複素数の定義

複素数

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、実数を成分とする順序対\begin{equation*}
\left( a,b\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{equation*}を複素数（complex number）と呼びます。その上で、すべての複素数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{C} =\left\{ \left( a,b\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \wedge b\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}で表記します。

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、定義より、これは何らかの実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}z=\left( a,b\right)
\end{equation*}という形で表現できます。複素数\(z\)を構成する第1成分\(a\)を\(z\)の実部（real part）と呼び、これを、\begin{equation*}\mathrm{Re}\left( z\right) =a
\end{equation*}で表記します。複素数\(z\)を構成する第2成分\(b\)を\(z\)の虚部（imaginary part）と呼び、これを、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( z\right) =b
\end{equation*}で表記します。

等しい複素数

一般に、2つの順序対\(\left( a,b\right) ,\left( c,d\right) \)が与えられたとき、これらが等しいこととは第1成分どうしと第2成分どうしが等しいこととして定義されます。つまり、以下の関係\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left( c,d\right) \Leftrightarrow a=c\wedge b=d
\end{equation*}を満たすものとして順序対どうしの相等関係は定義されます。

このような事情を踏まえた上で、2つの複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、これらが等しいことを実部どうしと虚部どうしが等しいこととして定義します。つまり、以下の関係\begin{equation*}z=w\Leftrightarrow \mathrm{Re}\left( z\right) =\mathrm{Re}\left( w\right) \wedge
\mathrm{Im}\left( z\right) =\mathrm{Im}\left( w\right)
\end{equation*}を満たすものとして複素数どうしの相等関係は定義されます。ただし、右辺中の\(=\)はともに実数どうしの相等関係を表す記号である一方で、左辺中の\(=\)は新たに定義された複素数どうしの相等関係を表す記号です。

逆に、2つの複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)が等しくないことは、\begin{equation*}z\not=w\Leftrightarrow \mathrm{Re}\left( z\right) \not=\mathrm{Re}\left(
w\right) \vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=\mathrm{Im}\left( w\right)
\end{equation*}として定義されます。つまり、2つの複素数\(z,w\)が与えられたとき、両者の実部が等しくないか、両者の虚部が等しくないか、その少なくとも一方が成り立つ場合には\(z\not=w\)です。

複素平面

平面上に2本の垂直な直線を引いた上で、一方の直線を\(x\)軸（\(x\)-axis）と呼び、他方の直線を\(y\)軸（\(y\)-axis）と呼びます。\(x\)軸と\(y\)軸の交点\(O\)を原点（origin）と呼びます。平面上の点\(Z\)から\(x\)軸に対して下ろした垂線と\(x\)軸の交点座標が\(a\)である一方で、点\(Z\)から\(y\)軸に対して下ろした垂線と\(y\)軸の交点座標が\(b\)である場合、点\(Z\)の座標を\(\left( a,b\right) \)と定めます。原点\(O\)の座標は\(\left( 0,0\right) \)です。以上のルールにしたがえば、平面上に存在するすべての点に対して直交座標系にもとづく座標を付与できます。直交座標系のもとで座標が付与された平面を直交座標平面（Cartesian coordinates of the plane）と呼びます。

直交座標平面上の点\(Z\)の座標が\(\left( a,b\right) \)である場合、この点\(Z\)と複素数\(\left( a,b\right) \)を同一視すれば、直交座標平面上に存在するそれぞれの点に対して複素数が1つずつ対応し、逆に、それぞれの複素数に対して直交座標平面上の点が1つずつ対応します。原点\(O\)に対応する複素数は\(\left(0,0\right) \)です。このように、各点に複素数を対応させた直交座標平面を複素平面（complex plane）やガウス平面（Gauss plane）などと呼びます。直交座標平面を複素平面として利用する場合、\(x\)軸のことを実軸（real axis）と呼び、\(y\)軸のことを虚軸（imaginary axis）と呼びます。

ベクトルとしての複素数

複素平面上に存在する点\(Z\)を任意に選んだ上で、この点の位置ベクトルに相当する複素数を、\begin{equation*}z\in \mathbb{C} \end{equation*}で表記します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)の終点座標が\(z\)です。その上で、ベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)と複素数\(z\)を同一視できるものとします。このような事情を踏まえた上で、複素数\(z\)のことをベクトル\(z\)と呼ぶことができるものと定めます。

複素数をベクトルとみなすことにより、後に定義する複素数を対象とした演算の意味を視覚的に理解できるようになります。

演習問題