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ベクトル値関数と多変数関数の合成関数として定義される1変数関数が微分可能であるための条件や、微分する方法などについて解説します。

多変数関数と1変数関数の合成関数として定義される多変数関数が全微分可能であるための条件や、全微分を行う方法などについて解説します。

多変数関数が全微分可能である場合には偏微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。ただ、多変数関数が連続微分可能である場合には全微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。

多変数関数が偏微分可能もしくは方向微分可能である場合においても連続であるとは限りません。微分可能性から連続性を導くためには新たな微分概念が必要であるため、それを全微分と呼ばれる概念として定式化します。

開集合上に定義されたn階連続微分可能な多変数関数に関しては、n個の変数の順序によらず、n階偏導関数はすべて一致します。これをクレローの定理と呼びます。

多変数関数が偏微分可能であることに加えてすべての変数に関する偏導関数が連続である場合、その関数は連続微分可能であると言います。

多変数関数が任意の2つの変数の組み合わせに関して2階偏微分可能である場合には、2階偏微分係数を成分として持つ正方行列が定義可能です。これをヘッセ行列と呼びます。

多変数関数の偏導関数が偏微分可能である場合には偏導関数の偏導関数が得られますが、これを2階の偏導関数と呼びます。同様に、3階の偏導関数、4階の偏導関数なども定義可能です。これらを高階の偏導関数と呼びます。

多変数関数と1変数関数の合成関数が偏微分可能である条件および合成関数を偏微分する方法について解説します。

偏微分可能な関数どうしの商として定義される関数もまた偏微分可能であり、その偏導関数や勾配ベクトル場は商の法則と呼ばれる規則から得られます。

偏微分可能な関数どうしの積として定義される関数もまた偏微分可能であり、その偏導関数や勾配ベクトル場は積の法則と呼ばれる規則から得られます。

偏微分可能な関数どうしの差として定義される関数もまた偏微分可能であり、その関数の勾配ベクトルはもとの関数の勾配ベクトルの差です。

偏微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた偏微分可能であり、その関数の勾配ベクトルはもとの関数の勾配ベクトルの和です。

偏微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた偏微分可能であり、その関数の勾配ベクトルはもとの関数の勾配ベクトルの定数倍です。