正方行列の対角化可能性とその利点

相似な線形変換と正方行列

正方行列が相似であることの定義およびその性質について簡単に復習します。

2つの正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\(B\)が\(A\)に相似であることとは、以下の条件\begin{equation*}B=P^{-1}AP
\end{equation*}を満たす正則行列\(P\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することとして定義されます。

相似は正方行列集合\(M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された同値関係です。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において標準基底\(e=\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)を採用する場合、線形変換\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)は標準行列\begin{equation*}A=\left( f_{A}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f_{A}\left(
\boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\end{equation*}と同一視されます。この線形変換\(f_{A}\)は標準基底\(e\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ \boldsymbol{x}\right]_{e}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはり\(e\)のもとでの座標ベクトルである、\begin{equation*}f_{A}\left( \left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}\right) =A\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}
\end{equation*}を出力します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を標準基底\(e\)から基底\(v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)へ変更する場合、標準行列\(A\)によって特徴づけられていた線形変換\(f_{A}\)は、基底\(v\)に関する\(f_{A}\)の行列表現\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}によって特徴づけられる線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)へと変換されます。この新たな線形変換\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)は基底\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはり\(v\)のもとでの座標ベクトルである、\begin{eqnarray*}f_{\left[ A\right] _{v}}\left( \left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}\right) &=&\left[ A\right] _{v}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v} \\
&=&C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{eqnarray*}を出力します。

\(f_{A}\)と\(f_{\left[ A\right] _{v}}\)は同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであり、したがって基底が異なるという点を除いて両者は等しい情報を含む線形変換であると言えます。

以上を踏まえた上で、2つの正方行列が相似であることを以下のように表現できることを示しました。

2つの正方行列\(A,B\)が相似であることは、何らかの基底\(v\)のもとで、\begin{equation*}B=\left[ A\right] _{v}
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であることが明らかになりました。2つの線形変換\(f_{A},f_{B}\)は同一の線形変換を異なる基底のもとで表現したものであるため、\(A\)と\(B\)もまた基底が異なるという点を除いて等しい情報を含む正方行列であると言えます。したがって、与えられた正方行列\(A\)が複雑で扱いづらい場合、それをよりシンプルで扱いやすい正方行列\(B\)へと相似変換しても一般性が失われないことが保証されます。では、どのようなタイプの正方行列へ相似変換できれば望ましいでしょうか。順番に考えます。

対角行列

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行番号と列番号が一致する成分\begin{equation*}a_{11},\cdots ,a_{nn}
\end{equation*}を総称して\(A\)の対角成分（diagonal elements）と呼びます。また、対角成分の集まりを対角線（diagonal）や主対角線（main diagonal）などと呼びます。一方、対角成分ではない成分を非対角成分（non-diagonal elements）と呼びます。定義より、正方行列\(A\)の対角成分は下図において\(\ast \)が記されている成分です。それ以外のすべての成分は非対角成分です。\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11}^{\ast } & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}^{\ast }\end{pmatrix}\end{equation*}

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非対角成分がすべて\(0\)である場合には、つまり、\begin{equation*}\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left( i\not=j\Rightarrow
a_{ij}=0\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を対角行列（diagonalmatrix）と呼びます。定義より、対角行列\(A\)を、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}と表記できます。次数\(n\)の対角行列を特定するためには\(n\)個の対角成分を指定すれば十分であるため、それを、\begin{equation*}\mathrm{diag}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) =\begin{pmatrix}
a_{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & a_{n}\end{pmatrix}\end{equation*}と表記することもできます。

対角行列は正則であり、逆行列は以下のように定まります。

対角行列によって特徴づけられる線形変換

対角行列は正方行列であるため、対角行列もまた線形変換と同一視できます。では、対角行列によって表現される線形変換はどのような特徴を備えているのでしょうか。具体例を提示した後に結論を一般化します。

線形写像を特徴づける正方行列が対角行列ではない場合、入力したベクトルと出力されるベクトルの対応関係を把握するのが困難です。

議論を一般化します。対角行列\(D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられている状況を想定します。対角行列は正方行列であるため、これは\(D\)を標準行列とする線形変換\begin{equation*}f_{D}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と同一視されます。つまり、\begin{equation}
D=\left( f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f_{D}\left(
\boldsymbol{e}_{n}\right) \right) =\mathrm{diag}\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。この線形変換\(f_{D}\)に列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を入力すると、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}f_{D}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&D\boldsymbol{x} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\mathrm{row}\left( D,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( D,n\right)
\end{array}\right) \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}\mathrm{row}\left( D,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{row}\left(
D,n\right) \\
&=&x_{1}f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) +\cdots +x_{n}f_{D}\left(
\boldsymbol{e}_{n}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f_{D}\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{1}f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) +\cdots +x_{n}f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が出力されます。したがって、\(f_{D}\)の形状は標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)を入力したときに出力されるベクトル\(f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \)によって集約的に表現されますが、具体的には、\(\left( 1\right) \)より、\begin{gather*}f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
0\end{array}\right) =a_{1}\boldsymbol{e}_{1} \\
\vdots \\
f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) =a_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{gather*}すなわち、\begin{equation}
\forall i\in \left\{ 1,2,\cdots n\right\} :f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{i}\right) =a_{i}\boldsymbol{e}_{i} \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。つまり、\(f_{A}\)に標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{i}\)を入力するとスカラー倍\(a_{i}\boldsymbol{e}_{i}\)が出力されるため、入力したベクトルと出力されるベクトルの対応関係を容易に把握できます。具体的には、\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より以下の関係\begin{equation*}f_{D}\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{1}a_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots
+x_{n}a_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

ちなみに、基底を、\begin{equation*}
v=\left\{ a_{1}\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,a_{n}\boldsymbol{e}_{n}\right\}
=\left\{ f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f_{D}\left(
\boldsymbol{e}_{n}\right) \right\}
\end{equation*}へと変換すれば、入力したベクトルがそのまま出力されるベクトルの座標と一致します。実際、座標の変換行列は、\begin{eqnarray*}
C_{v\rightarrow e} &=&\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) \\
&=&\left( f_{D}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f_{D}\left(
\boldsymbol{e}_{n}\right) \right) \\
&=&D
\end{eqnarray*}であるため、\(v\)のもとでの\(f_{D}\)の行列表現は、\begin{eqnarray*}\left[ D\right] _{v} &=&C_{v\rightarrow e}^{-1}DC_{v\rightarrow e} \\
&=&D^{-1}DD \\
&=&I_{n}D \\
&=&D
\end{eqnarray*}となります。線形変換\(f_{\left[ D\right] _{v}}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)に\(v\)のもとでの座標ベクトルである、\begin{eqnarray*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v} &=&C_{e\rightarrow v}\boldsymbol{x} \\
&=&D^{-1}\boldsymbol{x} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{a_{1}}x_{1} \\
\vdots \\
\frac{1}{a_{n}}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を入力すると、同じく\(v\)のもとでの座標ベクトルである、\begin{eqnarray*}f_{\left[ D\right] _{v}}\left( \left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}\right) &=&\left[ D\right] _{v}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v} \\
&=&D\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v} \\
&=&DD^{-1}\boldsymbol{x} \\
&=&I_{n}\boldsymbol{x} \\
&=&\boldsymbol{x} \\
&=&\frac{1}{a_{1}}x_{1}\left( a_{1}\boldsymbol{e}_{1}\right) +\cdots +\frac{1}{a_{n}}x_{n}\left( a_{n}\boldsymbol{e}_{n}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{a_{1}}x_{1}\right) \boldsymbol{v}_{1}+\cdots +\left(
\frac{1}{a_{n}}x_{n}\right) \boldsymbol{v}_{n}
\end{eqnarray*}が出力されます。入力したベクトルがそのまま出力されるベクトルの座標と一致していることを確認できました。

対角化可能な正方行列

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が何らかの対角行列と相似である場合には、すなわち、以下の条件\begin{equation*}A=P^{-1}DP
\end{equation*}を満たす対角行列\(D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)と正則行列\(P\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在する場合には、\(A\)は対角化可能（diagonalizable）であると言います。

正方行列が対角化可能であることの意味は後ほど解説することとして、まずは具体例を提示します。

正方行列は対角化可能であるとは限りません。正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が対角化可能ではない場合、\(A\)は対角化不可能（non-diagonalizable）であると言います。これは、対角行列\(D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ場合、任意の正則行列\(P\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)について、\begin{equation*}A\not=P^{-1}DP
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

正方行列が対角化可能であることの利点

正方行列どうしが同値であることを特徴づける先の命題を踏まえると、正方行列が対角化可能であることを以下のように表現することもできます。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられているものとします。これは\(A\)を標準行列とする線形変換\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と同一視されます。\(A\)が対角行列ではない場合、先に例を通じて確認したように、\(f_{A}\)に標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{i}\)を入力したときに出力されるベクトルは\(\boldsymbol{e}_{i}\)のスカラー倍ではないため、入力したベクトルと出力されるベクトルの対応関係を把握するのが困難です。ただし、正方行列\(A\)が対角化可能である場合には工夫の余地があります。

実際、正方行列\(A\)が対角化可能である場合、先の命題より、適当な基底\(v\)を選べば対角行列\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}=\mathrm{diag}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{equation*}が得られます。このとき、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow
e}^{-1}=C_{v\rightarrow e}C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow
e}C_{v\rightarrow e}^{-1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow e}^{-1}=I_{n}AI_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A=C_{v\rightarrow e}\left[ A\right] _{v}C_{v\rightarrow e}^{-1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A=C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}
\end{equation*}を得ます。したがって、線形変換\(f_{A}\)は、正方行列\(C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right]_{v}C_{e\rightarrow v}\)を標準行列として持つ線形変換\begin{equation*}f_{C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と一致します。この線形変換は\(f_{A}\)と一致するため、入出力するベクトルは標準基底\(e\)のもとでの座標ベクトルです。この線形変換にベクトル\(\boldsymbol{x}=\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}\in \mathbb{R} ^{n}\)を入力すると、以下のベクトル\begin{equation*}f_{C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}}\left(
\boldsymbol{x}\right) =C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}\boldsymbol{x}
\end{equation*}が出力されます。特に、基底\(v\)の要素である基底ベクトル\(\boldsymbol{v}_{i}=\left[ \boldsymbol{v}_{i}\right] _{e}\in \mathbb{R} ^{n}\)を入力すると、\begin{eqnarray*}f_{C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}}\left(
\boldsymbol{v}_{i}\right) &=&C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}\boldsymbol{v}_{i} \\
&=&C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}\boldsymbol{e}_{i} \\
&=&C_{e\rightarrow v}^{-1}a_{i}\boldsymbol{e}_{i} \\
&=&a_{i}C_{e\rightarrow v}^{-1}\boldsymbol{e}_{i} \\
&=&a_{i}\boldsymbol{v}_{i}
\end{eqnarray*}が出力されますが、\(f_{C_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ A\right] _{v}C_{e\rightarrow v}}\)は\(f_{A}\)と一致するため、\begin{equation*}f_{A}\left( \boldsymbol{v}_{i}\right) =a_{i}\boldsymbol{v}_{i}
\end{equation*}を得ます。

以上の事実は、\(f_{A}\)に入出力するベクトルを基底\(v\)のもとでの座標ベクトルにすれば、\(f_{A}\)に入力したベクトルと出力されるベクトルの対応関係を容易に把握できることを意味します。実際、基底\(v\)のもとでの座標ベクトル\(\left[ \boldsymbol{x}\right]_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、これは基底\(v\)を構成する基底ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)の線型結合\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=b_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +b_{n}\boldsymbol{v}_{n}
\end{equation*}として表現されるため、これを\(f_{A}\)に入力すると、\begin{eqnarray*}f_{A}\left( \left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}\right) &=&f_{A}\left( b_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +b_{n}\boldsymbol{v}_{n}\right) \\
&=&b_{1}f_{A}\left( \boldsymbol{v}_{1}\right) +\cdots +b_{n}f_{A}\left(
\boldsymbol{v}_{n}\right) \quad \because f_{A}\text{は線形変換} \\
&=&b_{1}a_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +b_{n}a_{n}\boldsymbol{v}_{n}\quad
\because f_{A}\left( \boldsymbol{v}_{i}\right) =a_{i}\boldsymbol{v}_{i}
\end{eqnarray*}を得ます。

演習問題