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行列式

行列式の行または列に関する加法性

行列式の1つの行(列)のそれぞれの成分が2つの実数の和に分解されているならば、この行列式を、それぞれの数を成分とする2つの行列式の和に分解できます。また、1つの行(列)の定数倍を別の行(列)に加えても、行列式の値は変化しません。

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行列式

行列式の行または列に関する斉次性

正方行列の1つの行(列)のすべての成分をk倍すると、その前後において、行列式の値はk倍になります。以上の事実は、正方行列のある行(列)が共通因数を持つ場合、それを行列式の外にくくり出せることを同時に意味します。

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行列式

行列式の行または列に関する交代性

正方行列の2つの行(列)を入れ替えると、その前後において、行列式の値は符号だけが変化します。以上の事実を利用すると、同じ行(列)を持つ正方行列の行列式の値はゼロになることが示されます。

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行列式

転置行列の行列式の値

行列のij成分とji成分を入れ替えることで得られる行列を転置行列と呼びます。正方行列の行列式の値と、その転置行列の行列式の値は一致します。

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置換の符号

逆置換の符号

順列の置換は全単射と同一視できるため、その逆写像に相当する全単射が存在し、それを逆置換と呼びます。置換と逆置換の符号は一致します。

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置換の合成

置換の積(合成)の符号

順列の置換は全単射と同一視できるため、複数の置換の合成写像を定義でき、これを置換の積と呼びます。置換の積の符号は、置換の符号どうしの積と一致します。

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サラスの公式

サラスの公式

次数が2または3であるような正方行列に関しては、その行列式の値を求める際にサラスの公式と呼ばれる指針を利用することができます。

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行列式

行列式の定義

実数を正方形に配置したものを正方行列と呼びます。正方行列に対して行列式と呼ばれる値を定義し、それを具体的に求める方法を解説します。

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置換の符号

順列の置換の符号

1以上n以下の自然数を何らかの順番のもとで並べて列にしたものを順列と呼びます。小さい順番に並んでいる自然数の順列の成分を並び替える操作を置換と呼びます。

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ベクトル空間

実行列空間

実数空間をスカラー場とする行列集合上に行列加法とスカラー乗法を定義したとき、これを実行列空間と呼びます。実行列空間はベクトル空間の一例です。

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行列

行列のスカラー乗法(行列のスカラー倍)

行列とスカラーが与えられたとき、行列のそれぞれの成分をスカラー倍することで新たに得られる行列をもとの行列のスカラー倍と呼びます。また、スカラーと行列に対してスカラー倍を定める演算をスカラー乗法と呼びます。

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可換群

行列の加法(行列の和)

同じ大きさを持つ2つの行列が与えられたとき、対応する成分どうしを足すことにより得られる新たな行列を行列どうしの和と呼びます。また、2つの行列に対してそれらの和を定める演算を行列加法と呼びます。行列集合は行列加法に関して可換群をなします。

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行列

行列の定義

実数を長方形に配列したものを行列と呼びます。行列を構成する横並びの実数の組を行列の行と呼び、行列を構成する縦並びの実数の組を行列の列と呼びます。

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整数ベキ関数

整数ベキ関数の極限

整数を指数として持つベキ関数について、その極限、片側極限、および無限大における極限を求める方法を解説します。

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ベイジアンゲーム

ベイジアンゲームにおける高階の信念と共通事前分布

ベイジアンゲームにおいてプレイヤーたちが各々のタイプを読み合う可能性を認めると、ゲームの分析が突如として複雑になってしまいます。このような問題を解消するために、多くの場合、プレイヤーたちのタイプに関して共通事前分布という仮定を設けます。

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ベイジアンゲーム

ベイジアンナッシュ均衡と事後均衡の関係

ベイジアンゲームにおいて、事後均衡はベイジアンナッシュ均衡でもある一方で、その逆は成り立つとは限りません。また、支配戦略均衡はベイジアンナッシュ均衡でもある一方で、その逆は成り立つとは限りません。

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ベイジアンゲーム

ベイジアンナッシュ均衡

ベイジアンナッシュ均衡における最適反応の概念を定義するとともに、最適反応であるような純粋戦略の組としてベイジアンナッシュ均衡と呼ばれる均衡概念を定義します。

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ホテリングの補題

ホテリングの補題

利潤関数を商品の価格に関して偏微分すればその商品の供給関数が得られます。これをホテリングの補題と呼びます。

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効用の限界費用

効用の限界費用

支出最小化問題の解が与えられたとき、そこから効用を限界的に増やすために必要な商品への支出の増分を効用の限界費用と呼びます。

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シェファードの補題

シェファードの補題

補償需要関数と支出関数の間にはシェファードの補題(マッケンジーの補題)と呼ばれる関係が成立するため、支出関数が与えられれば、そこから補償需要関数を再現することができます。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

支出関数

価格ベクトルと目標とする効用水準の組を入力とし、そこでの支出最小化問題の解における消費者の支出を出力する関数を支出関数と呼びます。

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ベクトル値関数

点列を用いたベクトル値関数の収束判定

ベクトル値関数(曲線)の収束可能性に関する議論は点列の収束可能性に関する議論に置き換えられます。さらに、点列の収束可能性に関する議論は座標数列の収束可能性に関する議論に置き換えることができるため、結局、ベクトル値関数の収束可能性に関する議論を数列の収束可能性に関する議論に帰着させることができます。

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ベクトル値関数

成分関数を用いたベクトル値関数の収束判定

ベクトル値関数(曲線)が収束することと、そのすべての成分関数が収束することは必要十分です。したがって、ベクトル値関数の収束可能性に関する議論は、1変数関数である成分関数の収束可能性に関する議論に帰着させられます。

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ベクトル値関数

ベクトル値関数の極限

1変数のベクトル値関数(曲線)が収束することの意味を解説した上で、さらにイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。

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代替効果

補償需要の価格弾力性

消費者が支出を最小化するという前提のもと、ある商品の価格だけを1パーセント変化させた場合に、ある商品の補償需要が何パーセント変化するかを表す指標を補償需要の価格弾力性と呼びます。

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準凸関数・準凹関数

1変数の準凸関数・準凹関数

1変数関数が準凸関数であること、準凹関数であることの意味を解説します。凸関数は準凸関数ですが、その逆は成り立つとは限りません。また、凹関数は準凹関数ですが、その逆は成り立つとは限りません。

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代替効果

代替効果

消費者が支出を最小化するという前提のもと、ある商品の価格だけを変化させたときに生じる補償需要の変化を代替効果と呼びます。

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コア

非分割財の交換経済におけるコア選択メカニズム

ある配分を出発点に、そこからプレイヤーのグループ(提携)が内部で商品を交換することでグループ内でのパレート改善が可能である場合、その配分はその提携によってブロックされると言います。また、いかなる提携によってもブロックされない配分をコアと呼び、コアを常に選び取るメカニズムをコア選択メカニズムと呼びます。

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価格効果

需要の価格弾力性

消費者が効用を最大化するという前提のもと、ある商品の価格だけを1パーセント変化させた場合に、ある商品の需要が何パーセント変化するかを表す指標を需要の価格弾力性と呼びます。

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価格効果

価格効果

消費者が効用を最大化するという前提のもと、ある商品の価格だけを変化させたときに生じる需要の変化を価格効果と呼びます。

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シャプレー・スカーフ経済

非分割財の交換経済における効率的メカニズム

ある配分を出発点に、そこからさらに誰かの満足度を高めようとすると他の人の犠牲が伴うような状態であるとき、その配分はパレート効率的であると言います。また、パレート効率的な配分を常に選び取るメカニズムをパレート効率的なメカニズムと呼びます。

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ワイズの理念とサービス内容。

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