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数学 | 最新の教材

級数

級数どうしの差の収束可能性(差の法則)

収束級数どうしの差として定義される級数は収束します。収束級数と発散級数の差として定義される級数は発散します。発散級数どうしの差として定義される級数は収束する場合と発散する場合の両方のパターンがあります。

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等比数列

等比複素数列とその部分和および極限

隣り合う項が共通の比を持つ複素数列を等比複素数列と呼びます。等比複素数列を定義するとともに、その部分和を明らかにした上で、等比複素数列が収束する・収束しない条件を明らかにします。

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等差数列

等差複素数列とその部分和および極限

隣り合う項が共通の差を持つ複素数列を等差複素数列と呼びます。等差複素数列を定義するとともに、その部分和を明らかにした上で、等差複素数列が収束する・収束しない条件を明らかにします。

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級数

実級数を用いた複素級数の収束判定

複素級数が複素数へ収束することと、実部の実級数と虚部の実級数がともに実数へ収束することは必要十分であるため、実級数の知識を駆使して複素級数の収束可能性を検討できます。

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複素数列

部分列を用いた複素数列の収束判定

複素数列が収束することと、その任意の部分列がもとの複素数列の極限と同じ極限へ収束することは必要十分です。以上の事実は、収束する複素数列の極限を特定したり、複素数列が収束しないことを示す上で有用です。

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有界な集合

複素平面上の有界集合

複素平面の部分集合上に存在する点の絶対値がいずれも何らかの値以下である場合には、そのような部分集合は有界であると言います。

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全順序

複素数体上の順序

複素数体は全順序体にはなり得ません。つまり、複素数加法と複素数乗法に加えていかなる二項関係を定義した場合でも、複素数集合は全順序体にはなりません。ただし、複素数集合上に全順序や半順序を定義することはできます。

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複素数

複素数列の極限(収束する複素数列)

複素数列の項が先に進むにつれてある複素数に限りなく近づく場合には、その複素数列は収束すると言い、その複素数を複素数列の極限と呼びます。イプシロン・エヌ論法を用いて収束列の概念を厳密に定義します。

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複素数

複素数列の定義と具体例

複素数を順番に並べたものを複素数列と呼びます。複素数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、すべての複素数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。

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共役複素数

共役複素数(複素共役)

複素数の実部を固定したまま虚部の符号を反転させることにより得られる複素数をもとの複素数の共役複素数や複素共役などと呼びます。共役複素数の性質について解説します。

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複素数

複素数体

複素数空間上定義された加法と乗法は体としての性質を満たします。そこで、加法と乗法が定義された複素数空間を複素数体と呼びます。

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極形式

複素数の極形式(極表示)

複素平面上の複素数と原点の間の距離を複素数の絶対値と呼び、複素平面の実部と動径のなす角を偏角と呼びます。絶対値と偏角を指定することを通じて複素数を表現する手法を極形式と呼びます。

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ベクトル

複素数の定義

実数を成分とする順序対を複素数と呼びます。複素数は平面上の点として表現したり、平面上の位置ベクトルとして表現できます。

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バナッハの不動点定理

バナッハの不動点定理

定義域と終集合が同一の完備距離空間であるような縮小写像は必ず一意的な不動点を持ちます。これをバナッハの不動点定理と呼びます。

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コーシー列

点列を用いた距離空間上の全有界集合の判定

距離空間の部分集合が全有界集合であることと、その集合上の任意の点列がコーシー列であるような部分列を持つことは必要十分です。また、距離空間が全有界であることと、その距離空間上の任意の点列がコーシー列であるような部分列を持つことは必要十分です。

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リプシッツ写像

距離空間上のリプシッツ写像

距離空間上に定義された写像がリプシッツ写像であることの意味を定義するとともに、写像がリプシッツ写像であること、ないしリプシッツ写像ではないことを判定する方法を解説します。

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コンパクト集合

距離空間上の連続写像による集合の像

距離空間上に定義された連続写像によるコンパクト集合の像もまたコンパクト集合です。コンパクト集合は有界な閉集合であるため、連続写像によるコンパクト集合の像は有界な閉集合です。

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