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点列のスカラー倍の極限

収束する点列のスカラー倍の極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)のスカラー\(c\)倍\begin{equation*}
c\cdot x_{v}=\left( c\cdot x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,c\cdot
x_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)が定義可能です。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(x_{v}\)の第\(k\)成分です。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束するとき、点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}\right) =c\cdot
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の点へ収束するものとします。これは\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)が\(\mathbb{R} \)の点へ収束することと必要十分であり、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。一般に、収束する数列の定数倍として定義される数列もまた収束するため、座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)の定数\(c\)倍として定義される数列\(\left\{ c\cdot x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}^{\left( k\right) }\right)
=c\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( k\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これは、点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)が収束することと必要十分であるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}\right) =\left( c\cdot
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,c\cdot
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( n\right) }\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立ちます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}\right) =c\cdot
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}が成り立つことが示されました。

命題(収束する点列のスカラー倍の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するならば\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)も収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}\right) =c\cdot
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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つまり、収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のスカラー倍の形をしている点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)が収束することが保証されているとともに、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限をスカラー\(c\)倍すれば\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のスカラー倍の形をしている点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(\left\{ x_{v}\right\} \)を分けた上で、\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する点列のスカラー倍の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するとき、上の命題より、点列\(\left\{ -x_{v}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -x_{v}\right) =-\lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}
\end{equation*}を満たします。
例(収束する点列のスカラー倍の極限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( -\frac{2}{3v},-\frac{2}{3v^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列が収束するか否かを検討している状況を想定してください。一般項が、\begin{equation*}
y_{v}=\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{equation*}であるような点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)に注目すると、\begin{equation}
x_{v}=-\frac{2}{3}\cdot y_{v} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(\left\{ y_{v}\right\} \)が収束するならば先の命題より\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、\(\left\{ y_{v}\right\} \)は収束するとともに、\begin{equation}
\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{v},\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{v^{2}}\right) =\left( 0,0\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、先の命題より\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -\frac{2}{3}\cdot y_{v}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\frac{2}{3}\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&-\frac{2}{3}\cdot \left( 0,0\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。
例(収束する点列のスカラー商の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}
\frac{x_{v}}{c}=\left( \frac{x_{v}^{\left( 1\right) }}{c},\cdots ,\frac{x_{v}^{\left( n\right) }}{c}\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ \frac{x_{v}}{c}\right\} \)が定義可能です。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(x_{v}\)の第\(k\)成分です。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束するとき、点列\(\left\{ \frac{x_{v}}{c}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{v}}{c}\right) =\frac{\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}}{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことが先の命題より示されます(演習問題にします)。

次回は収束する点列どうしのベクトル和として定義される点列もまた収束することを示します。

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