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数学 | 最新の教材

実行列空間

行列の線型結合と線型スパン

実行列空間において、行列のスカラー倍どうしの和として表される行列を線型結合と呼びます。実行列空間の部分集合に属する行列の線型結合をすべて集めてできる集合を線型スパンと呼びます。

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実ベクトル空間

実ベクトル空間における線型結合と線型スパン

実ベクトル空間において、ベクトルのスカラー倍どうしの和として表されるベクトルを線型結合と呼びます。実ベクトル空間の部分集合に属するベクトルの線型結合をすべて集めてできる集合を線型スパンと呼びます。

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実行列空間

実行列空間の部分空間

実行列空間の部分空間と呼ばれる概念を定義するとともに、部分空間の具体例を提示し、部分空間であることを判定する方法について解説します。

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実ベクトル空間

実ベクトル空間の部分空間

実ベクトル空間の部分空間と呼ばれる概念を定義するとともに、部分空間の具体例を提示し、部分空間であることを判定する方法について解説します。

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平均値の定理

連続型の条件付き確率分布

2つの連続型確率変数が与えられたとき、一方の確率変数が特定の値をとるという条件のもとでの他方の確率変数の確率分布を条件付き確率分布と呼びます。

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条件付き確率

離散型の条件付き確率分布

2つの離散型確率変数が与えられたとき、一方の確率変数が特定の値をとるという条件のもとでの他方の確率変数の確率分布を条件付き確率分布と呼びます。

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同時確率変数

連続型同時確率変数の同時確率密度関数

連続型の同時確率変数の確率分布を同時確率(質量)関数を通じて表現することはできません。連続型の同時確率変数の確率分布を描写する際には同時確率密度関数と呼ばれる概念を利用します。

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拡大実数

1変数の拡大実数値関数

1変数関数が有限な実数に加えて正負の無限大を値としてとり得ることを認める場合、そのような関数を拡大実数値関数と呼びます。

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平面

平面の方程式

空間において平面を表現するためには、一直線上に並んでない3つの異なる点を指定すれば十分です。なぜなら、そのような点が与えられれば、それらを通る平面は1つに定まるからです。平面の方程式を定義します。

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行列減法

行列減法(行列の差)

同じ大きさを持つ2つの行列が与えられたとき、対応する成分どうしを引くことにより得られる新たな行列を行列どうしの差と呼びます。また、2つの行列に対してそれらの差を定める演算を行列減法と呼びます。

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直線

直線の方程式

空間において直線を表現するためには、2つの異なる点を指定すれば十分です。なぜなら、2つの異なる点が与えられれば、それらを通る直線は1つに定まるからです。直線の方程式を定義します。

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スカラー乗法

ベクトルのスカラー乗法

スカラーとベクトルを被演算子とする「スカラー乗法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。

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ベクトル減法

ベクトル減法

ベクトルを被演算子とする「ベクトル減法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。

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ベクトル加法

ベクトル加法

ベクトルを被演算子とする「ベクトル加法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。

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ベクトル

ベクトルの定義

「大きさ」と「方向」という2種類の情報によって表現される量をベクトルと呼びます。ベクトルの概念を定式化します。

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真理値表

真理値表の簡略化

命題論理において解釈しようとする論理式が長い場合、部分論理式も膨大であるため、通常の方法にしたがうと真理値表が大きくなってしまいます。そのような場合には、真理値表の1つの列に論理式を構成する文字や論理演算子を1つずつ入れていく形で真理値表を描けばスペースを省略できます。

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中央化

離散型確率変数の中央化・標準化・正規化

期待値が0になるように確率変数を変換する操作を中央化と呼び、期待値が0で分散が1になるように確率変数を変換する操作を標準化と呼び、確率変数がとり得る値の範囲が0以上1以下になるように確率変数を変換する操作を正規化と呼びます。

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多変量確率変数

多変量確率関数(多変量確率質量関数)

離散型の多変量確率変数が与えられたとき、それぞれのベクトルに対して、多変量確率変数がそのベクトルを値としてとる確率を特定する関数を多変量確率関数や多変量確率質量関数などと呼びます。

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同時確率変数

連続型の同時確率変数(確率ベクトル)

それぞれの標本点に対してベクトルを1つずつ割り当てる写像を同時確率変数や確率ベクトルなどと呼びます。連続型の確率変数から定義される同時確率変数を連続型の同時確率変数と呼びます。

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一様分布

連続型の一様分布

連続型の確率変数の確率分布を記述する確率密度関数が定数関数である場合、その確率変数は連続型の一様分布にしたがうと言います。連続型一様分布にしたがう確率変数を定義するとともに、その期待値と分散を求めます。

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一様分布

離散型の一様分布

離散型の確率変数がすべての値を等しい確率でとる場合、そのような確率変数は離散型の一様分布にしたがうと言います。離散型一様分布にしたがう確率変数を定義するとともに、その期待値と分散を求めます。

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従属な事象

2つの事象の独立性

事象Bが起こるかどうかが事象Aが起こる確率に影響を与えない場合、これらの事象は独立であると言います。これは、2つの事象の積事象の確率が個々の事象の確率の積と一致することとして定式化されます。

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区間

実数空間における区間と連結集合の関係

実数空間にユークリッド距離を導入した場合、実数空間の部分集合が区間であることと、その集合が連結集合であることは必要十分です。したがって、区間でないことと非連結集合であることも必要十分です。

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分離

実数空間における集合の切断

実数空間の部分集合Xが与えられたとき、開集合A,Bとの交わりをとることによりXを互いに素な2つの非空な集合に分割できる場合、これらの開集合A,BをXの切断と呼びます。

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分離

実数空間において分離している2つの集合

実数空間の2つの部分集合が互いに素であるとともに、どちらも相手の集積点を要素として持たない場合、それらの集合は分離していると言います。分離の概念は触点や開集合を用いて表現することもできます。

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稠密

実数空間における稠密集合

実数空間Rの部分集合Xが与えられたとき、さらにその部分集合Aの閉包がXを部分集合として含む場合には、AをXの稠密部分集合と呼びます。特に、Rの部分集合AがRの稠密部分集合であることとは、Aの閉包がRと一致することを意味します。

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