収束する点列のスカラー倍の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}c\boldsymbol{x}_{v}=\left( cx_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,cx_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ c\boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が定義可能です。
点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束する場合には点列\(\left\{ c\boldsymbol{x}_{v}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束し、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( c\boldsymbol{x}_{v}\right)
=c\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のスカラー倍の形をしている点列\(\left\{ c\boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ c\boldsymbol{x}_{v}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限をスカラー\(c\)倍すれば\(\left\{ c\boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のスカラー倍の形をしている点列\(\left\{ c\boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を分けた上で、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束することを確認すればよいということになります。
=c\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}
\end{equation*}が成り立つ。
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left[ \left( -1\right) \boldsymbol{x}_{v}\right] \quad \because \text{スカラー倍の定義} \\
&=&\left( -1\right) \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\quad
\because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{2}{3v},-\frac{2}{3v^{2}}\right) \quad \because \left\{
\boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( -\frac{2}{3}\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \right) \quad \because \text{スカラー倍の定義} \\
&=&\left( -\frac{2}{3}\right) \lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&\left( -\frac{2}{3}\right) \left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。
収束する点列のスカラー商の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{x}_{v}}{c}=\left( \frac{x_{v}^{\left( 1\right) }}{c},\cdots ,\frac{x_{v}^{\left( n\right) }}{c}\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ \frac{\boldsymbol{x}_{v}}{c}\right\} \)が定義可能です。
点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束する場合には点列\(\left\{ \frac{\boldsymbol{x}_{v}}{c}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束し、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \frac{\boldsymbol{x}_{v}}{c}\right) =\frac{\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}}{c}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のスカラー商の形をしている点列\(\left\{ \frac{\boldsymbol{x}_{v}}{c}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \frac{\boldsymbol{x}_{v}}{c}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限をスカラー\(\frac{1}{c}\)倍すれば\(\left\{ \frac{\boldsymbol{x}_{v}}{c}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のスカラー商の形をしている点列\(\left\{ \frac{\boldsymbol{x}_{v}}{c}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を分けた上で、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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