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点列のスカラー倍の極限

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収束する点列のスカラー倍の極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(\left\{x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)のスカラー\(c\)倍\begin{equation*}c\cdot x_{v}=\left( c\cdot x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,c\cdot
x_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)が定義可能です。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(x_{v}\)の第\(k\)成分です。点列\(\left\{x_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束する場合には点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}\right) =c\cdot
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束する点列のスカラー倍の極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するならば\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}\right) =c\cdot
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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つまり、収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のスカラー倍の形をしている点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限をスカラー\(c\)倍すれば\(\left\{c\cdot x_{v}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のスカラー倍の形をしている点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(\left\{ x_{v}\right\} \)を分けた上で、\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する点列のスカラー倍の極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ -x_{v}\right\} \)は点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のスカラー\(-1\)倍であるため、仮に\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するならば\(\left\{ -x_{v}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left[ \left( -1\right) x_{v}\right] \quad \because \text{スカラー倍の定義} \\
&=&\left( -1\right) \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\quad \because \text{収束する点列のスカラー倍} \\
&=&-\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{eqnarray*}となります。
例(収束する点列のスカラー倍の極限)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( -\frac{2}{3v},-\frac{2}{3v^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -\frac{2}{3v},-\frac{2}{3v^{2}}\right) \quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -\frac{2}{3}\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \right) \quad \because \text{スカラー倍の定義} \\
&=&\left( -\frac{2}{3}\right) \lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \quad \because \text{収束する点列のスカラー倍} \\
&=&\left( -\frac{2}{3}\right) \left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

収束する点列のスカラー商の極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)の\(c\)によるスカラー商\begin{equation*}\frac{x_{v}}{c}=\left( \frac{x_{v}^{\left( 1\right) }}{c},\cdots ,\frac{x_{v}^{\left( n\right) }}{c}\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ \frac{x_{v}}{c}\right\} \)が定義可能です。このとき、\begin{equation*}\frac{x_{v}}{c}=\frac{1}{c}x_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つため、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のスカラー商\(\left\{ \frac{x_{v}}{c}\right\} \)をスカラー倍\(\left\{ \frac{1}{c}x_{v}\right\} \)と同一視できます。したがって、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束する場合、点列のスカラー倍の収束可能性に関する命題より、点列\(\left\{ \frac{x_{v}}{c}\right\} \)もまた収束することが保証されます。

命題(収束する点列のスカラー商の極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから点列\(\left\{ \frac{x_{v}}{c}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するならば\(\left\{ \frac{x_{v}}{c}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{v}}{c}\right) =\frac{\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}}{c}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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次回は収束する点列どうしのベクトル和として定義される点列もまた収束することを示します。

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