点列のノルムの極限

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)が任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ \left\Vert x_{v}\right\Vert \right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するならば\(\left\{ \left\Vert x_{v}\right\Vert \right\} \)も収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\Vert x_{v}\Vert =\Vert \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\Vert
\end{equation*}という関係が成り立つ。

数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left\Vert \left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert
\end{equation*}で与えられているものとします。\begin{equation}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) =\left(
1,-1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left\Vert
\left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert \quad \because \left\{
x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert \quad \because \text{収束する点列のノルム} \\
&=&\left\Vert \left( 1,-1\right) \right\Vert \quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
x_{v} &=&\left\Vert \left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert
\quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( 1+\frac{1}{v}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{v}-1\right) ^{2}}
\\
&=&\sqrt{2+\frac{2}{v^{2}}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\sqrt{2+\frac{2}{v^{2}}} \\
&=&\sqrt{\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2+\frac{2}{v^{2}}\right) } \\
&=&\sqrt{2+0} \\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の結果と整合的です。