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数学 | 最新の教材

正接関数

逆正接関数(arctan関数)の定義

正接関数(タンジェント関数)の定義域を適当な形で制限すれば全単射になるため、その逆関数である逆正接関数(アークタンジェント関数)を定義することができます。

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不連続点

関数の連続点と不連続点

関数が定義域上の点において連続であるとき、その点を連続点と呼びます。一方、関数が定義域上の点において連続ではないとき、その点を不連続点と呼びます。不連続点は第1種と第2種の2種類に分類され、さらに第1種の不連続点は除去可能な不連続点と跳躍不連続点に分類されます。

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ハッセ図

ハッセ図(有向グラフと順序)

有向グラフを用いることにより半順序集合を視覚的に表現できます。加えて、半順序の性質を利用することにより、有向グラフを簡略化したハッセ図と呼ばれる図を得ることができます。

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全順序

整列順序関係(整列集合)

全順序集合の任意の非空な部分集合が最小限を持つ場合、このような全順序集合を整列集合と呼びます。また、整列集合上に定義された全順序を整列関係と呼びます。

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上界・下界

順序部分集合の上界・下界

非空な順序部分集合の任意の要素以上の要素が順序集合上に存在する場合、その要素を上界と呼びます。また、非空な順序部分集合の任意の要素以下の要素が順序集合上に存在する場合、その要素を下界と呼びます。

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極大値・極小値

順序部分集合の極大元・極小元

非空な順序部分集合のある要素よりも大きい要素がその集合の中に存在しない場合、その要素を極大元と呼びます。また、非空な順序部分集合のある要素よりも小さい要素がその集合の中に存在しない場合、その要素を極小元と呼びます。

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最大値・最小値

順序部分集合の最大元・最小元

非空な順序部分集合のある要素が、他の任意の要素以上である場合、それを最大元と呼びます。また、非空な順序部分集合のある要素が、他の任意の要素以下である場合、それを最小元と呼びます。

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全順序

順序部分集合

順序集合A上に定義されている順序のもとで、Aの非空な部分集合Xが順序集合になっている場合、XをAの順序部分集合と呼びます。

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全順序

全順序と狭義全順序の関係

全順序から狭義全順序を生成する方法や、逆に、狭義全順序から全順序を生成する方法を解説するとともに、両者の間に成立する関係について解説します。

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狭義全順序

狭義全順序(狭義全順序集合)

非対称律、推移律、三分律を満たす二項関係、すなわち三分律を満たす狭義半順序を狭義全順序や狭義線型順序などと呼びます。狭義全順序を定義した上で、その具体例を提示します。

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全順序

全順序(全順序集合)

反射律、反対称律、推移律、完備律を満たす二項関係、すなわち完備律を満たす半順序を全順序や線型順序などと呼びます。全順序を定義した上で、全順序の具体例を提示します。

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半順序

半順序と狭義半順序の関係

半順序から狭義半順序を生成する方法や、逆に、狭義半順序から半順序を生成する方法を解説するとともに、両者の間に成立する関係を紹介します。

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半順序

狭義半順序(狭義半順序集合)

非対称律と推移律を満たす二項関係を狭義半順序や狭義順序などと呼びます。また、狭義半順序のもとで2つの要素が関係を持つとき、一方の要素は他方の要素より小さいと言います。狭義半順序を定義した上で、狭義半順序の具体例を提示します。

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半順序

半順序(半順序集合)

反射律、反対称律、推移律を満たす二項関係を半順序や順序などと呼びます。また、半順序のもとで2つの要素が関係を持つとき、一方の要素は他方の要素以下であると言います。半順序を定義した上で、半順序の具体例を提示します。

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二項関係

二項関係の推移律

集合A上の二項関係Rのもとで、Aの任意の要素x,y,zについて、xがyと関係を持つとともにyがzと関係を持つ場合にxとzが関係を持つことが保証されるならば、Rは推移律を満たすと言います。推移律を満たす二項関係の例を挙げます。

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二項関係

二項関係の非対称律

集合A上の二項関係Rのもとで、Aの任意の要素x,yについて、xがyと関係を持つ場合にはyがxと関係を持たない場合、Rは非対称律を満たすと言います。非対称律を満たす二項関係の例を挙げます。

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二項関係

二項関係の反対称律

集合A上の二項関係Rのもとで、Aの任意の要素x,yについて、xがyと関係を持つとともにyがxと関係を持つ場合にはxとyが一致する場合、Rは反対称律を満たすと言います。反対称律を満たす二項関係の例を挙げます。

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二項関係

二項関係の対称律

集合A上の二項関係Rのもとで、Aの任意の要素x,yについて、Rのもとでxがyと関係を持つ場合にはyとxが関係を持つ場合、Rは対称律を満たすと言います。対称律を満たす二項関係の例を挙げます。

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二項関係

二項関係の反射律

集合A上の二項関係Rのもとで、Aの任意の要素xがx自身と関係を持つ場合、Rは反射律を満たすと言います。反射律を満たす二項関係の例を挙げます。

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二項関係

関係どうしの演算

関係は集合として定義されるため、関係に対して通常の集合演算が適用可能です。補関係、共通関係、和関係、差関係などの概念を定義します。

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ベクトル値関数の連続性

ベクトル値関数の連続性

ベクトル値関数(曲線)が定義域上の点において収束するとともに、その極限がその点における関数の値と一致する場合には、関数はその点において連続であると言います。

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余弦関数

逆余弦関数(arccos関数)の定義

余弦関数(コサイン関数)の定義域を適当な形で制限すれば全単射になるため、その逆関数である逆余弦関数(アークコサイン関数)を定義することができます。

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ベクトル値関数の微分

ベクトル値関数の微分の定義

実数空間もしくはその部分集合上に定義され、値としてユークリッド空間上の点をとるようなベクトル値関数(曲線)が微分可能であることの意味を定義します。

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絶対値

絶対値関数の微分

絶対値関数はゼロとは異なる定義域上の点において微分可能です。絶対値関数や絶対値関数との合成関数を微分する方法を解説します。

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無理関数

無理関数の微分

無理関数はゼロとは異なる定義域上の点において微分可能です。無理関数を微分する方法を解説します。

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整数ベキ関数

整数ベキ関数の微分

整数ベキ関数(累乗関数)が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。

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自然数ベキ関数

自然数ベキ関数の微分

自然数ベキ関数(累乗関数)が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。

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対数関数

一般の対数関数の微分

自然対数関数とは限らない一般の対数関数もまた定義域上の任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数を求める方法を解説します。

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部分ベクトル空間

部分ベクトル空間の集合演算

ベクトル空間が与えられたとき、その部分ベクトル空間どうしの共通部分や和(ミンコワスキー和)もまた部分ベクトル空間になる一方、和集合は部分ベクトル空間になるとは限りません。

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