収束する点列のノルムの極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が与えられたとき、その一般項のノルム\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert &=&\sqrt{\left( x_{v}^{\left(
1\right) }\right) ^{2}+\cdots +\left( x_{v}^{\left( n\right) }\right) ^{2}}
\\
&=&\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( k\right) }\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を一般項とする\(\mathbb{R} \)上の数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)が定義可能です。
点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に収束する場合には数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)は\(\mathbb{R} \)上の点に収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \boldsymbol{+\infty }}\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert =\left\Vert \lim_{v\rightarrow \boldsymbol{+\infty }}\boldsymbol{x}_{v}\right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のノルムの形をしている数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限のノルムをとれば\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列のノルムの形をしている数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)の収束可能性を検討する際には、ノルムや点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}が成り立つ。
\right\Vert
\end{equation*}で与えられているものとします。\begin{equation}
\lim_{v\rightarrow \boldsymbol{+\infty }}\left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) =\left( 1,-1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \boldsymbol{+\infty }}\boldsymbol{x}_{v}
&=&\lim_{v\rightarrow \boldsymbol{+\infty }}\left\Vert \left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert \quad \because \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{v\rightarrow \boldsymbol{+\infty }}\left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert \quad \because \text{ノルムの法則} \\
&=&\left\Vert \left( 1,-1\right) \right\Vert \quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{v} &=&\left\Vert \left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right)
\right\Vert \quad \because \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( 1+\frac{1}{v}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{v}-1\right) ^{2}}
\\
&=&\sqrt{2+\frac{2}{v^{2}}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \boldsymbol{+\infty }}\boldsymbol{x}_{v}
&=&\lim_{v\rightarrow \boldsymbol{+\infty }}\sqrt{2+\frac{2}{v^{2}}} \\
&=&\sqrt{\lim_{v\rightarrow \boldsymbol{+\infty }}\left( 2+\frac{2}{v^{2}}\right) } \\
&=&\sqrt{2+0} \\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の結果と整合的です。
ノルムを用いた点列の収束判定（ゼロベクトルへの収束判定）
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が、\begin{equation}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{0} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす場合、先の命題より、数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert
&=&\left\Vert \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\right\Vert
\quad \because \text{ノルムの法則} \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert \quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。結論を整理すると、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{0}\Rightarrow
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert =0
\end{equation*}が成り立つということです。実は、上の命題の逆\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert
=0\Rightarrow \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}もまた成立します。つまり、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がゼロベクトルへ収束することと、数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)がゼロへ収束することは必要十分です。したがって、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がゼロベクトルへ収束することを判定する際に、数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)を作った上で、それがゼロへ収束することを示しても問題ありません。
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert =0
\end{equation*}が成り立つ。
-1\right) ^{v+1}}{v}\right)
\end{equation*}であるものとします。その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( \frac{\left( -1\right) ^{v}}{v},\frac{\left( -1\right) ^{v+1}}{v}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{\frac{\left( -1\right) ^{2v}}{v^{2}}+\frac{\left( -1\right) ^{2v+2}}{v^{2}}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{v^{2}}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{\frac{2}{v^{2}}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
先の命題は点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がゼロベクトルへ収束するための必要十分を与えているため、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がゼロベクトルへ収束しないことを示す上でも有用です。つまり、数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)がゼロへ収束しない場合には、数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)はゼロベクトルへ収束しません。
^{v+1}v\right)
\end{equation*}であるものとします。数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{\left( -1\right) ^{2}v^{2}+\left(
-1\right) ^{2v+2}v^{2}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{v^{2}+v^{2}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{2v^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)はゼロベクトルへ収束しません。
ノルムを用いた点列の収束判定（点への収束判定）
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。このとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right\} \)を定義すると、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}-\lim_{v\rightarrow +\infty
}\boldsymbol{a} \\
&=&\boldsymbol{a}-\boldsymbol{a}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}となります。つまり、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right\} \)はゼロベクトルへ収束するため、先の命題を適用することにより以下を得ます。
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right\Vert =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\)へ収束することと、数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right\Vert \right\} \)がゼロへ収束することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\)へ収束することを判定する際には、数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right\Vert \right\} \)を作った上で、それがゼロへ収束することを示しても問題ありません。
-1\right) ^{v}}{v}+1\right)
\end{equation*}であるものとします。数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}+\left(1,-1\right) \right\Vert \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}+\left( 1,-1\right)
\right\Vert &=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{\frac{\left( -1\right)
^{2v}}{v^{2}}+\frac{\left( -1\right) ^{2v}}{v^{2}}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{v^{2}}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{\frac{2}{v^{2}}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\left( 1,-1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
先の命題は点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\)へ収束するための必要十分条件を与えているため、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\)へ収束しないことを示す上でも有用です。つまり、数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right\Vert\right\} \)がゼロへ収束しない場合には点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は点\(\boldsymbol{a}\)へ収束しません。また、任意の点\(\boldsymbol{a}\)について数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right\Vert \right\} \)がゼロへ収束しない場合には点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は収束しません。
^{v}v+1\right)
\end{equation*}であるものとします。数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}+\left(1,-1\right) \right\Vert \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}+\left( 1,-1\right)
\right\Vert &=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{\left( -1\right)
^{2v}v^{2}+\left( -1\right) ^{2v}v^{2}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{v^{2}+v^{2}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\sqrt{2v^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は点\(\left( 1,-1\right) \)へ収束しません。
演習問題
\end{equation*}が成り立ちます。本文中ではこの命題を点列の極限と数列の極限の関係を用いて証明しましたが、この命題をイプシロン・エヌ論法を用いて証明してください。
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right\Vert =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つことを本文中で示しました。では、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}\Leftrightarrow
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert
=\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert
\end{equation*}もまた成立するでしょうか。議論してください。
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