純粋交換経済における厚生経済学の基本定理

厚生経済学の基本定理の問題設定

有限\(I\)人の消費者と有限\(N\)種類の商品が存在する純粋交換経済\begin{equation*}\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\mathcal{I}=\left\{ 1,\cdots ,I\right\}
\end{equation*}は経済に存在する消費者の一覧であり、\begin{equation*}
\mathcal{N}=\left\{ 1,\cdots ,N\right\}
\end{equation*}は経済に存在する商品の種類の一覧であり、\begin{equation*}
\succsim _{i}\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費ベクトルどうしを比較する消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係であり、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left( e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は消費者\(i\)による初期保有量です。ただし、このベクトルの第\(n\)成分\(e_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)が初期時点において保有する商品\(n\)の数量を表す非負の実数です。このとき、経済全体の初期保有量は、\begin{equation*}\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}=\left( \sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,\sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と特定されます。消費者\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)を表現する効用関数が存在する場合には、それを、\begin{equation*}u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。

消費者\(i\in \mathcal{I}\)が直面する消費ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{i}=\left( x_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記します。ただし、このベクトルの第\(n\)成分\(x_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)による商品\(n\)の消費量を表す非負の実数です。配分はすべての消費者が直面する消費ベクトルからなる組\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}} &=&\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) _{i\in
\mathcal{I}} \\
&=&\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{I}\right) \\
&=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{1}^{\left( N\right) },\cdots
,x_{I}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{I}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{N\times I}
\end{eqnarray*}として定義されます。実行可能な配分からなる集合は、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\ |\ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}\leq
\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}\right\}
\end{equation*}であり、実行可能かつ市場の需給が均衡するような配分からなる集合は、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\ |\ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}=\sum_{i\in
\mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}\right\}
\end{equation*}です。

純粋交換経済において個々の消費者は自身の選好にもとづいて商品を交換した上で、得た商品を消費します。つまり、個々の消費者は自己の利益の最大化という行動原理にもとづいて意思決定を行います。そのような状況において価格メカニズムを導入した場合、経済全体において実現する結果をワルラス均衡と呼ばれる概念として定式化しました。具体的には以下の通りです。

純粋交換経済における配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\in \mathcal{A}\)と価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたとき、これが以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\wedge \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\leq
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \mathcal{I},\ \forall \boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}_{i}\leq \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{e}_{i}\Rightarrow \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i}\right) \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}^{\ast
}=\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}
\end{eqnarray*}をすべて満たす場合には、このような配分と価格ベクトルからなる組\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast },\boldsymbol{p}\right) \in
\mathcal{A}\times \mathbb{R} _{++}^{N}
\end{equation*}をワルラス均衡と呼びます。条件\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)より、ワルラス均衡においてすべての消費者は選好最大化を実現しています。条件\(\left( c\right) \)より、ワルラス均衡を構成する配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)は実行可能であるとともに、そこではすべての商品の需要と供給が均衡しています。つまり、ワルラス均衡とは、すべての消費者が選好最大化を実現するとともに、すべての商品の需要と供給が均衡しているような配分と価格ベクトルの組み合わせに相当します。

その一方で、個人の思惑とは別に、社会的に望ましい配分というものをパレート効率性という概念を用いて定式化しました。具体的には以下の通りです。

実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathcal{A}\)が狭義パレート効率的であることとは、\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)を広義パレート支配する実行可能な配分が存在しないこと、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succ _{i}\boldsymbol{x}_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\in \mathcal{A}\)が存在しないことを意味します。狭義パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)を出発点に、ある消費者\(j\)の満足度を高める形で別の実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)へ移行しようとすると、少なくとも1人の消費者\(i\)の満足度が低くなってしまいます。狭義パレート効率的な結果が与えられたとき、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義パレート効率的な配分は社会的に目指すべき目標になり得ます。

繰り返しになりますが、ワルラス均衡はそれぞれの消費者が自己の利益を追求する帰結として経済全体で実現する結果である一方で、パレート効率的な配分は、個人の思惑とは別に、効率性という指標にもとづいて定義された社会的に望ましい配分です。では、両者の間には何らかの関係が成立するのでしょうか。この問いに答えるのが厚生経済学の基本定理です。

厚生経済学の第1基本定理は、ワルラス均衡\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast },\boldsymbol{p}\right) \)を構成する配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)はパレート効率的であるという命題です。つまり、個々の消費者が自己の利益の最大化という行動原理にもとづいて意思決定を行うことを前提とした場合においても、そこに市場価格メカニズムを導入すれば、実現する結果は社会的にも望ましいものになるということです。

厚生経済学の第2基本定理は、パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)を任意に選んだとき、それに対して、初期保有量を適切な形で再配分すれば、\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast },\boldsymbol{p}\right) \)がワルラス均衡になるような価格体系\(\boldsymbol{p}\)が存在するという命題です。つまり、社会的に望ましい配分を目標として設定した場合、資源の再配分と市場価格メカニズムを活用すればその目標を必ず実現できるということです。

以降では、厚生経済学の第1基本定理と第2基本定理を定式化した上で証明します。

厚生経済学の第1基本定理

純粋交換経済\begin{equation*}
\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、以下の2つの条件が成り立つ状況を想定します。

1つ目の条件は、任意の消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が選好順序であるということです。つまり、\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:(\boldsymbol{x}\succsim _{i}\boldsymbol{y}\vee \boldsymbol{y}\succsim _{i}\boldsymbol{x}) \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ (\boldsymbol{x}\succsim _{i}\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\succsim _{i}\boldsymbol{z})\Rightarrow \boldsymbol{x}\succsim _{i}\boldsymbol{z}\right] \end{eqnarray*}をともに満たすものとします。

2つ目の条件は、任意の消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が局所非飽和性の仮定を満たすということです。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) :\boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つものとします。ただし、\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は点\(\boldsymbol{x}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍であり、点\(\boldsymbol{x}\)からの距離が\(\varepsilon \)より小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{N}\)上の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ \sqrt{\sum_{n=1}^{N}\left( z_{n}-x_{n}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{equation*}として定義されます。

以上の条件が満たされる場合、ワルラス均衡\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast },\boldsymbol{p}\right) \)を構成する配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\)はパレート効率的であることが保証されます。これを厚生経済学の第1基本定理（first fundamental theorem of welfare economics）と呼びます。

厚生経済学の第2基本定理

純粋交換経済\begin{equation*}
\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、以下の4つの条件が成り立つ状況を想定します。

1つ目の条件は、任意の消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が選好順序であるということです。つまり、\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:(\boldsymbol{x}\succsim _{i}\boldsymbol{y}\vee \boldsymbol{y}\succsim _{i}\boldsymbol{x}) \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ (\boldsymbol{x}\succsim _{i}\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\succsim _{i}\boldsymbol{z})\Rightarrow \boldsymbol{x}\succsim _{i}\boldsymbol{z}\right] \end{eqnarray*}をともに満たすものとします。

2つ目の条件は、任意の消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が凸性の仮定を満たすということです。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}\)の上方位集合\begin{equation*}U\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \boldsymbol{y}\succsim _{i}\boldsymbol{x}\}
\end{equation*}が凸集合になるものとします。

3つ目の条件は、任意の消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が狭義単調性の仮定を満たすということです。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left( \boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\Rightarrow \boldsymbol{y}\succ _{i}\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。

4つ目の条件は、任意の消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が連続性の仮定を満たすということです。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}\)の狭義上方位集合と狭義下方位集合\begin{eqnarray*}U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\{\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \boldsymbol{y}\succ _{i}\boldsymbol{x}\} \\
L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\{\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \boldsymbol{x}\succ _{i}\boldsymbol{y}\}
\end{eqnarray*}がともに\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の開集合であるものとします。

以上の状況において、狭義パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast }\in \mathcal{A}\)を任意に選びます。ただし、この配分において、すべての消費者はすべての商品を正の量だけ消費しているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall i\in \mathcal{I},\ \forall n\in \mathcal{N}:\left( x_{i}^{\left(
n\right) }\right) ^{\ast }>0
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、以下の条件\begin{equation*}
\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}^{\ast }=\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}
\end{equation*}を満たす再配分\(\left\{ \boldsymbol{e}_{i}^{\ast }\right\} _{i\in \mathcal{I}}\)を適切に選んだ上で、初期配分を\(\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\)から\(\left\{ \boldsymbol{e}_{i}^{\ast }\right\} _{i\in \mathcal{I}}\)に入れ替えた純粋交換経済\begin{equation*}\mathcal{E}^{\ast }=\left( \mathcal{I},\mathcal{N},\left\{ \succsim
_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}^{\ast }\right\}
_{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}を構成すれば、この新たな純粋交換経済\(\mathcal{E}^{\ast }\)のもとでは、\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\ast },\boldsymbol{p}\right) \)がワルラス均衡になるような価格体系\(\boldsymbol{p}\)が存在することを保証できます。つまり、社会的に望ましい配分を目標として設定した場合、資源の再配分と市場価格メカニズムを活用すればその目標を必ず実現できるということです。

以上の条件が満たされる場合、厚生経済学の第2基本定理が成立します。つまり、パレート効率的な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)を任意に選んだとき、それに対して、\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{p}\right) \)がワルラス均衡になるような価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)が存在するということです。これを厚生経済学の第2基本定理（second fundamental theorem of welfare economics）と呼びます。証明では分離超平面定理を利用します。

演習問題