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数学 | 最新の教材

多変数関数の局所最適解

多変数関数の値を最大化するような点が定義域上に存在しない場合でも、変数がとり得る値を限定することにより、その範囲内において多変数関数の値を最大化するような点が存在する状況は起こり得ます。そのような点を極大点や局所的最大点と呼びます。また、多変数関数が極大点に対して定める値を極大値や大域的最大値と呼びます。最小化についても同様です。

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多変数関数の大域的最適解

多変数関数の値を最大化するような点が定義域上に存在する場合、そのような点を最大点や大域的最大点と呼びます。また、多変数関数が最大点に対して定める値を最大値や大域的最大値と呼びます。

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2次形式

2次形式の符号

2次形式の符号(正定値・半正定値・負定値・半負定値・不定値)を定義するとともに、同値な2次形式どうしが同一の符号を共有することを示します。

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2次形式

2次形式の標準形

2次形式の表現行列を直交対角化することにより得られる対角行列を表現行列とする対角2次形式をもとの2次形式の標準形と呼びます。

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2次形式

2次形式の表現行列の特定

2次形式と対称行列には1対1の関係が成立します。2次形式に関連付けられた対称行列を2次形式の表現行列と呼びます。表現行列を特定する方法を解説します。

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2次形式

2次形式の定義と具体例

入力されたベクトルに対して実数を出力する多変数関数による像が2つの変数の積に定数をかけた上で加えることにより得られる形の式である場合、このような多変数関数を2次形式と呼びます。

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双線型形式

双線型形式の定義と具体例

入力された2つのベクトルに対して1つの実数を出力する多変数関数がそれぞれのベクトルに関して線形写像である場合、このような多変数関数を双線型形式と呼びます。

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正則行列

直交行列

正方行列の逆行列と転置行列が一致する場合には、そのような逆行列を直交行列と呼びます。つまり、直交行列の逆行列を求めるためには転置させればよいということです。

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シュミットの直交化法

正規直交系

有限個の単位ベクトルの中の任意の2つが直交するとき、それらのベクトルからなる集合を正規直交系と呼びます。正規直交系は線型独立ですが、線型独立なベクトル集合は正規直交系であるとは限りません。ただし、シュミットの直交化法を用いれば線型独立なベクトル集合から正規直交系を生成できます。

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関数の差

関数の差の高階微分

高階微分可能な関数どうしの差として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の差と一致します。

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双曲線

双曲線

平面上に存在する双曲線を媒介変数表示を用いて定義します。また、双曲線の方程式や漸近線の方程式を求める方法を解説します。

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