教材一覧
教材検索

目次

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

収束する点列のノルムの極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が任意に与えられたとき、その一般項\(x_{v}\)のノルム\begin{equation*}\left\Vert x_{v}\right\Vert =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left( x_{v}^{\left(
k\right) }\right) ^{2}}
\end{equation*}を一般項とする数列\(\left\{ \left\Vert x_{v}\right\Vert \right\} \)が定義可能です。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(x_{v}\)の第\(k\)成分です。\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束する場合には\(\left\{ \left\Vert x_{v}\right\Vert \right\} \)は有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\Vert x_{v}\Vert =\Vert \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\Vert
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束する点列のノルムの極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)が任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ \left\Vert x_{v}\right\Vert \right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するならば\(\left\{ \left\Vert x_{v}\right\Vert \right\} \)も収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\Vert x_{v}\Vert =\Vert \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\Vert
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のノルムの形をしている数列\(\left\{\left\Vert x_{v}\right\Vert \right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \left\Vert x_{v}\right\Vert\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限のノルムをとれば\(\left\{\left\Vert x_{v}\right\Vert \right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列のノルムの形をしている数列\(\left\{ \left\Vert x_{v}\right\Vert \right\} \)の収束可能性を検討する際には、ノルムや点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する点列の内積の極限)
数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left\Vert \left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert
\end{equation*}で与えられているものとします。\begin{equation}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) =\left(
1,-1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left\Vert
\left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert \quad \because \left\{
x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert \quad \because \text{収束する点列のノルム} \\
&=&\left\Vert \left( 1,-1\right) \right\Vert \quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
x_{v} &=&\left\Vert \left( 1+\frac{1}{v},\frac{1}{v}-1\right) \right\Vert
\quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( 1+\frac{1}{v}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{v}-1\right) ^{2}}
\\
&=&\sqrt{2+\frac{2}{v^{2}}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\sqrt{2+\frac{2}{v^{2}}} \\
&=&\sqrt{\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2+\frac{2}{v^{2}}\right) } \\
&=&\sqrt{2+0} \\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の結果と整合的です。

次回は点列どうしの順序と極限の間に成立する関係について解説します。

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

ノルム

ノルム

実ベクトル空間上にノルムという概念を導入すると、その空間はノルム空間としての性質を満たすことが示されます。つまり、ノルムは非負性、定性、斉次性、劣加法性を満たします。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録