コーシー列
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列のある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなるとき、この点列をコーシー列（Cauchy sequence）や基本列（fundamental sequence）などと呼びます。ただ、コーシー列に関して議論を厳密に行うためには「限りなく小さくなる」ことを明確に定式化しておく必要があります。
点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の2つの項\(x_{p},x_{q}\)を任意に選んだとき、それらの距離は\(d\left( x_{p},x_{q}\right) \)で表されます。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であるならば、どれほど小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、ある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、この点列の第\(N\)項より先にある任意の2つの項\(x_{p},x_{q}\)の間の距離\(d\left( x_{p},x_{q}\right) \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。以上の主張を定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( x_{p},x_{q}\right)
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上によって点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることの定義とします。
コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく点列です。したがって、空間上にコーシー列の項を描画していくとそのうち動かなくなり、ほとんど重なっていきます。そのようなこともありコーシー列はいかにも収束しそうですが、実際のところはどうでしょうか。後ほどコーシー列と収束列の関係を議論します。
例（コーシー列）
\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( x_{p},x_{q}\right)
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} \)においては、\begin{equation*}d\left( x_{p},x_{q}\right) =\left\vert x_{p}-x_{q}\right\vert
\end{equation*}という関係が成り立つため、これを用いて上の定義を言い換えると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow \left\vert x_{p}-x_{q}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、これは数列がコーシー列であることの定義に他なりません。以上を踏まえた上で、一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\frac{1}{v^{2}}
\end{equation*}として与えられる\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることを示します。目標は、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことです。\(\varepsilon>0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために\(\left(1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right\vert &\leq &\left\vert
\frac{1}{p^{2}}\right\vert +\left\vert \frac{1}{q^{2}}\right\vert \quad
\because p,q\in \mathbb{N} \\
&=&\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{q^{2}}\quad \because p,q\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\quad \because p,q\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because p\geq N,\ q\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right\vert \leq \frac{2}{N}
\quad \cdots (2)
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{2}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすような番号\(N\)を適当に選べば（アルキメデスの性質よりそのような番号は存在する）、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。したがって点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列です。
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} \)においては、\begin{equation*}d\left( x_{p},x_{q}\right) =\left\vert x_{p}-x_{q}\right\vert
\end{equation*}という関係が成り立つため、これを用いて上の定義を言い換えると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow \left\vert x_{p}-x_{q}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、これは数列がコーシー列であることの定義に他なりません。以上を踏まえた上で、一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\frac{1}{v^{2}}
\end{equation*}として与えられる\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることを示します。目標は、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことです。\(\varepsilon>0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために\(\left(1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right\vert &\leq &\left\vert
\frac{1}{p^{2}}\right\vert +\left\vert \frac{1}{q^{2}}\right\vert \quad
\because p,q\in \mathbb{N} \\
&=&\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{q^{2}}\quad \because p,q\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\quad \because p,q\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because p\geq N,\ q\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right\vert \leq \frac{2}{N}
\quad \cdots (2)
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{2}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすような番号\(N\)を適当に選べば（アルキメデスの性質よりそのような番号は存在する）、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。したがって点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列です。
例（点列の極限）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( x_{p},x_{q}\right)
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} ^{2}\)においては、\begin{equation*}d\left( x_{p},x_{q}\right) =\sqrt{\left( x_{p}^{\left( 1\right)
}-x_{q}^{\left( 1\right) }\right) ^{2}+\left( x_{v}^{\left( 2\right)
}-x_{q}^{\left( 2\right) }\right) ^{2}}
\end{equation*}という関係が成り立つため、これを用いて上の定義を言い換えると、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow \sqrt{\left( x_{p}^{\left( 1\right)
}-x_{q}^{\left( 1\right) }\right) ^{2}+\left( x_{p}^{\left( 2\right)
}-x_{q}^{\left( 2\right) }\right) ^{2}}<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。以上を踏まえた上で、一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}として与えられる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることを示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}&&\sqrt{\left( x_{p}^{\left( 1\right) }-x_{q}^{\left( 1\right) }\right)
^{2}+\left( x_{p}^{\left( 2\right) }-x_{q}^{\left( 2\right) }\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2p}\right) -\left( 1+\frac{1}{2q}\right) \right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2p}\right) -\left( 2-\frac{1}{2q}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\sqrt{\left( \frac{1}{2p}-\frac{1}{2q}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\left\vert \frac{1}{2p}-\frac{1}{2q}\right\vert \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2p}+\frac{1}{2q}\right) \quad \because p,q\in \mathbb{N} \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}\right) \quad \because
p,q\geq N \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
d\left( x_{p},x_{q}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{N} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{\sqrt{2}}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすような番号\(N\)を適当に選べば（アルキメデスの性質よりそのような番号は存在する）、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}d\left( x_{p},x_{q}\right) &\leq &\frac{\sqrt{2}}{N}\quad \because \left(
2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。したがって点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列です。
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} ^{2}\)においては、\begin{equation*}d\left( x_{p},x_{q}\right) =\sqrt{\left( x_{p}^{\left( 1\right)
}-x_{q}^{\left( 1\right) }\right) ^{2}+\left( x_{v}^{\left( 2\right)
}-x_{q}^{\left( 2\right) }\right) ^{2}}
\end{equation*}という関係が成り立つため、これを用いて上の定義を言い換えると、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow \sqrt{\left( x_{p}^{\left( 1\right)
}-x_{q}^{\left( 1\right) }\right) ^{2}+\left( x_{p}^{\left( 2\right)
}-x_{q}^{\left( 2\right) }\right) ^{2}}<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。以上を踏まえた上で、一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}として与えられる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であることを示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}&&\sqrt{\left( x_{p}^{\left( 1\right) }-x_{q}^{\left( 1\right) }\right)
^{2}+\left( x_{p}^{\left( 2\right) }-x_{q}^{\left( 2\right) }\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2p}\right) -\left( 1+\frac{1}{2q}\right) \right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2p}\right) -\left( 2-\frac{1}{2q}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\sqrt{\left( \frac{1}{2p}-\frac{1}{2q}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\left\vert \frac{1}{2p}-\frac{1}{2q}\right\vert \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2p}+\frac{1}{2q}\right) \quad \because p,q\in \mathbb{N} \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}\right) \quad \because
p,q\geq N \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
d\left( x_{p},x_{q}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{N} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{\sqrt{2}}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすような番号\(N\)を適当に選べば（アルキメデスの性質よりそのような番号は存在する）、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}d\left( x_{p},x_{q}\right) &\leq &\frac{\sqrt{2}}{N}\quad \because \left(
2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。したがって点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列です。
コーシー列ではないことの意味
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列でないこととは、コーシー列の定義の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists p\in \mathbb{N} ,\ \exists q\in \mathbb{N} :\left( p\geq N\wedge q\geq N\wedge d\left( x_{p},x_{q}\right) \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、正の実数\(\varepsilon \)を適当に選ぶと、点列\(\left\{x_{v}\right\} \)のどの番号\(N\)以降の項についても、それらの距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうような2つの項\(x_{p},x_{q}\)が存在するということです。
例（コーシー列）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1^{v},\left( -1\right) ^{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\varepsilon =1\)を選びます。これに対して番号\(N\)を任意にとり、さらに\(p=N\)かつ\(q=N+1\)と定めます。このとき、\begin{eqnarray*}d\left( x_{p},x_{q}\right) &=&\sqrt{\left( 1^{p},\left( -1\right)
^{p}\right) ,\left( 1^{q},\left( -1\right) ^{q}\right) }\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( 1^{p}-1^{q}\right) ^{2}+\left[ \left( -1\right) ^{p}-\left(
-1\right) ^{q}\right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left( 1^{N}-1^{N+1}\right) ^{2}+\left[ \left( -1\right)
^{N}-\left( -1\right) ^{N+1}\right] ^{2}}\quad \because p=N,\ q=N+1 \\
&=&\sqrt{0+4} \\
&=&2 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列ではないことが示されました。
=\left( 1^{v},\left( -1\right) ^{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\varepsilon =1\)を選びます。これに対して番号\(N\)を任意にとり、さらに\(p=N\)かつ\(q=N+1\)と定めます。このとき、\begin{eqnarray*}d\left( x_{p},x_{q}\right) &=&\sqrt{\left( 1^{p},\left( -1\right)
^{p}\right) ,\left( 1^{q},\left( -1\right) ^{q}\right) }\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( 1^{p}-1^{q}\right) ^{2}+\left[ \left( -1\right) ^{p}-\left(
-1\right) ^{q}\right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left( 1^{N}-1^{N+1}\right) ^{2}+\left[ \left( -1\right)
^{N}-\left( -1\right) ^{N+1}\right] ^{2}}\quad \because p=N,\ q=N+1 \\
&=&\sqrt{0+4} \\
&=&2 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ x_{v}\right\} \)はコーシー列ではないことが示されました。
演習問題
問題（コーシー列）
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がコーシー列であるものとします。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、一般項が\begin{equation*}y_{v}=x_{v}+\alpha
\end{equation*}で与えられる点列\(\left\{y_{v}\right\} \)を定義すると、これもまたコーシー列であることを示してください。
\end{equation*}で与えられる点列\(\left\{y_{v}\right\} \)を定義すると、これもまたコーシー列であることを示してください。
問題（コーシー列）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \frac{3}{2v},-\frac{3}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列がコーシー列であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
=\left( \frac{3}{2v},-\frac{3}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列がコーシー列であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
問題（コーシー列）
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}x_{v}+y_{v}
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともにコーシー列である場合には\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)もまたコーシー列になることを証明してください。
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともにコーシー列である場合には\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)もまたコーシー列になることを証明してください。
問題（コーシー列）
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\{x_{v}\}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},x_{N}\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たすことは、\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であるための必要十分条件であることを証明してください。
\end{equation*}を満たすことは、\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であるための必要十分条件であることを証明してください。
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