ユークリッド空間においても、実数空間と同様に、コーシー列(基本列)と呼ばれる点列を定義することができます。コーシー列は有界な点列です。

コーシー列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列のある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなるとき、この点列をコーシー列(Cauchy sequence)や基本列(fundamental sequence)などと呼びます。ただ、コーシー列に関して議論を厳密に行うためには、「限りなく小さくなる」ことを明確に定式化しておく必要があります。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の2つの項\(x_{p},x_{q}\)を任意に選んだとき、それらの距離は\(d\left( x_{p},x_{q}\right) \)で表されます。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であるならば、どれほど小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、ある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、この点列の第\(N\)項より先にある任意の2つの項\(x_{p},x_{q}\)の間の距離\(\left\vert x_{p}-x_{q}\right\vert \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。以上の主張を定式化すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall p\in
\mathbb{N} ,\ \forall q\in
\mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( x_{p},x_{q}\right)
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上によって点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることの定義とします。

ユークリッド空間上の2つの点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)が任意に与えられたとき、距離とノルムの間には、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert
\end{equation*}という関係が成り立つことを踏まえると、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることを、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall p\in
\mathbb{N} ,\ \forall q\in
\mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow \left\Vert x_{p}-x_{q}\right\Vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現することもできます。

コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく点列です。したがって、問題としている空間上にコーシー列の項を描画していくとそのうち動かなくなり、ほとんど重なっていきます。そのようなこともありコーシー列はいかにも収束しそうですが、実際のところはどうでしょうか。後ほどコーシー列と収束列の関係を議論します。

例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\frac{1}{v^{2}}
\end{equation*}で与えられる\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることを示します。目標は、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall p\in
\mathbb{N} ,\ \forall q\in
\mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( x_{p},x_{q}\right)
<\varepsilon \right) \tag{1}
\end{equation}を示すことです。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために、\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}
d\left( x_{p},x_{q}\right) &=&\left\vert \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right\vert \quad \because d\text{の定義} \\
&\leq &\left\vert \frac{1}{p^{2}}\right\vert +\left\vert \frac{1}{q^{2}}\right\vert \\
&=&\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{q^{2}}\quad \because p,q\in
\mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\quad \because p,q\in
\mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because p\geq N,\ q\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
d\left( x_{p},x_{q}\right) \leq \frac{2}{N} \tag{2}
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{2}{N}<\varepsilon \tag{3}
\end{equation}を満たすような番号\(N\)を適当に選べば、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}
d\left( x_{p},x_{q}\right) &\leq &\frac{2}{N}\quad \because \left( 2\right)
\\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。したがって、与えられた点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列です。
例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられる\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列がコーシー列であることを示します。目標は、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall p\in
\mathbb{N} ,\ \forall q\in
\mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( x_{p},x_{q}\right)
<\varepsilon \right) \tag{1}
\end{equation}を示すことです。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために、\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}
d\left( x_{p},x_{q}\right) &=&\sqrt{\left( 1+\frac{1}{2p},2-\frac{1}{2p}\right) ,\left( 1+\frac{1}{2q},2-\frac{1}{2q}\right) }\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2p}\right) -\left( 1+\frac{1}{2q}\right) \right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2p}\right) -\left( 2-\frac{1}{2q}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\sqrt{\left( \frac{1}{2p}-\frac{1}{2q}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\left\vert \frac{1}{2p}-\frac{1}{2q}\right\vert \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2p}+\frac{1}{2q}\right) \quad \because m,n>0
\\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}\right) \quad \because
m,n\geq N \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
d\left( x_{p},x_{q}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{N} \tag{2}
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{\sqrt{2}}{N}<\varepsilon \tag{3}
\end{equation}を満たすような番号\(N\)を適当に選べば、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}
d\left( x_{p},x_{q}\right) &\leq &\frac{\sqrt{2}}{N}\quad \because \left(
2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。したがって、与えられた点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列です。

 

コーシー列ではないことの意味

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列でないこととは、コーシー列の定義の否定である、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in
\mathbb{N} ,\ \exists p\in
\mathbb{N} ,\ \exists q\in
\mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\wedge d\left( x_{p},x_{q}\right) \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、正の実数\(\varepsilon \)を適当に選ぶと、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のどの番号\(N\)以降の項についても、それらの距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうような2つの項\(x_{p},x_{q}\)が存在するということです。

例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=v
\end{equation*}で与えられる\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)について考えます。この点列の項は\(1,2,3,4,\cdots \)と\(1\)ずつ増えていくため、番号\(v\)がいくら大きくなっても隣り合う項の距離は\(1\)のままで一定です。したがって、この点列\(\{x_{v}\}\)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。そこで、\(\varepsilon =1\)を選んだ上で、これに対して任意の番号\(N\)を選び、さらに\(p=N+1\)かつ\(q=N+2\)とします。このとき、\begin{eqnarray*}
d\left( x_{p},x_{q}\right) &=&\left\vert x_{p}-x_{q}\right\vert \quad
\because d\text{の定義} \\
&=&\left\vert p-q\right\vert \quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( N+1\right) -\left( N+2\right) \right\vert \quad
\because p=N+1,\ q=N+2 \\
&=&1 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため、やはり\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列ではありません。
例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1^{v},\left( -1\right) ^{v}\right)
\end{equation*}で与えられる\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)について考えます。\(\varepsilon =1\)を選びます。これに対して番号\(N\)を選び、さらに\(p=N\)かつ\(q=N+1\)とします。このとき、\begin{eqnarray*}
d\left( x_{p},x_{q}\right) &=&\sqrt{\left( 1^{p},\left( -1\right)
^{p}\right) ,\left( 1^{q},\left( -1\right) ^{q}\right) }\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( 1^{p}-1^{q}\right) ^{2}+\left[ \left( -1\right) ^{p}-\left(
-1\right) ^{q}\right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left( 1^{N}-1^{N+1}\right) ^{2}+\left[ \left( -1\right)
^{N}-\left( -1\right) ^{N+1}\right] ^{2}}\quad \because p=N,\ q=N+1 \\
&=&\sqrt{0+4} \\
&=&2 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列ではありません。

次回はコーシー列と収束列の関係について解説します。

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