数学 | 最新の教材

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数がルベーグ可測である状況において定義域を複数の互いに素なルベーグ可測集合へ分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合上でのルベーグ積分が得られます。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数の列が各点収束するとともに、その間数列を支配するルベーグ積分可能な関数が存在する場合には、関数列の各点極限のルベーグ積分は、関数列の要素である個々の関数のルベーグ積分列の極限と一致します。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数に対して、その絶対値関数が定める値以上の値をとるルベーグ積分可能な関数が存在する場合、もとの関数もまたルベーグ積分可能です。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数がとり得る値の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の値の間にも同様の大小関係が成立します。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、それらの差として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、それらの和として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、その定数倍として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数を対象に、そのルベーグ積分を定義します。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列が各点収束するとともに単調増加である場合、各点極限のルベーグ積分は、関数列の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる列の極限と一致します。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列が各点収束する場合、各点極限のルベーグ積分は、関数列の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる列の下極限以下になります。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる2つの拡大実数値ルベーグ可測関数の値に一方的な大小関係が成立する場合、ルベーグ積分の値の間にも同様の大小関係が成立します。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数が与えられた状況において定義域を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる2つの拡大実数値ルベーグ可測関数が与えられたとき、それらの和のルベーグ積分は、個々の関数のルベーグ積分どうしの和と一致します。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数について、その定数倍のルベーグ積分は、もとの関数のルベーグ積分の定数倍と一致します。

ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数について、そのルベーグ積分を定義します。

ユークリッド空間上に存在する有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された一様有界なルベーグ可測関数列が各点収束する場合、その間数列のルベーグ積分からなる数列の極限は、各点極限のルベーグ積分の値と一致します。