right] _{v}I_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=C_{w\rightarrow v}\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}C_{w\rightarrow v}^{-1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}C_{v\rightarrow w}
\end{equation*}を得ます。基底\(v\)に関する線形変換\(f_{\left[ \left[ A\right]_{v}\right] _{w}}\)の行列表現が\(\left[ A\right] _{v}\)であるということです。

2つの線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)は同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであるため、実質的に等しいと言えます。以下で具体的に確認します。

基底\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{v}\)を線形写像\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)へ入力した場合、\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}\)が出力されます。一方、\(\left[ x\right] _{v}\)を基底\(w\)のもとでの座標ベクトルに変換してから\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)に入力し、出力された座標ベクトルを\(v\)のもとでの座標ベクトルへ戻す場合、以上の一連の操作は、\begin{equation*}\left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ x\right] _{w}\rightarrow \left[ \left[
A\right] _{v}\right] _{w}\left[ x\right] _{w}\rightarrow \left[ \left[ \left[
A\right] _{v}\right] _{w}\left[ x\right] _{w}\right] _{v}
\end{equation*}と表現されますが、これは、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{v}\rightarrow C_{v\rightarrow w}\left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}C_{v\rightarrow w}\left[ x\right] _{v}\rightarrow C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}C_{v\rightarrow w}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}と言い換え可能であり、さらに先に示したように、\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}C_{v\rightarrow w}
\end{equation*}が成り立つため、先の一連の操作によって最終的に得られる結果は、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}C_{v\rightarrow w}\left[ x\right] _{v}=\left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}となり、これは\(f_{\left[ A\right]_{v}}\)が\(\left[ x\right] _{v}\)に対して出力する座標ベクトルと一致します。

逆向きの議論も成立します。基底\(w\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ x\right] _{w}\)を線形変換\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)へ入力した場合、\(w\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}\left[ x\right] _{w}\)が出力されます。一方、\(\left[ x\right] _{w}\)を基底\(v\)のもとでの座標ベクトルに変換してから\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)に入力し、出力された座標ベクトルを\(w\)のもとでの座標ベクトルへ戻す場合、以上の一連の操作は、\begin{equation*}\left[ x\right] _{w}\rightarrow \left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ A\right] _{v}\left[ x\right] _{v}\rightarrow \left[ \left[ A\right] _{v}\left[
x\right] _{v}\right] _{w}
\end{equation*}と表現されますが、これは、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{w}\rightarrow C_{w\rightarrow v}\left[ x\right] _{w}\rightarrow \left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}\left[ x\right] _{w}\rightarrow C_{w\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}\left[ x\right] _{w}
\end{equation*}と言い換え可能であり、さらに、\begin{equation*}
\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}=C_{w\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}
\end{equation*}が成り立つため、先の一連の操作によって最終的に得られる結果は、\begin{equation*}
C_{w\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{w\rightarrow v}\left[ x\right] _{w}=\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}\left[ x\right] _{w}
\end{equation*}となり、これは\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)が\(\left[ x\right] _{w}\)に対して出力する座標ベクトルと一致します。

標準行列に関する線形変換\(f_{A}\)が与えられたとき、基底を\(e\)から\(v\)へ変換すると線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)が得らます。さらに基底を\(v\)から\(w\)へ変換すると線形変換\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)が得られます。一方、\(f_{A}\)が与えられた状況において規定を\(e\)から\(w\)へ変換すると線形変換\(f_{\left[ A\right] _{w}}\)が得られますが、これは\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)と一致することが保証されます。つまり、基底を\(e\rightarrow v\rightarrow w\)という経路で変換した結果と、\(v\)を経由せずに\(e\rightarrow w\)と変換した結果は等しくなることが保証されるということです。

相似な線形写像

2つの正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)から線形変換\(f_{A},f_{B}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ定義したとき、\begin{equation*}B=\left[ A\right] _{v}
\end{equation*}を満たす基底\(v\)が存在する場合、\(f_{B}\)は\(f_{A}\)に相似である\(f_{B}\)は\(f_{A}\)に相似である（\(f_{B}\) issimilar to \(f_{A}\)）とか、\(f_{B}\)は相似変換によって\(f_{A}\)から得られる（\(f_{B}\) isobtained by a similarity transformation of \(f_{A}\)）などと言います。\(f_{A}\)と\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)は同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであるため、線形変換\(f_{A},f_{B}\)が相似であることとは、これらが同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであることを意味します。

標準行列\(A\)によって特徴づけられる線形変換\(f_{A}\)と基底\(v\)を任意に選べば、\(v\)のもとでの\(f_{A}\)の行列表現\(\left[ A\right] _{v}\)によって特徴づけられる線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)が得られます。逆に、\(e\)のもとでの\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)の行列表現が\(f_{A}\)です。したがって、\(f_{A}\)と\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)はお互いに相似です。さらに基底\(w\)を任意に選べば、\(w\)のもとでの\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)の行列表現\(\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}\)によって特徴づけられる線形変換\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)が得られます。逆に、\(v\)のもとでの\(f_{\left[ \left[ A\right]_{v}\right] _{w}}\)の行列表現が\(f_{\left[A\right] _{v}}\)です。したがって、\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)と\(f_{\left[ \left[ A\right]_{v}\right] _{w}}\)はお互いに相似です。先の命題より\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)は\(f_{\left[ A\right] _{w}}\)と一致しますが、\(f_{A}\)と\(f_{\left[ A\right] _{w}}\)はお互いに相似であるため、\(f_{A}\)と\(f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)もまたお互いに相似です。

以上の議論から明らかになったように、標準行列\(A\)と基底\(v,w\)を任意に選んだとき、\(f_{A},f_{\left[ A\right] _{v}},f_{\left[ \left[ A\right] _{v}\right] _{w}}\)はお互いに相似であることが明らかになりました。つまり、これらは同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであるため、基底が異なるという点を除いて等しい情報を含む線形変換であると言えます。

相似な正方行列

一般に、2つの正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}B=P^{-1}AP
\end{equation*}を満たす正則行列\(P\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在する場合、\(B\)は\(A\)に相似である（\(B\) is similar to \(A\)）とか、\(B\)は相似変換によって\(A\)から得られる（\(B\) isobtained by a similarity transformation）などと言います。

相似は正方行列集合\(M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された同値関係です。

正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。ただし、\(f_{B}\)は\(f_{A}\)に相似であるものとします。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)における何らかの基底\(v\)のもとで以下の関係\begin{equation*}B=\left[ A\right] _{v}
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、座標の変換行列\(C\)が、\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=C^{-1}AC
\end{equation*}を満たすため、\begin{equation*}
B=C^{-1}AC
\end{equation*}を得ます。座標の変換行列\(C\)は正則であるため、以上の事実は\(B\)が\(A\)と相似であることを意味します。正方行列の相似は対称性を満たすため、\(B\)が\(A\)と相似である場合には\(A\)は\(B\)もまた相似です。

逆向きの議論も成立するため以下の命題を得ます。

2つの正方行列\(A,B\)が相似であることは、何らかの基底\(v\)のもとで、\begin{equation*}B=\left[ A\right] _{v}
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であることが明らかになりました。2つの線形変換\(f_{A},f_{B}\)は同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであるため、\(A\)と\(B\)もまた基底が異なるという点を除いて等しい情報を含む正方行列であると言えます。

正方行列の相似は反射律を満たすため、任意の正方行列は自身と相似です。実際、正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、標準基底\(\left\{ e_{1},\cdots,e_{n}\right\} \)のもとで、\begin{equation*}A=\left[ A\right] _{e}
\end{equation*}が成り立ちます。その反面、自身以外の他のいかなる正方行列とも相似ではない正方行列は存在します。以下の例より明らかです。

演習問題