純粋交換経済におけるワルラス均衡

純粋交換経済における効用最大化問題

有限\(I\)人の消費者と有限\(N\)種類の商品が存在する純粋交換経済\begin{equation*}\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\mathcal{I}=\left\{ 1,\cdots ,I\right\}
\end{equation*}は経済に存在する消費者の一覧であり、\begin{equation*}
\mathcal{N}=\left\{ 1,\cdots ,N\right\}
\end{equation*}は経済に存在する商品の種類の一覧であり、\begin{equation*}
\succsim _{i}\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費ベクトルどうしを比較する消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係であり、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left( e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は消費者\(i\)による初期保有量です。ただし、このベクトルの第\(n\)成分\(e_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)が初期時点において保有する商品\(n\)の数量を表す非負の実数です。このとき、経済全体の初期保有量は、\begin{equation*}\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}=\left( \sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,\sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と特定されます。消費者\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)を表現する効用関数が存在する場合には、それを、\begin{equation*}u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。

消費者\(i\in \mathcal{I}\)が直面する消費ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{i}=\left( x_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記します。ただし、このベクトルの第\(n\)成分\(x_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)による商品\(n\)の消費量を表す非負の実数です。配分はすべての消費者が直面する消費ベクトルからなる組\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}} &=&\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) _{i\in
\mathcal{I}} \\
&=&\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{I}\right) \\
&=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{1}^{\left( N\right) },\cdots
,x_{I}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{I}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{N\times I}
\end{eqnarray*}として定義されます。実行可能な配分からなる集合は、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\ |\ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}\leq
\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}\right\}
\end{equation*}であり、実行可能かつ市場の需給が均衡するような配分からなる集合は、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\ |\ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}=\sum_{i\in
\mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}\right\}
\end{equation*}です。

純粋交換経済において個々の消費者は自身の選好にもとづいて商品を交換した上で、得た商品を消費します。つまり、個々の消費者は効用最大化の原理にもとづいて意思決定を行いますが、純粋交換経済に価格メカニズムを導入した場合、経済全体においてどのような結果が実現するでしょうか。順番に考えます。

純粋交換経済には有限\(N\)種類の商品が存在しますが、これらすべての商品には所有権や使用権が定められており、それらを売買する市場が存在するものと仮定します。これを市場の普遍性の仮定（universality of market）と呼びます。市場の普遍性の仮定のもとで、すべての商品は市場価格\begin{equation*}
\boldsymbol{p}=\left( p^{\left( 1\right) },\cdots ,p^{\left( N\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}
\end{equation*}のもとで売買されます。ただし、このベクトルの第\(n\)成分\(p^{\left(n\right) }\)は商品\(n\)の市場価格を表す正の実数です。

市場経済において取引されるそれぞれの商品の価格は、その商品が取引される市場における需要と供給のバランスに応じて変化します。つまり、供給よりも需要が相対的に大きくなれば価格は上昇し、逆に需要よりも供給が相対的に大きくなれば価格は下落します。ただ、多くの場合、個々の消費者が商品の購入量を変化させても、その商品の市場価格は変化しません。なぜなら、個々の消費者による需要が市場全体の需要に占める割合は極めて小さいため、個々の消費者が購入量を変化させても市場の需給バランスに影響を与えることはできないからです。以上の事情を踏まえた上で、個々の消費者は任意の商品の市場価格に影響を与えることはできず、消費者にとって任意の商品の価格は外生的に与えられるパラメーターであるものとみなします。このような仮定をプライス・テイカーの仮定（price taker assumption）と呼びます。プライステイカーの仮定のもとでは、それぞれの消費者は価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)を与えられたものとして意思決定を行うことになります。

市場が定める価格ベクトルが\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)である場合に、消費者\(i\in \mathcal{I}\)が自身の初期保有量\(\boldsymbol{e}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を市場ですべて売却することにより得られる所得は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i} &=&\left( p^{\left( 1\right) },\cdots
,p^{\left( N\right) }\right) \cdot \left( e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots
,e_{i}^{\left( N\right) }\right) \\
&=&p^{\left( 1\right) }e_{1}^{\left( 1\right) }+\cdots +p^{\left( N\right)
}e_{i}^{\left( N\right) } \\
&=&\sum_{n=1}^{N}p^{\left( n\right) }e_{i}^{\left( n\right) }
\end{eqnarray*}です。一方、消費者\(i\)が消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を選択するために必要な支出額は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i} &=&\left( p^{\left( 1\right) },\cdots
,p^{\left( N\right) }\right) \cdot \left( x_{i}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{i}^{\left( N\right) }\right) \\
&=&p^{\left( 1\right) }x_{1}^{\left( 1\right) }+\cdots +p^{\left( N\right)
}x_{i}^{\left( N\right) } \\
&=&\sum_{n=1}^{N}p^{\left( n\right) }x_{i}^{\left( n\right) }
\end{eqnarray*}です。したがって、消費者\(i\)に課される予算制約は、支出額が所得内に収まっていなければならないという条件\begin{equation*}\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}
\end{equation*}として定式化されます。このような条件を満たす消費ベクトルからなる集合が消費者\(i\)の予算集合であり、それを、\begin{equation*}B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot
\boldsymbol{e}_{i}\right\}
\end{equation*}で表記します。消費者\(i\)の予算集合を\(B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \)と表記する理由は、予算集合は消費者\(i\)にとって外生的に与えられる\(\boldsymbol{p}\)と初期条件として与えられる\(\boldsymbol{e}_{i}\)の水準に依存して変化するからです。

消費者が選好最大化の原理にもとづいて意思決定を行う場合、予算制約\(B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \)に直面した消費者\(i\)が解くべき問題は、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\in B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}_{i}\in B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) :\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)を特定する最適化問題として定式化されます。このような最適化問題を選好最大化問題と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は、選好最大化問題の解\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)が予算集合に属することを意味しますが、これを予算制約の条件と呼びます。予算集合\(B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \)の定義を踏まえると、予算制約の条件は、\begin{equation*}\left( a\right) \ \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\wedge \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\leq
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}
\end{equation*}と必要十分です。条件\(\left( b\right) \)は、選好最大化問題の解\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)は、予算制約を満たす消費ベクトルの中でも選好\(\succsim _{i}\)のもとで最も望ましいものであることを意味しますが、これを選好最大化の条件と呼びます。予算集合\(B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \)の定義を踏まえると、選好最大化の条件は、\begin{equation*}\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}\Rightarrow \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i}\right)
\end{equation*}と必要十分です。選好最大化問題とは、与えられた価格ベクトルと初期保有量のもとで、予算制約と選好最大化の条件をともに満たす消費ベクトルを特定する最適化問題に相当します。

消費者\(i\)の選好関係\(\succsim_{i}\)を表現する効用関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、予算制約\(B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \)に直面した消費者\(i\)の選好最大化問題を、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\in B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}_{i}\in B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) :u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\right)
\geq u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)を特定する最適化問題として定式化されます。このような最適化問題を効用最大化問題と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は先と同様に予算制約の条件です。条件\(\left( b\right) \)は、効用最大化問題の\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)は、予算制約を満たす消費ベクトルの中でも最大の効用をもたらすものであることを意味しますが、これを効用最大化の条件と呼びます。予算集合\(B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \)の定義を踏まえると、効用最大化の条件は、\begin{equation*}\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}\Rightarrow u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\ast
}\right) \geq u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \right] \end{equation*}と必要十分です。効用最大化問題とは、与えられた価格ベクトルと初期保有量のもとで、予算制約と効用最大化の条件をともに満たす消費ベクトルを特定する最適化問題に相当します。

予算集合\(B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \)のもとでの効用最大化問題は、効用関数\(u_{i}\)を目的関数とし、予算制約を制約条件とする以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{\boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R}_{+}^{N}}u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \quad s.t.\quad \boldsymbol{x}_{i}\in B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right)
\end{equation*}に他なりません。予算集合\(B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \)の定義より、これを、

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R}_{+}^{N}} & u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \\
s.t. & \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}\end{array}$$

すなわち、

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R}^{N}} & u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \\
s.t. & \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i} \\
& x_{i}^{\left( 1\right) }\geq 0 \\
&\vdots \\
& x_{i}^{\left( N\right) }\geq 0\end{array}$$

と表現することもできます。この最大化問題の解\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。

クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) &=&u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right)
\\
g_{0}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) &=&\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}-\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i} \\
g_{1}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) &=&x_{i}^{\left( 1\right) } \\
&\vdots \\
g_{N}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) &=&x_{N}^{\left( N\right) }
\end{eqnarray*}を定める多変数関数\(f,g_{0},g_{1},\cdots ,g_{N}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、先の効用最大化問題を、

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R}^{N}} & f\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \\
s.t. & g_{0}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \geq 0 \\
&\vdots \\
& g_{N}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \geq 0\end{array}$$

と表現できます。この問題に対してクーン・タッカーの定理を利用するためには、上の問題の解\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)が制約想定（constraint qualification）を満たすことを確認しておく必要があります。

制約想定として様々なバリエーションがありますが、ここでは、最適解\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)においてバインドする関数\(g_{i}\)の点\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)における勾配ベクトルどうしが1次独立であること、すなわち、以下のベクトル集合\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\right) =\left\{ \nabla g_{i}\left(
\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\right) \ |\ i\in \left\{ 0,1,\cdots ,N\right\} \
s.t.\ g_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\right) =0\right\}
\end{equation*}が1次独立であるという条件を採用します。これを正規条件（regularity condition）と呼びます。正規条件が満たされる場合、目的関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるならばクーン・タッカーの定理を利用できます。つまり、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)が満たす条件を特定できるということです。すると以下の命題を得ます。

局所非飽和性と内点解を仮定する場合には、先の命題より以下が得られます。

純粋交換経済におけるワルラス均衡

純粋交換経済\(\mathcal{E}\)における配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\in \mathcal{A}\)と価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたとき、これが以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\in
B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \mathcal{I},\ \forall \boldsymbol{x}_{i}\in
B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) :\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}^{\ast
}=\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}
\end{eqnarray*}をすべて満たす場合には、このような配分と価格ベクトルからなる組\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast },\boldsymbol{p}\right) \in
\mathcal{A}\times \mathbb{R} _{++}^{N}
\end{equation*}をワルラス均衡（Walrasian equilibrium）や競争均衡（competitive equilibrium）などと呼びます。

条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より、ワルラス均衡においてすべての消費者は選好最大化を実現しています。条件\(\left( c\right) \)より、ワルラス均衡を構成する配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)は実行可能であるとともに、すべての商品の需要と供給が均衡しています。つまり、ワルラス均衡とは、すべての消費者が選好最大化を実現するとともに、すべての商品の需要と供給が均衡しているような配分と価格ベクトルの組み合わせに相当します。

予算集合の定義より、ワルラス均衡を規定する先の条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\wedge \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\leq
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \mathcal{I},\ \forall \boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}\Rightarrow \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i}\right) \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}^{\ast
}=\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}
\end{eqnarray*}と必要十分です。また、すべての消費者\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)を表現する効用関数\(u_{i}\)が存在する場合、以上の条件は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\wedge \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\leq
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \mathcal{I},\ \forall \boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}\Rightarrow u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\ast
}\right) \geq u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \right] \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}^{\ast
}=\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}
\end{eqnarray*}と必要十分です。

条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は、任意の消費者\(i\in \mathcal{I}\)について、ワルラス均衡のもとでの配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)を構成する消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)が、予算集合\(B_{i}\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であることを意味します。つまり、条件\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)を満たす消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\)は、価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)と自身の初期保有量\(\boldsymbol{e}_{i}\)を変数として持つ需要関数\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }=\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right)
\end{equation*}です。すべての消費者の需要関数を特定した上で、それを条件\(\left( c\right) \)へ代入すれば、\begin{equation*}\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{e}_{i}\right) =\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}
\end{equation*}を得ます。消費者たちの初期保有\(\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\)が初期条件として与えられている場合、以上の等式を価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)について解くことにより、ワルラス均衡\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast },\boldsymbol{p}\right) \)を構成する価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)を特定できます。

2消費者・2商品の純粋交換経済におけるワルラス均衡

2人の消費者と2種類の商品が存在する純粋交換経済については、ワルラス均衡を比較的容易に特定できます。具体的には以下の通りです。

2人の消費者と2種類の商品が存在する純粋交換経済\begin{equation*}
\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}について考えます。消費者集合は、\begin{equation*}
\mathcal{I}=\left\{ A,B\right\}
\end{equation*}であり、商品集合は、\begin{equation*}
\mathcal{N}=\left\{ X,Y\right\}
\end{equation*}であるものとします。それぞれの消費者の選好関係\(\succsim _{A},\succsim _{B}\)を表す効用関数\begin{eqnarray*}u_{A} &:&\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \\
u_{B} &:&\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在するものとします。それぞれの消費者の初期保有量が、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{A} &=&\left( e_{A}^{\left( X\right) },e_{A}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2} \\
\boldsymbol{e}_{B} &=&\left( e_{B}^{\left( X\right) },e_{B}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}
\end{eqnarray*}である場合、経済に存在する初期保有量は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{A}+\boldsymbol{e}_{B} &=&\left( e_{A}^{\left( X\right)
},e_{A}^{\left( Y\right) }\right) +\left( e_{B}^{\left( X\right)
},e_{B}^{\left( Y\right) }\right) \\
&=&\left( e_{A}^{\left( X\right) }+e_{B}^{\left( X\right) },e_{A}^{\left(
Y\right) }+e_{B}^{\left( Y\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{2}
\end{eqnarray*}となります。

消費者\(i\in \mathcal{I}\)が直面する消費ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{i}=\left( x_{i}^{\left( X\right) },x_{i}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}
\end{equation*}で表記し、配分を、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}} &=&\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B}\right) \\
&=&\left( x_{A}^{\left( X\right) },x_{A}^{\left( Y\right) },x_{B}^{\left(
X\right) },x_{B}^{\left( Y\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{4}
\end{eqnarray*}で表記します。実行可能な配分からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\mathcal{A} &=&\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{4}\ |\ \boldsymbol{x}_{A}+\boldsymbol{x}_{B}\leq \boldsymbol{e}_{A}+\boldsymbol{e}_{B}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{4}\ |\ x_{A}^{\left( X\right) }+x_{B}^{\left( X\right) }\leq
e_{A}^{\left( X\right) }+e_{B}^{\left( X\right) }\wedge x_{A}^{\left(
Y\right) }+x_{B}^{\left( Y\right) }\leq e_{A}^{\left( Y\right)
}+e_{B}^{\left( Y\right) }\right\}
\end{eqnarray*}です。

配分と価格ベクトルからなる組\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast },\boldsymbol{p}\right) \in
\mathcal{A}\times \mathbb{R} _{++}^{2}
\end{equation*}がワルラス均衡であることは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{2}\wedge \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\leq
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \mathcal{I},\ \forall \boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{2}:\left[ \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}\Rightarrow u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\ast
}\right) \geq u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \right] \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}^{\ast
}=\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。

条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は、消費者\(A,B\)がいずれもワルラス均衡のもとでの配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)において直面する消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast}\)において効用最大化を実現していることを意味します。特に、消費者の選好が局所非飽和性を満たすとともに\(\boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\)がいずれも内点解である場合には、先の命題より、\begin{eqnarray*}MRS_{A}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right) &=&\frac{p^{\left( X\right) }}{p^{\left( Y\right) }} \\
MRS_{B}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) &=&\frac{p^{\left( X\right) }}{p^{\left( Y\right) }}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。すると、\begin{equation*}
MRS_{A}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right)
=MRS_{B}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) =\frac{p^{\left( X\right) }}{p^{\left( Y\right) }}
\end{equation*}を得ます。\(MRS_{A}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right) \)はワルラス均衡を構成する配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)のもとで消費者\(A\)が直面する消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\)における商品\(X\)の商品\(Y\)で測った限界代替率である一方で、\(MRS_{B}^{\left( XY\right)}\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) \)はワルラス均衡を構成する配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)のもとで消費者\(B\)が直面する消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\)における商品\(X\)の商品\(Y\)で測った限界代替率です。つまり、ワルラス均衡を構成する配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)において、2人の消費者の限界代替率は2つの商品の価格比と一致します。

演習問題