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経済学 | 最新の教材

展開型ゲーム

展開型ゲームの戦略型の混合拡張

展開型ゲームにおいてプレイヤーたちが純粋戦略を採用する場合、その戦略的状況を戦略型ゲームとして表現できますが、プレイヤーたちが混合戦略を採用する場合には、それを戦略型ゲームの混合拡張として表現できます。

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展開型ゲーム

展開型ゲームにおける混合戦略

展開型ゲームにおいてプレイヤーが何らかの確率分布にもとづいて特定の純粋戦略をランダムに選択するような意思決定を混合戦略と呼ばれる概念として定式化します。

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ジャンケン

ジャンケン

2人がジャンケンを1回だけ行う状況を完備情報の静学ゲームとして定式化した上で、そこでのナッシュ均衡を求めます。

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1生産物モデル

1生産物モデルにおける費用関数

1生産物モデルにおいて、生産要素の価格と目標産出量を入力とし、そこでの費用最小化問題の解において生産者が直面する費用を出力する関数を費用関数と呼びます。

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1生産物モデル

制約付き要素需要における非超過投入

1生産物モデルにおいて生産者の技術を表す生産関数が連続関数である場合、費用最小化問題の解である制約付き要素需要において生産者は目標産出量に等しい産出を実現する投入を行います。

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1生産物モデル

1生産物モデルにおける利潤関数

1生産物モデルにおいて、生産物の価格と生産要素価格ベクトルと入力とし、そこでの利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤を出力する関数を利潤関数と呼びます。

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1生産物モデル

制約付き要素需要関数の0次同次性

1生産物モデルにおいて、制約付き要素需要関数は要素価格ベクトルに関して0次同次性を満たします。つまり、すべての生産要素の価格が等しい割合で変化した場合、その前後において費用最小化問題の解は変化しません。

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1生産物モデル

1生産物モデルにおける利潤最大化問題の内点解と端点解

N生産要素1生産物モデルにおける利潤最大化問題の解が内点解である場合、任意の2つの生産要素について、技術的限界代替率と価格比が一致します。端点解ではそのような関係は成り立つとは限りません。その理由と背景にあるメカニズムについて解説します。

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供給の法則

供給の法則

生産者が利潤最大化の原理にもとづいて行動をする場合、ある商品の価格だけが上昇した場合にはその商品の純供給は減少しません。これを供給の法則と呼びます。

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1生産物モデル

1生産物モデルにおける費用最小化問題

N生産要素1生産物モデルにおいて要素価格ベクトルと目標産出量が与えられたとき、目標産出量を達成する投入ベクトルの中から費用を最小化するようなものを特定する最適化問題を費用最小化問題と呼びます。

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1生産物モデル

1生産物モデルにおける生産集合の非空性

1生産物モデルにおいて生産者は生産集合に属する生産ベクトルを選ぶため、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。

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変換関数

限界変形率

変換フロンティア上の生産ベクトルを出発点として、商品iの純産出量を1単位変化させてもなお、変換フロンティア上に留まるために変化させる必要のある商品jの純産出量を、その生産ベクトルにおける商品iの商品jで測った限界変形率と呼びます。

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1生産物モデル

生産関数

1生産物モデルにおいて生産者の技術を生産集合と呼ばれる概念を用いて表現しましたが、生産者の技術を生産関数と呼ばれる関数を用いて表現することもできます。

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1生産物モデル

1生産物モデルにおける効率生産集合

1生産物モデルにおいて生産者が技術的に選択可能な2つの生産ベクトルが与えられたとき、一方が他方よりも、より少ない投入でより多くを生産できるのであれば、それは効率的であると言えます。

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1生産物モデル

1生産物モデルにおける生産集合

分析対象となる生産者にとって生産要素と生産物を事前に区別できる場合には、1生産物モデルと呼ばれるモデルを利用します。1生産物モデルにおける生産者の技術を生産集合として定式化します。

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スルツキー方程式

スルツキー方程式

ある商品の価格が変化したことによる需要の変化、すなわち価格効果は、価格比の変化に起因する代替効果と、実質所得の変化に起因する所得効果に切り分けることができます。スルツキー方程式は価格効果を代替効果と所得効果に切り分けて評価する際の指針を与えてくれます。

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ダウンズモデル

ダウンズの投票参加モデルと中位投票者定理

1つの政治的争点をめぐって2人の候補者が選挙で争う場合、一定の条件のもとでは、2人の候補者はナッシュ均衡において中位投票者の至福点に等しい政策を公約として掲げます。これを中位投票者定理と呼びます。

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コモンズの悲劇

コモンズの悲劇(共有地の悲劇)

消費に競合性がある一方で排除不可能な商品やサービスをコモンズ(共有資源)と呼びます。集団がコモンズを共同で利用する場合、全員が過剰に資源を利用することが支配戦略均衡になり、結果として資源が枯渇してしまう問題をコモンズの悲劇と呼びます。

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ベルトラン競争

技術水準が異なる企業間のベルトラン競争

等しい限界費用を持つ2つの企業がベルトラン競争を行う場合、均衡において両企業の利潤はゼロになります。一方、限界費用に差がある2つの企業がベルトラン競争を行う場合には、均衡において、相対的に効率的な企業は正の利潤を得られます。

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ベルトラン競争

企業数の変化がベルトラン競争に与える影響

ベルトラン競争が行われる市場において企業数が1から2へ変化すると均衡価格が限界費用まで急激に下落して死荷重が喪失しますが、企業数をそれ以上増やした場合、均衡における各企業の供給量は企業数に逆比例する形で減少していく一方で、均衡価格や死荷重は変化しません。

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クールノー競争

技術水準が異なる企業間のクールノー競争

クールノー競争が行われる複占市場において企業間の技術水準に差がある場合、すなわち企業間で限界費用に差がある場合にも、両企業の間の技術水準の差が十分小さい場合にはクールノー均衡が存在します。

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ホテリングモデル

ホテリングの立地モデル(空間競争モデル)

商品の特性に対する消費者による好みの違いが線分上の分布として表現されるという想定のもと、ライバル関係にある2つの企業が商品の水平的差別化を行う状況をホテリングモデルとして定式化しましたが、同様のモデルを用いて企業間の商業立地を通じた競争を分析することができます。

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ホテリングモデル

ホテリングモデル(最小差別化原理)

2つの企業が商品を同一価格で販売している状況では、消費者は自分の好みに近い特性を持つ商品を購入します。消費者の好みが一様に分布している状況においては、均衡においてそれぞれの企業が供給する製品の特性が完全に一致し、結果として、製品差別化が行われないことになります。

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ナッシュの要求ゲーム

ナッシュの要求ゲーム(1ドルの分配ゲーム)

資源量が所与である状況において2人のプレイヤーが取り分を同時に要求し、2人による要求量の和が資源量以下であれば各々は要求通りの取り分を得られる一方、要求量の和が総資源量を上回る場合には何も得られない、という構造のゲームをナッシュの要求ゲームと呼びます。

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リスク支配

鹿狩りゲーム:調整ゲームの例

調整ゲームの1つの典型例である鹿狩りゲーム(stag hunt)を定式化した上で、ナッシュ均衡を求めます。鹿狩りゲームでは複数均衡問題が発生するとともに、利得支配とリスク支配の間にトレードオフが成立します。

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ナッシュ均衡

複数均衡問題とリスク支配

戦略型ゲームに複数のナッシュ均衡が存在するとともに、ある均衡からのプレイヤーたちの離脱損失の積が、別の均衡からのプレイヤーたちの離脱損失の積よりも大きい場合、前者の均衡は後者の均衡をリスク支配すると言います。

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ナッシュ均衡

複数均衡問題と利得支配

戦略型ゲームに複数のナッシュ均衡が存在するとともに、ある均衡が別の均衡を狭義にパレート支配することを利得支配と呼びます。

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ナッシュ均衡

複数均衡問題とフォーカルポイント

プレイヤーたちが相談できない状況において何らかの選択を迫られた場合に、ある選択肢が他の選択肢よりも注意を引くものであるならば、それをフォーカルポイントと呼びます。ゲームに複数のナッシュ均衡が存在する場合、その中の1つがフォーカルポイントであれば、プレイヤーたちはそれをプレーすることが予想されます。

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