ユークリッド空間においても、実数空間と同様に、コーシー列(基本列)と呼ばれる点列を定義することができます。コーシー列は有界な点列です。

コーシー列

復習になりますが、\(\mathbb{R} \)における数列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列(Cauchy sequence)もしくは基本列(fundamental sequence)であるとは、ある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、第\(N\)項より先の任意の2つの項\(x_{m},x_{n}\)の間の距離\(\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \)が限りなく小さくなること、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N,\ n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right) \end{equation*}が成り立つことを意味します。

実数空間におけるコーシー列について復習する

\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{1}\)は実数空間\(\mathbb{R} \)に等しく、そこでの距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が実数の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して定める距離は、\begin{equation*} d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert \end{equation*}となるため、先のコーシー列の定義は、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N,\ n\geq N\ \Rightarrow \ d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}と言い換え可能です。これはユークリッド距離関数\(d\)を用いたコーシー列の定義です。 そこで、上と同様の命題によって一般のユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることを定義します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるユークリッド距離関数を\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)で表すとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることを、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N,\ n\geq N\ \Rightarrow \ d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義します。どのような正の実数\(\varepsilon \)を設定した場合においても、それに対してある番号\(N\)が存在して、第\(N\)項より先の任意の2つの項\(x_{m},x_{n}\)の間のユークリッド距離\(d\left( x_{m},x_{n}\right) \)が\(\varepsilon \)より小さくなることということです。 ちなみに、距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)とノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の間には、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*} d\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert \end{equation*}という関係が成り立つため、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることは、ノルムを利用して、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N,\ n\geq N\ \Rightarrow \ \left\Vert x_{m}-x_{n}\right\Vert
<\varepsilon \right] \end{equation*}と表現することもできます。

例(コーシー列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*} x_{v}=\frac{1}{2^{v}} \end{equation*}で与えられているものとします。\(\varepsilon >0\)を任意に選び、それに対して、\begin{equation}
\frac{1}{2^{N-1}}<\varepsilon \tag{1} \end{equation}が成り立つほど十分大きい番号\(N\in \mathbb{N} \)を選びます。このとき、\(m\geq N,\ n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*} d\left( x_{m},x_{n}\right) &=&\left\vert \frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert \quad \because \{x_{v}\}\text{の定義} \\ &\leq &\frac{1}{2^{m}}+\frac{1}{2^{n}}\quad \because m,n>0 \\
&\leq &\frac{1}{2^{N}}+\frac{1}{2^{N}}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{1}{2^{N-1}} \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 1\right) \end{eqnarray*}が成り立つため、\(\{x_{v}\}\)はコーシー列です。
例(コーシー列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*} x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right) \end{equation*}で与えられているものとします。\(\varepsilon >0\)を任意に選び、それに対して、\begin{equation}
\frac{\sqrt{2}}{N}<\varepsilon \tag{1} \end{equation}が成り立つほど十分大きい番号\(N\in \mathbb{N} \)を選びます。このとき、\(m\geq N,\ n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*} d\left( x_{m},x_{n}\right) &=&\sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2m}\right) -\left( 1+\frac{1}{2n}\right) \right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2m}\right) -\left( 2-\frac{1}{2n}\right) \right] ^{2}} \\ &=&\sqrt{2}\sqrt{\left( \frac{1}{2m}-\frac{1}{2n}\right) ^{2}} \\ &=&\sqrt{2}\left\vert \frac{1}{2m}-\frac{1}{2n}\right\vert \\ &\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2m}+\frac{1}{2n}\right) \quad \because m,n>0
\\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}\right) \quad \because
m,n\geq N \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{N} \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 1\right) \end{eqnarray*}が成り立つため、\(\{x_{v}\}\)はコーシー列です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列でないこととは、コーシー列の定義に相当する命題の否定である、\begin{equation*} \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N,\ n\geq N,\ d\left( x_{m},x_{n}\right) \geq \varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、正の実数\(\varepsilon \)を適当に選ぶと、点列\(\{x_{v}\}\)のどの番号\(N\)以降の項についても、それらのユークリッド距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうような2つの項\(x_{m},x_{n}\)が存在するということです。

例(コーシー列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=v
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\varepsilon =1\)を選びます。これに対して任意の番号\(N\in \mathbb{N} \)を選び、さらに\(m=N+2\)かつ\(n=N+1\)とします。このとき、\begin{eqnarray*}
d\left( x_{m},x_{n}\right) &=&d\left( N+2,N+1\right) \\
&=&\left\vert \left( N+2\right) -\left( N+1\right) \right\vert \\
&=&1 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため\(\{x_{v}\}\)はコーシー列ではありません。
例(コーシー列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( 1^{v},\left( -1\right)
^{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\varepsilon =1\)を選びます。これに対して任意の番号\(N\in \mathbb{N} \)を選び、さらに\(m=N\)かつ\(n=N+1\)とします。このとき、\begin{eqnarray*}
d\left( x_{m},x_{n}\right) &=&\sqrt{\left( x_{1}^{m}-x_{1}^{n}\right)
^{2}+\left( x_{2}^{m}-x_{2}^{n}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left( 1^{N}-1^{N+2}\right) ^{2}+\left[ \left( -1\right)
^{N}-\left( -1\right) ^{N+1}\right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{0+4} \\
&=&2 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため、\(\{x_{v}\}\)はコーシー列ではありません。

 

コーシー列は有界

復習になりますが、\(\mathbb{R} \)におけるコーシー列に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(コーシー列は有界)
\(\mathbb{R} \)における数列がコーシー列ならば、それは有界な数列である。
上の命題について復習する

上の命題を利用すると、\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるコーシー列についても同様の命題が成り立つことを示すことができます。

命題(コーシー列は有界)
\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列がコーシー列ならば、それは有界な点列である。
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例(コーシー列は有界)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられる\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることは先に示しました。したがって上の命題より、この点列\(\{x_{v}\}\)は有界です。実際、この点列から生成される 2 つの数列\(\{x_{1}^{v}\},\{x_{2}^{v}\}\)は、任意の番号\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}
1 &\leq &x_{1}^{v}=1+\frac{1}{2v}\leq \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} &\leq &x_{2}^{v}=2-\frac{1}{2v}\leq 2
\end{eqnarray*}を満たすため、ともに有界です。したがって、点列\(\{x_{v}\}\)が点列であることが示されました。この結果は上の命題と整合的です。

先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、有界な点列はコーシー列であるとは限りません。

例(有界な点列はコーシー列であるとは限らない)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( 1^{v},\left( -1\right)
^{v}\right)
\end{equation*}で与えられる\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列ではないことは先に示しました。一方、この点列から生成される 2 つの数列\(\{x_{1}^{v}\},\{x_{2}^{v}\}\)は、任意の番号\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}
1 &\leq &x_{1}^{v}=1^{v}\leq 1 \\
-1 &\leq &x_{2}^{v}=\left( -1\right) ^{v}\leq 1
\end{eqnarray*}を満たすため、ともに有界です。したがって、点列\(\{x_{v}\}\)が点列であることが示されました。

コーシー列が有界であるという事実は、コーシー列の収束について考える際に重要な役割を果たします。

次回はコーシー列と収束列の関係について解説します。

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