
多変数ベクトル値関数の方向微分と1変数ベクトル値関数の微分の関係
多変数のベクトル値関数が連続微分可能な点に関しては、その多変数ベクトル値関数を方向微分するプロセスは1変数ベクトル値関数を微分するプロセスと実質的に等しくなります。
多変数のベクトル値関数が連続微分可能な点に関しては、その多変数ベクトル値関数を方向微分するプロセスは1変数ベクトル値関数を微分するプロセスと実質的に等しくなります。
多変数関数が全微分可能である場合には偏微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。ただ、多変数関数が連続微分可能である場合には全微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。
関数変数列が各点収束する標本点からなる事象の確率が1である場合、その確率変数列は概収束するとか、ほとんど確率に収束するなどと言います。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)の偏導関数が偏微分可能である場合には偏導関数の偏導関数が得られますが、これを2階の偏導関数と呼びます。同様に、3階の偏導関数、4階の偏導関数なども定義可能です。これらを高階の偏導関数と呼びます。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)の変数を特定の線分に沿ってまっすぐ動かす状況を想定した微分概念を方向微分と呼びます。
多変数のベクトル値関数は偏微分可能な点において連続であるとは限りません。微分可能性から連続性を保証するためには全微分と呼ばれる微分概念が必要です。
偏微分可能な多変数のベクトル値関数(ベクトル場)と、すべての成分関数が全微分可能な多変数のベクトル値関数の合成関数として定義される多変数のベクトル値関数もまた偏微分可能です。
一様収束する関数列は必ず各点収束する一方、その逆は成立するとは限りません。つまり、各点収束する関数列は一様収束するとは限りません。
関数列が一様コーシーであることの意味を定義するとともに、関数列が一様コーシーであることと一様収束であることは必要十分であることを示します。
関数列が各点コーシーであることの意味を定義するとともに、関数列が各点コーシーであることと各点収束であることは必要十分であることを示します。
連続な多変数のベクトル値関数(ベクトル場)と連続な多変数関数(スカラー場)の合成関数として定義される多変数関数もまた連続です。
連続な1変数のベクトル値関数(曲線)と連続な多変数のベクトル値関数(ベクトル場)の合成関数として定義される1変数のベクトル値関数は連続です。
偏微分可能な多変数のベクトル値関数(ベクトル場)と全微分可能な多変数関数(スカラー場)の合成関数として定義される多変数関数もまた偏微分可能です。
定義域を共有する無限個の関数を順番に並べたものを関数列と呼びます。関数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、定義域を共有するすべての関数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)を特定の変数に関して偏微分することとは、他の変数の値を固定することで得られる1変数のベクトル値関数をシンプルな1次式で近似する(線型近似)ことを意味します。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)を偏微分するプロセスは1変数のベクトル値関数(曲線)を微分するプロセスと実質的に等しいため、偏微分を行う際には微分に関する諸々の公式を活用できます。
ベクトル値関数を微分することとは、その関数をシンプルな1次式で近似する(線型近似)ことを意味します。その意味をランダウの記号や無限小などの概念を用いて解説します。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)が定義域上の点においてすべての変数に関して偏微分可能である場合、その点におけるそれぞれの成分関数のそれぞれの変数に関する偏微分係数を成分とする行列が存在します。これをヤコビ行列と呼びます。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)が与えられたとき、1つの変数以外のすべての変数の値を固定し、あたかも1変数のベクトル値関数であるかのようにみなした上で定義される微分概念を偏微分と呼びます。
1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数が収束するための条件および極限を具体的に求める方法について解説します。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)の変数を定義域上の点へ限りなく近づけた場合の極限が、その点に対して関数が定める値と一致するとき、その関数はその点において連続であると言います。
関数の極限が不定形である場合でも、関数の極限公式を用いることにより不定形を解消できる場合があります。三角関数やネイピア数に関する極限公式を用いて不定形を解消する方法を解説します。
関数の極限が不定形である場合でも、関数を変形してから極限をとることにより不定形を解消できる場合があります。約分、因数分解、有理化などを通じて不定形を解消する方法を解説します。
関数の関数べき乗として定義される関数について、底に相当する関数が無限大へ発散する一方で指数に相当する関数が0へ収束する場合、もとの関数の極限を∞0型の不定形と呼びます。
関数の関数べき乗として定義される関数について、底に相当する関数と指数に相当する関数がともに0へ収束する場合、もとの関数の極限を00型の不定形と呼びます。
距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がAとAの補集合の双方と交わるならば、aをAの境界点と呼びます。また、Aのすべての境界点からなる集合をAの境界と呼びます。
距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Xの点aを中心とする開近傍の中にAの補集合の部分集合になるものが存在するならば、aをAの外点と呼びます。また、Aのすべての外点を集めてできる集合をAの外部と呼びます。
関数の関数べき乗として定義される関数について、底に相当する関数が1へ収束する一方で指数に相当する関数が無限大へ発散する場合、もとの関数の極限を1^∞型の不定形と呼びます。
ネイピア数(オイラー数、自然対数の定)を数列の極限として定義するとともに、それが複利で元本を運用する場合の元本の増加率の極限として解釈可能であることを示します。
2つの関数の差として定義されている関数について、2つの関数がともに正の無限大へ発散する場合、もしくはともに負の無限大へ発散する場合、もとの関数の極限を∞-∞型の不定形と呼びます。不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。
0/0型の不定形の極限が有限な実数として定まるかを判定する際に、一定の条件のもとでは微分を利用できます。これをロピタルの定理と呼びます。
2つの関数の積として定義されている関数について、一方がゼロへ収束する一方で他方が無限大へ発散する場合、もとの関数の極限を0×∞型の不定形と呼びます。不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。
2つの関数の商として定義されている関数について、分子の関数と分母の関数がともに無限大へ発散する場合、もとの関数の極限を∞/∞型の不定形と呼びます。不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。
2つの関数の商として定義されている関数について、分子の関数と分母の関数がともにゼロへ収束する場合、もとの関数の極限を0/0型の不定形と呼びます。不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。
距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Xの点aを中心とする開近傍の中にAの部分集合になるものが存在するならば、aをAの内点と呼びます。また、Aのすべての内点を集めてできる集合をAの内部と呼びます。
距離空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するならば、Aを距離空間上の開集合と呼びます。
単位時間内に何らかの出来事が起こる回数を表す離散型の確率変数の確率分布をポアソン分布と呼びます。ポアソン分布を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。