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偏微分係数

ユークリッド空間の部分集合上に定義されたスカラー場(多変数関数)が定義域上の点においてそれぞれの変数について偏微分可能であることの意味を定義します。

定数関数の連続性

定数関数は定義域上の任意の点において連続および片側連続です。

演習問題:確率の場

本節では標本空間や事象などについて学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。

恒等関数の極限

入力した値をそのまま返す関数を恒等関数と呼びます。恒等関数は点において収束する一方、正の無限大や負の無限大において発散します。

定数関数の極限

変数に入力する値によらず常に一定の値を出力する関数を定数関数と呼びます。定数関数は収束します。

定数数列の極限

すべての項が等しい数列を定数数列(定数列)と呼びます。定数列は有限な実数へ収束します。

関数の不連続点

関数が点において連続ではないとき、その点を不連続点と呼びます。不連続点には第1種の不連続点と第2種の不連続点の2種類があります。また、関数が点において定義されていないとき、その点は連続点と不連続点のどちらでもありません。

関数の上半連続性・下半連続性

関数が上半連続であること、および下半連続の意味を方位集合と呼ばれる概念を用いて定義します。関数が上半連続かつ下半連続であることはその関数が連続であるための必要十分条件です。

関数の片側連続性

関数が閉区間上に定義された場合などには、定義域の端点において通常の意味での極限を考えることができないため、通常の意味での連続性を考えることができません。そこで、そのような場合には片側連続性と呼ばれる概念の下で連続性を考えます。

連続関数と位相

関数が定義域上において連続であることの意味を定義します。その上で、開集合上に定義された関数の連続性は位相(開集合)を用いて表現できることを示します。

関数の連続性

関数が定義域上の点において有限な極限を持つと同時に、その極限がその点における関数の値と一致する場合には、関数はその点において連続であると言います。関数の連続性は収束する数列を用いて表現することもできます。

命題の証明:可算公理

本節では可算公理について学びました。本文中に登場した命題を証明します。次回から関数について学びます。

開基と第2可算公理

実数空間において、開集合系の部分集合族が存在し、任意の開集合がその部分集合族に属する開集合の和集合として表現できることが保証されている場合、その部分集合族を開基と呼びます。また、可算集合であるような開基が存在する場合、第2可算公理が成り立つと言います。

基本近傍系と第1可算公理

実数空間の点に対してその基本近傍系が存在する場合、その点との距離感を知るためには基本近傍系の要素である近傍だけがあれば十分で、その点のすべての近傍を議論の対象にする必要はありません。また、任意の点に対して可算集合であるような基本近傍系が存在する場合には第1可算公理が成り立つと言います。

点列のベクトル和の極限

ユークリッド空間上の収束点列が2つ任意に与えられたとき、それらの一般項どうしのベクトル和を一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のベクトル差として定義される点列もまた収束します。

点列のスカラー倍の極限

点列が収束するならば、その点列の一般項をスカラー倍して得られるベクトルを一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のスカラー商として定義される点列も収束します。

演習問題:点列の極限

本節ではユークリッド空間上の点列の極限について学びました。演習問題を通じて理解を深めてください。

命題の証明:点列の極限

本節ではユークリッド空間上の点列の極限について学びました。本文中に登場した命題を証明します。

ドブリューの定理(効用関数の存在条件)

消費集合が凸集合であるようなユークリッド空間の部分集合であるとともに、選好関係が合理性(完備性および推移性)と連続性を満たす場合、その選好関係を表す効用関数が必ず存在します。これをドブリューの定理と呼びます。

可算集合上の効用関数の存在条件

消費集合が可算集合であり、なおかつ消費集合上に定義された選好関係が合理性の仮定(完備性および推移性)を満たす場合には、その選好関係を表す効用関数が存在するとともに、そのような関数を具体的に構成することができます。

有限集合上の効用関数の存在条件

消費集合が有限集合であり、なおかつ消費集合上に定義された選好関係が合理性の仮定(完備性および推移性)を満たす場合には、その選好関係を表す効用関数が存在するとともに、そのような関数を具体的に構成することができます。

曲線のノルムの極限

収束する曲線(ベクトル値関数)のノルムとして定義される曲線もまた収束します。

曲線の内積の極限

2つの収束する曲線(ベクトル値関数)が与えられたとき、それらの内積として定義される曲線もまた収束します。

曲線のベクトル和の極限

2つの曲線(ベクトル値関数)が収束するとき、それらの曲線のベクトル和として定義される曲線もまた収束することを示します。

曲線のスカラー倍の極限

曲線(ベクトル値関数)が収束するとき、その曲線のスカラー倍として定義される曲線もまた収束します。

演習問題:内部・外部・境界

本節ではユークリッド空間の部分集合について、その内点や内部について学びました。演習問題を通じて理解を深めてください。

命題の証明:内部・外部・境界

本節ではユークリッド空間の部分集合について、その内点や内部について学びました。本文中に登場した命題を証明します。

内点・内部

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の部分集合になるものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点を集めてできる集合を A の内部と呼びます。集合 A とその内部が一致することは、A が開集合であるための必要十分条件です。

演習問題:内部・外部・境界

本節では実数空間について、その内部、外部、境界などについて学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。

命題の証明:内部・外部・境界

本節では実数空間の部分集合について、その内部・外部・境界について学びました。本文中に登場した命題を証明します。

コブ・ダグラス型効用関数

コブ・ダグラス型効用関数と呼ばれるタイプの効用関数について解説した上で、消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数として表現される場合の効用最大化問題を分析し、その場合の需要関数を導出します。

演習問題:全順序体としての実数空間

本節では実数空間上の演算と順序の関係について学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。次回から実数の連続性について学びます。

収束する曲線と有界性

曲線(ベクトル値関数)が有界であること、点の周辺において有界であることの意味を定義します。曲線がある点において収束する場合、その曲線はその点の周辺において有界である一方、その逆は成り立つとは限りません。

命題の証明:曲線の極限

本節では曲線(ベクトル値関数)の極限について解説しました。本文中に登場した命題の証明を確認してください。次回から曲線の極限の基本的な性質について解説します。

無限大における曲線の極限

曲線(ベクトル値関数)の変数が正の無限大や負の無限大をとる場合の曲線の極限について解説します。

曲線の片側極限

曲線(ベクトル値関数)が点において収束することの定義において、変数がその点に近づいていく際の経路に関して特に制約は設けられていません。一方、変数が点に近づいていく際の経路を指定する形で曲線の極限を定義することも可能であり、その場合の極限を片側極限と呼びます。

演習問題:近傍・開集合・閉集合

本節ではユークリッド空間の点の近傍、ユークリッド空間上の開集合および閉集合について学びました。演習問題を通じて理解を深めてください。次回から内部・外部・境界などについて学びます。

命題の証明:近傍・開集合・閉集合

本節ではユークリッド空間の点の近傍、ユークリッド空間上の開集合および閉集合について学びました。本文中に登場した命題を証明します。次回から内部・外部・境界などについて学びます。

閉集合・閉集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合がユークリッド空間上の開集合である場合には、Aをユークリッド空間上の閉集合であるといいます。また、ユークリッド空間上のすべての閉集合からなる集合族を閉集合系と呼びます。

開集合・開集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点aについて、aを中心とする開近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するのであれば、Aをユークリッド空間上の開集合と呼びます。また、ユークリッド空間上の開集合をすべて集めてできる集合系を開集合系と呼びます。

近傍・近傍系

ユークリッド空間における点の近傍、近傍系、およびユークリッド空間の近傍系という概念を定義します。これは実数の開区間を一般化した概念です。

演習問題:近傍・開集合・閉集合

本節では実数空間の点の近傍、実数空間上の開集合、閉集合などについて学びました。演習問題を通じて理解を深めてください。次回から内部・外部・境界などについて学びます。

命題の証明:近傍・開集合・閉集合

本節では実数空間の点の近傍、実数空間上の開集合、閉集合などについて学びました。本文中に登場した命題を証明します。次回から内部・外部・境界などについて学びます。

演習問題:単調数列

本節では数列の極限について学びました。演習問題を通じて理解を深めてください。次回から数列の極限の性質について学びます。

命題の証明:単調数列

本節では単調数列について学びました。本文中に登場した命題を証明します。次回から数列の極限の性質について学びます。

恒等律

恒真式の否定と恒偽式は論理的に同値であり、恒偽式の否定と恒真式は論理的に同値です。また、任意の論理式と恒真式の和は恒真式となり、任意の論理式と恒偽式の論理積は恒偽式になります。さらに、任意の論理式と恒真式の論理積をとっても論理式として変わらず、任意の論理式と恒偽式の論理和をとっても論理式として変わりません。

命題の証明:予算集合

この章では消費集合について学びました。本文中に登場した命題の証明を確認してください。次回から消費者の選好について学びます。

予算対応の0次同次性

すべての商品の価格と所得が同じ割合で増加する場合には、その変化の前後において、予算制約を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合は変化しません。予算対応が満たす以上の性質を0次同次性と呼びます。関連してニュメレール(価値尺度財)についても解説します。

予算対応の連続性

予算対応が上半連続かつ下半連続である場合、すなわち連続対応である場合には、消費者が直面する最適化問題を解く際にベルジュの最大値定理を利用できるため、様々な望ましい性質を導くことができます。

予算集合のコンパクト性

消費者理論では予算集合がコンパクト集合であることを仮定することがあります。この仮定には、消費者が直面する最適化問題に解が存在することを保証する役割があります。

排中律

述語論理においても排中律は成立します。つまり、論理式とその論理式の否定の論理和をとると恒真式になります。言い換えると、論理式から生成されるそれぞれの命題は真か偽のどちらか一方であり、真かつ偽であるような状態は起こり得ません。

矛盾律

述語論理においても矛盾律は成立します。つまり、論理式とその論理式の否定の論理積をとると恒偽式になります。言い換えると、論理式から生成される同一の命題が真であると同時に偽であるような状況は起こり得ないということです。

対応による逆像と対応の連続性

対応の連続性(上半連続性・下半連続性)の概念は、対応が終集合の部分集合に対して定める上逆像や下逆像が満たすべき性質として表現することが可能です。

演習問題:対応

本節では対応やそのグラフ、対応による像や逆像、逆対応などについて学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。次節では対応の連続性について学びます。

演習問題:予算集合

この章では予算集合について学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。

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