多変数のルベーグ可測関数列の各点極限はルベーグ可測関数
多変数ルベーグ可測関数の列の各点極限はルベーグ可測関数です。また、多変数ボレル可測関数の列の各点極限はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数列の上極限関数と下極限関数はルベーグ可測関数
多変数ルベーグ可測関数の列から定義される上極限関数と下極限関数はルベーグ可測です。また、多変数ボレル可測関数の列から定義される上極限関数と下極限関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数列の上限関数と下限関数はルベーグ可測関数
可算個の多変数ルベーグ可測関数から定義される上限関数と下限関数はルベーグ可測です。また、可算個の多変数ボレル可測関数から定義される上限関数と下限関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数の最大値関数と最小値関数はルベーグ可測関数
有限個の多変数ルベーグ可測関数から定義される最大値関数と最小値関数はルベーグ可測です。また、有限個の多変数ボレル可測関数から定義される最大値関数と最小値関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの商はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの商として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの商として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数の単関数の定義と具体例
ユークリッド空間上のルベーグ可測集合上に定義された多変数関数がルベーグ可測であるとともに、その値域が有限集合である場合、そのような関数を単関数と呼びます。
多変数のルベーグ可測関数どうしの積はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの積として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの差はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの差として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの差として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの和はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの和として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの和として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数の定数倍はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数の定数倍として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数の特性関数（指示関数）の定義と具体例
ユークリッド空間の部分集合が与えられれば、変数がその集合に属する場合には1を返し、変数がその集合に属さない場合には0を返す多変数関数が定義可能です。これを特性関数と呼びます。特性関数がルベーグ可測関数であることと、特性関数を定義する集合がルベーグ可測集合であることは必要十分です。
多変数のルベーグ可測関数と連続関数の合成関数はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数と1変数のボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測です。また、ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測です。さらに、可測関数と連続関数の合成関数は可測関数です。
多変数の連続関数はルベーグ可測関数
ユークリッド空間上のルベーグ可測集合上に定義された連続な多変数の実数値関数や拡大実数値関数はルベーグ可測です。また、ボレル集合上に定義された連続な多変数の実数値関数や拡大実数値関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数とほとんどいたるところで等しい多変数関数
ユークリッド空間上のルベーグ測度空間は完備です。つまり、零集合であるようなルベーグ可測集合を任意に選んだとき、その任意の部分集合がルベーグ可測になります。したがって、多変数のルベーグ可測関数とほとんどいたるところで等しい多変数関数もまたルベーグ可測になります。
ユークリッド空間上の零集合とルベーグ可測集合族の完備性
ユークリッド空間の部分集合の外測度がゼロである場合、そのような集合を零集合と呼びます。ある集合がルベーグ可測かつそのルベーグ測度がゼロであることは、その集合が零集合であるための必要十分条件です。
多変数の拡大実数値ボレル可測関数の定義
ユークリッド空間上のボレル集合上に定義された多変数の拡大実数値関数によるボレル集合の逆像がボレル集合であることが保証される場合、そのような関数はボレル可測であると言います。
多変数のボレル可測関数の定義
ユークリッド空間上のボレル集合上に定義された多変数関数によるボレル集合の逆像がボレル集合であることが保証される場合、そのような関数はボレル可測であると言います。
多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数の定義
ユークリッド空間上のルベーグ集合上に定義された多変数の拡大実数値関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。
上極限と下極限を用いた拡大実数列の収束判定
拡大実数列の上極限と下極限はそれぞれ拡大実数として定まることが保証されますが、両者の値が一致することは、その拡大実数列が収束するための必要十分条件です。
拡大実数列の定義と具体例
拡大実数を順番に並べたものを拡大実数列と呼びます。拡大実数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、拡大実数系を終集合とする写像として定式化することもできます。
拡大実数系における順序
拡大実数系における順序（大小関係・狭義大小関係）を定義するとともに、それに付随して定義される諸概念（最大値・最小値・上界・下界・上限・下限・絶対値）について解説します。
多変数のルベーグ可測関数の定義
ユークリッド空間上のルベーグ集合上に定義された多変数関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。
ユークリッド空間上のボレル集合
ユークリッド空間上のルベーグ可測集合族は開集合系を部分集合として持つσ-代数ですが、他にも同様の性質を満たす集合族は存在するのでしょうか。ボレル集合族は同様の性質を満たす最小の集合族です。
ベクトル値関数の片側無限極限
ベクトル値関数の変数がある点に右側もしくは左側から限りなく近づくときに、関数が定める値のノルムが限りなく大きくなる場合には、それらの極限を片側無限極限と呼びます。
集合半環上の測度のカラテオドリ拡張から定義される測度空間
集合半環上のσ-加法測度のカラテオドリ拡張は外測度であるため、カラテオドリの条件を満たす集合からなる集合族を構成すれば可測集合族が得られるとともに、カラテオドリ拡張の定義域を可測集合族に制限すれば測度空間が得られます。
外測度から定義される測度空間
外測度が与えられたとき、カラテオドリの条件を満たす集合からなる集合族を構成すれば可測集合族が得られます。その上で、外測度の定義域を可測集合族に制限すれば、測度空間が得られます。
σ-代数の生成（集合族が生成する最小σ-代数）
与えられたσ-代数の中でも最小のものを最小σ-代数と呼びます。特に、ある集合族を部分集合として含むσ-代数の中でも最小のものを、その集合族から生成される最小σ-代数と呼びます。
カラテオドリ拡張（集合半環上のσ-加法測度から生成される外測度）
集合半環上のσ-加法測度を拡張することにより、任意の集合の測度を特定できる測度概念（カラテオドリ拡張）を定義します。カラテオドリ拡張は外測度です。
外測度の定義と具体例
非空集合のベキ集合上に定義された集合関数が非負性、単調性、σ-劣加法性を満たすとともに空集合に対してゼロを定める場合、そのような集合関数を外測度と呼びます。
集合半環が生成する最小環へのσ-加法測度の拡張
基本集合は集合半環に属する有限個の互いに素な集合の和集合として表現されるため、個々の集合の測度の総和として基本集合の測度を定義します。
集合環の生成（集合半環が生成する最小環）
与えられた集合環の中でも最小のものを最小環と呼びます。与えられた集合半環を部分集合として含む集合環の中の最小環を特定する方法について解説します。
集合環の定義と具体例
集合族が非空であるとともに共通部分と対称差について閉じている場合、そのような集合族を集合環と呼びます。集合環は集合半環である一方で、集合半環は集合環であるとは限りません。
ユークリッド空間上のルベーグ測度
ユークリッド空間上のルベーグの定義域をルベーグ可測集合族に制限することにより得られる写像をルベーグ測度と呼びます。ルベーグ外測度とは異なり、ルベーグ測度はσ-加法性を満たします。
ユークリッド空間上のルベーグ外測度
ユークリッド空間上の体積関数を拡張することにより、ユークリッド空間上の任意の集合の外延量を測定可能な測度概念（ルベーグ外測度）を定義します。
ユークリッド空間上の区間塊（基本集合）の体積
ユークリッド空間上の区間塊は有限個の互いに素な区間の和集合として表される集合ですが、それらの区間の体積の総和として区間塊の体積を定義します。区間塊の体積はσ-加法測度としての性質を満たします。
ユークリッド空間上の区間塊（基本集合）
ユークリッド空間上に存在する有限個の互いに素な区間の和集合として表現される集合を区間塊（基本集合）と呼びます。すべての区間塊からなる集合族は集合環です。
複素関数の差の複素線積分（差の法則）
滑らかな曲線上に定義された連続関数どうしの差として定義される複素関数は複素線積分可能であり、もとの複素関数の線積分どうしの差をとれば新たな複素関数の線積分が得られます。
複素関数の和の複素線積分（和の法則）
滑らかな曲線上に定義された連続関数どうしの和として定義される複素関数は複素線積分可能であり、もとの複素関数の線積分どうしの和をとれば新たな複素関数の線積分が得られます。
