純粋交換経済におけるパレート効率的な配分

純粋交換経済における狭義パレート効率的な配分

有限\(I\)人の消費者と有限\(N\)種類の商品が存在する純粋交換経済\begin{equation*}\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\mathcal{I}=\left\{ 1,\cdots ,I\right\}
\end{equation*}は経済に存在する消費者の一覧であり、\begin{equation*}
\mathcal{N}=\left\{ 1,\cdots ,N\right\}
\end{equation*}は経済に存在する商品の種類の一覧であり、\begin{equation*}
\succsim _{i}\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費ベクトルどうしを比較する消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係であり、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left( e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は消費者\(i\)による初期保有量です。ただし、このベクトルの第\(n\)成分\(e_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)が初期時点において保有する商品\(n\)の数量を表す非負の実数です。このとき、経済全体の初期保有量は、\begin{equation*}\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}=\left( \sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,\sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と特定されます。消費者\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)を表現する効用関数が存在する場合には、それを、\begin{equation*}u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。

消費者\(i\in \mathcal{I}\)が直面する消費ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{i}=\left( x_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記します。ただし、このベクトルの第\(n\)成分\(x_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)による商品\(n\)の消費量を表す非負の実数です。配分はすべての消費者が直面する消費ベクトルからなる組\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}} &=&\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) _{i\in
\mathcal{I}} \\
&=&\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{I}\right) \\
&=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{1}^{\left( N\right) },\cdots
,x_{I}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{I}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{N\times I}
\end{eqnarray*}として定義されます。実行可能な配分からなる集合は、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\ |\ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}\leq
\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}\right\}
\end{equation*}であり、実行可能かつ市場の需給が均衡するような配分からなる集合は、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\ |\ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}=\sum_{i\in
\mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}\right\}
\end{equation*}です。

純粋交換経済において個々の消費者は自身の選好にもとづいて商品を交換した上で、得た商品を消費します。つまり、個々の消費者は効用最大化の原理にもとづいて意思決定を行うため、その結果として経済全体で実現する配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)は社会的に望ましいものになる保証はありません。では、そもそも、社会的に望ましい配分とはどのようなものでしょうか。以下で定義します。

実行可能な2つの配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\in \mathcal{A}\)が与えられたとき、これらの間に以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succ _{i}\boldsymbol{x}_{i}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)は\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)を広義パレート支配する（weakly Pareto dominate）と言います。同じことを、\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)は\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)によって広義パレート支配される（weakly Pareto dominated）と言うこともできます。

条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は、任意の消費者にとって\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)は\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)以上に望ましく、少なくとも1人の消費者にとって\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)は\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)よりも望ましいことを意味します。したがって、\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)が\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)を広義パレート支配することとは、両者はともに実行可能であるとともに、\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)から\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)へ移行することにより全員の満足度を低下させることなく少なくとも1人の満足度を高められることを意味します。そのような意味において、\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)から\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)へ移行することを広義のパレート改善（weakly Pareto improvement）と呼びます。誰かの犠牲を伴わずに誰かの満足度を高められるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、広義のパレート改善は目標とすべき指標の1つとして位置付けられます。

実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathcal{A}\)が他のいかなる実行可能な配分によっても広義パレート支配されない場合、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succ _{i}\boldsymbol{x}_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\in \mathcal{A}\)が存在しない場合には、\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)は狭義パレート効率的（strictly Pareto efficient）であると言います。

実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathcal{A}\)が狭義パレート効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists j\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{j}^{\prime }\succ _{j}\boldsymbol{x}_{j}
\end{equation*}を満たす実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\in \mathcal{A}\)を任意に選びます。\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)から\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)へ移行すると、少なくとも1人の消費者\(j\)の満足度が高まるということです。さて、狭義パレート効率性の定義より\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)は\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)を広義パレート支配しないため、このとき、\begin{equation*}\forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i}
\end{equation*}は成り立ちません。言い換えると、\begin{equation*}
\exists i\in \mathcal{I}:\lnot \left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\succsim
_{i}\boldsymbol{x}_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\succsim_{i}\)が完備性を満たす場合、これは、\begin{equation*}\exists i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}\succ _{i}\boldsymbol{x}_{i}^{\prime }
\end{equation*}と必要十分です。つまり、狭義パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)を出発点に、ある消費者\(j\)の満足度を高める形で別の実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)へ移行しようとすると、少なくとも1人の消費者\(i\)の満足度が低くなってしまいます。狭義パレート効率的な結果が与えられたとき、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義パレート効率的な配分は目指すべき目標になり得ます。

2消費者・2商品の純粋交換経済における狭義パレート効率的な配分

2人の消費者と2種類の商品が存在する純粋交換経済については、狭義パレート効率的な配分を比較的容易に特定できます。具体的には以下の通りです。

2人の消費者と2種類の商品が存在する純粋交換経済\begin{equation*}
\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}について考えます。消費者集合は、\begin{equation*}
\mathcal{I}=\left\{ A,B\right\}
\end{equation*}であり、商品集合は、\begin{equation*}
\mathcal{N}=\left\{ X,Y\right\}
\end{equation*}であるものとします。それぞれの消費者の選好関係\(\succsim _{A},\succsim _{B}\)を表す効用関数\begin{eqnarray*}u_{A} &:&\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \\
u_{B} &:&\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在するものとします。それぞれの消費者の初期保有量が、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{A} &=&\left( e_{A}^{\left( X\right) },e_{A}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2} \\
\boldsymbol{e}_{B} &=&\left( e_{B}^{\left( X\right) },e_{B}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}
\end{eqnarray*}である場合、経済に存在する初期保有量は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{A}+\boldsymbol{e}_{B} &=&\left( e_{A}^{\left( X\right)
},e_{A}^{\left( Y\right) }\right) +\left( e_{B}^{\left( X\right)
},e_{B}^{\left( Y\right) }\right) \\
&=&\left( e_{A}^{\left( X\right) }+e_{B}^{\left( X\right) },e_{A}^{\left(
Y\right) }+e_{B}^{\left( Y\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{2}
\end{eqnarray*}となります。

消費者\(i\in \mathcal{I}\)が直面する消費ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{i}=\left( x_{i}^{\left( X\right) },x_{i}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}
\end{equation*}で表記し、配分を、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}} &=&\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B}\right) \\
&=&\left( x_{A}^{\left( X\right) },x_{A}^{\left( Y\right) },x_{B}^{\left(
X\right) },x_{B}^{\left( Y\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{4}
\end{eqnarray*}で表記します。実行可能な配分からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\mathcal{A} &=&\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{4}\ |\ \boldsymbol{x}_{A}+\boldsymbol{x}_{B}\leq \boldsymbol{e}_{A}+\boldsymbol{e}_{B}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{4}\ |\ x_{A}^{\left( X\right) }+x_{B}^{\left( X\right) }\leq
e_{A}^{\left( X\right) }+e_{B}^{\left( X\right) }\wedge x_{A}^{\left(
Y\right) }+x_{B}^{\left( Y\right) }\leq e_{A}^{\left( Y\right)
}+e_{B}^{\left( Y\right) }\right\}
\end{eqnarray*}です。

配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathcal{A}\)が狭義パレート効率的であることとは、それに対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\right) \geq u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \mathcal{I}:u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right)
\end{eqnarray*}を満たす配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\in \mathcal{A}\)が存在しないことを意味します。つまり、配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)が狭義パレート効率的である場合には、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能です。

消費者\(B\)が一定の効用水準\(\overline{u}_{B}\)を確保できることを保証した上で、消費者\(A\)が得る効用を最大化するような実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathcal{A}\)を特定する制約付き最大化問題

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathcal{A}} & u_{A}\left(\boldsymbol{x}_{A}\right) \\
s.t. & u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}\right) \geq \overline{u}_{B}
\end{array}$$

すなわち、

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R}_{+}^{4}} & u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}\right) \\
s.t. & u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}\right) \geq \overline{u}_{B} \\
& x_{A}^{\left( X\right) }+x_{B}^{\left( X\right) }\leq e_{A}^{\left( X\right) }+e_{B}^{\left( X\right) } \\
& x_{A}^{\left( Y\right) }+x_{B}^{\left( Y\right) }\leq e_{A}^{\left( Y\right) }+e_{B}^{\left( Y\right) }\end{array}$$

について考えます。ただし、\(\overline{u}_{B}\in \mathbb{R} \)は定数です。配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)がこの制約付き最大化問題の解である場合には、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能です。したがって、この最大化問題の解が満たすべき条件を特定すれば、それは狭義パレート効率的な配分が満たすべき条件となります。そこで、この最大化問題の解\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。

クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{4}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\right) &=&u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}\right) \\
g_{0}\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\right) &=&u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}\right) -\overline{u}_{B} \\
g_{1}\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\right) &=&e_{A}^{\left( X\right)
}+e_{B}^{\left( X\right) }-x_{A}^{\left( X\right) }-x_{B}^{\left( X\right) }
\\
g_{2}\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\right) &=&e_{A}^{\left( Y\right)
}+e_{B}^{\left( Y\right) }-x_{A}^{\left( Y\right) }-x_{B}^{\left( Y\right) }
\end{eqnarray*}を定める多変数関数\(f,g_{0},g_{1},g_{2}:\mathbb{R} _{+}^{4}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、先の制約付き最大化問題を、

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R}_{+}^{4}} & f\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\right) \\
s.t. & g_{0}\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\right) \geq 0\end{array}$$

と表現できます。この問題に対してクーン・タッカーの定理を利用するためには、上の問題の解\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)が制約想定（constraint qualification）を満たすことを確認しておく必要があります。

制約想定として様々なバリエーションがありますが、ここでは、最適解\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)においてバインドする関数\(g_{i}\)の点\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)における勾配ベクトルどうしが1次独立であること、すなわち、以下のベクトル集合\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\right) =\left\{ \nabla
g_{i}\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\right) \ |\ i\in \left\{
0,1,2\right\} \ s.t.\ g_{i}\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast
}\right) =0\right\}
\end{equation*}が1次独立であるという条件を採用します。これを正規条件（regularity condition）と呼びます。正規条件が満たされる場合、目的関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるならばクーン・タッカーの定理を利用できます。つまり、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)が満たす条件を特定できるということです。すると以下の命題を得ます。

2人の消費者と2種類の商品が存在する純粋交換経済における狭義パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\in \mathcal{A}\)においては、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{\partial u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast
}\right) }{\partial x_{A}^{\left( X\right) }}-\lambda _{1}^{\ast }=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast
}\right) }{\partial x_{A}^{\left( Y\right) }}-\lambda _{2}^{\ast }=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}^{\ast }\frac{\partial u_{B}\left(
\boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) }{\partial x_{B}^{\left( X\right) }}-\lambda _{1}^{\ast }=0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{0}^{\ast }\frac{\partial u_{B}\left(
\boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) }{\partial x_{B}^{\left( Y\right) }}-\lambda _{2}^{\ast }=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{0}^{\ast }\left[ u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) -\overline{u}_{B}\right] =0 \\
&&\left( f\right) \ \lambda _{1}^{\ast }\left[ e_{A}^{\left( X\right)
}+e_{B}^{\left( X\right) }-\left( x_{A}^{\left( X\right) }\right) ^{\ast
}-\left( x_{B}^{\left( X\right) }\right) ^{\ast }\right] =0 \\
&&\left( g\right) \ \lambda _{2}^{\ast }\left[ e_{A}^{\left( Y\right)
}+e_{B}^{\left( Y\right) }-\left( x_{A}^{\left( Y\right) }\right) ^{\ast
}-\left( x_{B}^{\left( Y\right) }\right) ^{\ast }\right] =0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda _{0}^{\ast },\lambda _{1}^{\ast},\lambda _{2}^{\ast }\geq 0\)が存在することが明らかになりました。特に、\begin{equation}\forall i\in \left\{ A,B\right\} ,\ \forall n\in \left\{ X,Y\right\} :\frac{\partial u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\right) }{\partial
x_{i}^{\left( n\right) }}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}の場合には、\(\left( a\right) ,\left(b\right) ,\left( c\right) ,\left( d\right) \)より\(\lambda_{0}^{\ast },\lambda _{1}^{\ast },\lambda _{2}^{\ast }>0\)となります。すると\(\left( e\right),\left( f\right) ,\left( g\right) \)より、\begin{eqnarray*}u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) -\overline{u}_{B} &=&0 \\
\left( x_{A}^{\left( X\right) }\right) ^{\ast }+\left( x_{B}^{\left(
X\right) }\right) ^{\ast } &=&e_{A}^{\left( X\right) }+e_{B}^{\left(
X\right) } \\
\left( x_{A}^{\left( Y\right) }\right) ^{\ast }+\left( x_{B}^{\left(
Y\right) }\right) &=&e_{A}^{\left( Y\right) }+e_{B}^{\left( Y\right) }
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、狭義パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)において需給は均衡します。さらに\(\left( a\right) ,\left(c\right) \)より、\begin{equation*}\frac{\partial u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right) }{\partial
x_{A}^{\left( X\right) }}=\lambda _{0}^{\ast }\frac{\partial u_{B}\left(
\boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) }{\partial x_{B}^{\left( X\right) }}
\end{equation*}を得て、\(\left( b\right) ,\left( d\right) \)より、\begin{equation*}\frac{\partial u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right) }{\partial
x_{A}^{\left( Y\right) }}=\lambda _{0}^{\ast }\frac{\partial u_{B}\left(
\boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) }{\partial x_{B}^{\left( Y\right) }}
\end{equation*}を得ますが、これらと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right) }{\partial x_{A}^{\left( X\right) }}}{\frac{\partial u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right) }{\partial x_{A}^{\left( Y\right) }}}=\frac{\frac{\partial u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) }{\partial
x_{B}^{\left( X\right) }}}{\frac{\partial u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) }{\partial x_{B}^{\left( Y\right) }}}
\end{equation*}を得ます。限界代替率の定義より、\begin{equation*}
MRS_{A}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right)
=MRS_{B}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right)
\end{equation*}となります。ただし、\(MRS_{A}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right) \)は狭義パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)のもとで消費者\(A\)が直面する消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\)における商品\(X\)の商品\(Y\)で測った限界代替率である一方で、\(MRS_{B}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) \)は狭義パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)のもとで消費者\(B\)が直面する消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\)における商品\(X\)の商品\(Y\)で測った限界代替率です。つまり、狭義パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)において、2人の消費者の限界代替率は一致します。

以上の結果をエッジワース・ボックスを用いて表現することもできます。具体的には以下の通りです。

上図中の点\(P\)において2人の無差別曲線は接します。無差別曲線の傾きの大きさは限界代替率と一致するため、点\(P\)において2人の消費者の限界代替率は一致します。したがって、先の命題より、点\(P\)は狭義パレート効率的な配分です。

上図中の点\(P\)において2人の無差別曲線は交差しますが、この点\(P\)は狭義パレート効率的な配分ではないことを示します。そこで、レンズ状のグレーの領域上に存在する点\(Q\)を任意に選びます。

点\(P\)を通過する消費者\(A\)の無差別曲線\(I_{A}\)を右上へ平行移動することにより、点\(Q\)を通過する消費者\(A\)の無差別曲線\(I_{A}^{\prime }\)が得られるものとします。消費者\(A\)については、右上に位置する無差別曲線はより高い効用水準に対応するため、\(I_{A}\)から\(I_{A}^{\prime }\)へ移行することにより消費者\(A\)の効用は増加します。

点\(P\)を通過する消費者\(B\)の無差別曲線\(I\)を左下へ平行移動することにより、点\(Q\)を通過する消費者\(A\)の無差別曲線\(I_{B}^{\prime }\)が得られるものとします。消費者\(B\)については、左下に位置する無差別曲線はより高い効用水準に対応するため、\(I_{B}\)から\(I_{B}^{\prime }\)へ移行することにより消費者\(B\)の効用は増加します。

以上の議論により、点\(Q\)は点\(P\)を広義パレート支配することが明らかになりました。したがって点\(P\)は狭義パレート効率的な配分ではありません。レンズ状のグレーの領域上に存在する任意の点について同様の議論が成り立ちます。

演習問題