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収束点列と順序

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)を任意に選びます。ただし、両者の間には、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq y_{v}
\end{equation*}が成り立つものとします。\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序です。つまり、任意番目の項に注目したとき、\(\left\{ y_{v}\right\} \)の項が\(\left\{x_{v}\right\} \)の項以上であるということです。これらの点列がともに収束する場合には、両者の極限の間についても、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\leq \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束点列と順序)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに収束するとともに、両者の間に、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、両者の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\leq \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}が成り立つ。

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上の命題において標準的順序\(\leq \)を狭義順序\(\leq \)に置き換えた主張もまた成り立つでしょうか。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の収束する点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)の間に、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :x_{v}<y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、両者の極限の間にも、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}<\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、これは成り立ちません。

例(収束点列と順序)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列である\(\{x_{v}\}\)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}x_{v} &=&\left( \frac{1}{v+1},\frac{1}{2v}\right) \\
y_{v} &=&\left( \frac{1}{v},\frac{1}{2v}\right)
\end{eqnarray*}でそれぞれ与えられているものとします。両者の間には、\begin{equation*}
\forall v\in \mathbb{N} :\left( \frac{1}{v+1},\frac{1}{2v}\right) <\left( \frac{1}{v},\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall v\in \mathbb{N} :x_{v}<y_{v}
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v+1},\frac{1}{2v}\right) =\left( 0,0\right) \\
\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{2v}\right) =\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}<\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}は成り立ちません。

 

有界な収束点列の極限

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq U
\end{equation*}が成り立つということです。これは、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と、任意の項が\(y_{v}=U\)であるような点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)の間に、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq y_{v}
\end{equation*}が成り立つこととして言い換え可能です。\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するものとします。また、\(\left\{ y_{v}\right\} \)は明らかに点\(U\)へ収束します。したがって先の命題より、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\leq \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\leq U
\end{equation*}という関係が成り立ちます。上に有界な点列の極限は、その上界以下であるということです。

命題(上に有界な点列の極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するとともに、上に有界であるものとする。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の上界\(U\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\leq U
\end{equation*}が成り立つ。

下に有界な収束点列についても同様の主張が成り立ちます。

命題(下に有界な点列の極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するとともに、下に有界であるものとする。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の下界\(L\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}L\leq \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}が成り立つ。

例(有界な点列の極限)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}1 &\leq &x_{1}^{\left( 1\right) }\leq \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} &\leq &x_{2}^{\left( 2\right) }\leq 2
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{x_{v}\right\} \)は有界であり、\begin{equation*}\left( 1,\frac{3}{2}\right) \leq x_{v}\leq \left( \frac{3}{2},2\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left( 1,\frac{3}{2}\right) \)は\(\left\{x_{v}\right\} \)の下界の1つであり、\(\left( \frac{3}{2},2\right) \)は\(\left\{ x_{v}\right\} \)の上界の1つです。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{2v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{2v}\right) \right) \\
&=&\left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}ですが、このとき、\begin{equation*}
\left( 1,\frac{3}{2}\right) \leq \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\leq \left(
\frac{3}{2},2\right)
\end{equation*}という関係が成立します。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

はさみうちの定理の一般化

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)と\(\left\{z_{v}\right\} \)を任意に選びます。ただし、これらの間には、\begin{equation}\forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq z_{v}\leq y_{v} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものとします。つまり、任意番目の項に注目したとき、\(\left\{ z_{v}\right\} \)の項は\(\left\{ x_{v}\right\} \)の項と\(\left\{ y_{v}\right\} \)の項によって挟まれるということです。両端の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに収束点列であるとともに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の同一の点\(\alpha \)に収束する場合、間に挟まれた数列\(\left\{ z_{v}\right\} \)もまた収束するとともに、その極限もまた\(\alpha \)であることが保証されます。\(\mathbb{R} \)上の数列と同様、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列に関してもはさみうちの定理が成り立つということです。

命題(はさみうちの定理の一般化)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の同一の点へ収束するとともに、これらと点列\(\left\{ z_{v}\right\} \)の間に、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq z_{v}\leq y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(\left\{ z_{v}\right\} \)もまた\(\left\{ x_{v}\right\} \)や\(\left\{ y_{v}\right\} \)の極限と同一の点へ収束する。
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例(はさみうちの定理)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( \frac{\cos v}{v},\frac{\sin v+\cos v}{v^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。第\(1\)座標数列\(\left\{ \frac{\cos v}{v}\right\} \)については、任意の番号\(v\)について\(-1\leq \cos v\leq 1\)であることから、各辺を\(v>0\)で割ることにより、任意の\(v\)について、\begin{equation*}-\frac{1}{v}\leq \frac{\cos v}{v}\leq \frac{1}{v}
\end{equation*}を得ます。第\(2\)座標数列\(\left\{ \frac{\sin v+\cos v}{v^{2}}\right\} \)については、任意の番号\(v\)について\(-1\leq \sin v\leq 1\)かつ\(-1\leq\cos v\leq 1\)であることから、任意の\(v\)について、\begin{equation*}-2\leq \sin v+\cos v\leq 2
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\frac{2}{v^{2}}\leq \frac{\sin v+\cos v}{v^{2}}\leq \frac{2}{v^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、任意の\(v\)について、\begin{equation*}\left( -\frac{1}{v},-\frac{2}{v^{2}}\right) \leq x_{v}\leq \left( \frac{1}{v},\frac{2}{v^{2}}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{v},-\frac{2}{v^{2}}\right)
&=&\left( 0,0\right) \\
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{2}{v^{2}}\right)
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されました。

次回からはユークリッド空間における単調列について学びます。

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