純粋調整ゲーム
2人のドライバーが未舗装の細い道を互いに向い合った方向に走行中である状況を想定します。数分後に2台の車は同じ地点へ到達します。それぞれのプレイヤーは自分から見て右側を走るか左側を走るかのどちらか一方を選択します。2人が同じ選択肢を選べば2台の車はすれ違うことができますが、2人が異なる選択肢を選べば2台の車は衝突してしまいます。道路は暗く、直前にハンドルを切って衝突を回避することはできません。
2人のドライバーはともに、相手の車とすれ違うことを、衝突することよりも望むものとします。いずれの場合でも、自分が右側と左側のどちらを通るかは問題ではないものとします。
このような戦略的状況を純粋調整ゲーム（pure coordination game）や対称的な調整ゲーム（symmetric coordination game）などと呼びます。
完備情報の静学ゲームとしての純粋調整ゲーム
純粋調整ゲームが想定する状況を2人のドライバーをプレイヤーとするゲームと解釈します。ドライバーどうしが事前に話し合いを行うことはできないため、拘束的な約束は成立し得ません。したがって純粋調整ゲームは非協力ゲームです。2人のドライバーは衝突の直前に意思決定を行いますが、その瞬間に相手の行動を観察してから自分の行動を決定することは困難であるため、実質的には2人は同時に意思決定を行うことになります。したがって純粋調整ゲームは静学ゲームです。さらにゲームのルールが2人にとって共有知識であることを仮定するのであれば、純粋調整ゲームを完備情報の静学ゲームとして記述することができます。
そこで、純粋調整ゲームを以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、プレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)はドライバー\(i\)を表します。また、それぞれのプレイヤー\(i\)の純粋戦略は、\begin{equation*}S_{1}=S_{2}=\left\{ R,L\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(R\)は右側を走行することを表し（RightのR）、\(L\)は左側を走行することを表します（LeftのL）。ゲームの結果は以下の行列として整理されます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & R & L \\ \hline
R & すれ違う & 衝突する \\
\hline
L & 衝突する & すれ違う \\
\hline
\end{array}$$
利得関数としては様々な可能性がありますが、典型的なものは、\begin{equation*}
a>b
\end{equation*}を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & R & L \\ \hline
R & a,a & b,b \\ \hline
L & b,b & a,a \\ \hline
\end{array}$$
として表現されます。言い換えると、プレイヤー\(1\)の利得関数\(u_{1}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}u_{1}\left( R,R\right) =u_{1}\left( L,L\right) >u_{1}\left( R,L\right)
=u_{1}\left( L,R\right)
\end{equation*}を満たし、プレイヤー\(2\)の利得関数\(u_{2}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}u_{2}\left( R,R\right) =u_{2}\left( L,L\right) >u_{2}\left( R,L\right)
=u_{2}\left( L,R\right)
\end{equation*}を満たすということです。つまり、双方のプレイヤーにとって相手と同じ戦略を選択することが望ましく（利得\(a\)を得る）、相手と違う戦略を選択することは望ましくありません（利得\(b\)を得る）。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & R & L \\ \hline
R & 1,1 & 0,0 \\ \hline
L & 0,0 & 1,1 \\ \hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & R & L \\ \hline
R & 3,3 & -3,-3 \\ \hline
L & -3,-3 & 3,3 \\ \hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & W & E \\ \hline
W & a,a & b,b \\ \hline
E & b,b & a,a \\ \hline
\end{array}$$
として表現されます。ただし、\(a>b\)です。これは純粋調整ゲームです。
純粋調整ゲームにおける純粋戦略ナッシュ均衡
純粋調整ゲームには以下のような2つの純粋戦略ナッシュ均衡が存在します。
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{1}=S_{2}=\left\{ R,L\right\}
\end{equation*}であり、利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}a>b
\end{equation*}を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、以下の利得行列
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & R & L \\ \hline
R & a,a & b,b \\ \hline
L & b,b & a,a \\ \hline
\end{array}$$
によって表現されているものとする。このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在し、それは以下の2つ\begin{equation*}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) =\left( R,R\right) ,\left(
L,L\right)
\end{equation*}である。
以上の命題より、純粋調整ゲームには2つの純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( R,R\right) ,\left( L,L\right) \)が存在することが明らかになりました。ただし、\(\left( R,R\right) \)は2人がともに自分から見て右側を走行する結果に相当し、\(\left( L,L\right) \)は2人がともに自分から見て左側を走行する結果に相当します。
純粋調整ゲームにおける支配戦略
純粋調整ゲームにはナッシュ均衡が存在することが明らかになりました。では、純粋調整ゲームの均衡の中には、支配される戦略の逐次消去による解や、支配戦略均衡などは存在するでしょうか。
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{1}=S_{2}=\left\{ R,L\right\}
\end{equation*}であり、利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}a>b
\end{equation*}を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、以下の利得行列
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & R & L \\ \hline
R & a,a & b,b \\ \hline
L & b,b & a,a \\ \hline
\end{array}$$
によって表現されているものとする。このゲーム\(G\)において、プレイヤー\(1,2\)はともに広義の支配戦略を持たない。
純粋調整ゲームにおいて、プレイヤーたちは広義の支配戦略を持たないことが明らかになりました。したがって、純粋調整ゲームには広義支配戦略均衡や、広義支配される戦略の逐次消去による解は存在しません。戦略型ゲームに狭義支配戦略均衡が存在する場合、それは広義支配戦略均衡でもあります。また、狭義支配される戦略の逐次消去による解が存在する場合、それは広義支配される戦略の逐次消去による解でもあります。以上の事実と、純粋調整ゲームには広義支配戦略均衡や、広義支配される戦略の逐次消去による解が存在することを踏まえると、純粋調整ゲームには狭義支配戦略均衡や、狭義支配される戦略の逐次消去による解は存在しないことが明らかになりました。
純粋調整ゲームの複数均衡問題
純粋調整ゲームでは「双方が\(R\)を選ぶ」ことと「双方が\(L\)を選ぶ」ことの双方が純粋戦略ナッシュ均衡であるとともに、これらはいずれも支配戦略均衡や支配戦略の逐次消去による解ではないことが明らかになりました。したがって、純粋調整ゲームでは以下の2つの点が問題になります。
1つ目は、均衡が実際にプレーされるかどうかという問題です。ナッシュ均衡が支配戦略均衡や支配される戦略の逐次消去による解である場合には、プレイヤーたちの合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることは、プレイヤーたちが実際に均衡をプレーする根拠となります。一方、純粋調整ゲームの均衡は支配戦略均衡や支配される戦略の逐次消去による解ではないため、合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることは、プレイヤーたちが何らかの均衡を実際にプレーする根拠となり得るか自明ではありません。純粋調整ゲームは「相手と同じ戦略を選ぶことが最適である」という構造になっているため、何らかの均衡が実際にプレーされることを保証するためには、プレイヤーはお互いに相手の行動を正しく予想する必要があります。この予想が成立することを保証するためには、何らかの説明体系が必要になります。
2つ目は、複数均衡の問題です。ゲームに複数のナッシュ均衡が存在する場合においても、その中の1つが広義の支配戦略均衡や広義支配される戦略の逐次消去の解である場合には、プレイヤーたちの合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることは、その特定の均衡がプレーされる根拠となるため、複数均衡問題は解決可能です。一方、純粋調整ゲームの均衡の中には広義の支配戦略均衡や広義支配される戦略の逐次消去の解が含まれないため、どの均衡がプレーされることになるかは自明ではなく、何らかの説明体系が必要になります。
純粋調整ゲームにおけるフォーカルポイント
複数均衡問題に対する1つの考え方は、フォーカルポイントであるようなナッシュ均衡が存在するのであれば、プレイヤーたちはそれを実際にプレーする、というものです。
純粋調整ゲームにおいて\(\left( R,R\right) \)と\(\left( L,L\right) \)はともに純粋戦略ナッシュ均衡であるため、これは複数均衡問題です。仮にゲームの舞台が日本であれば、車は左側通行することが法律で定められており、そのことが広く知れ渡っているため、プレイヤーたちにとって左側を走行することがフォーカルポイントとなり、その結果、\(\left(L,L\right) \)がプレーされることになります。一方、ゲームの舞台が米国であれば、車は右側通行することが定められているため、プレイヤーたちにとって右側を走行することがフォーカルポイントとなり、その結果、\(\left( R,R\right) \)がプレーされることになります。ゲームの構造は同じでも、プレイヤーの社会的背景が異なればフォーカルポイントも変わり得るということです。フォーカルポイントはゲームのルールとして記述されない要素によって決定されます。
純粋調整ゲームにおける混合戦略ナッシュ均衡
純粋調整ゲームには2つの純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( R,R\right) ,\left( L,L\right) \)が存在しますが、双方においてプレイヤーたちは等しい利得を得るため、均衡選択をめぐって2人の間に利害の対立は存在せず、どちらの均衡が実現してもよいということになります。したがって、仮にプレイヤーたちが事前に話し合うことによりどちらか一方の均衡をプレーするよう合意できるのであれば、もしくは何らかの外生的な方法を通じてどちらか一方の均衡をプレーするよう選択できるのであれば、その合意は自己拘束的であるため、プレイヤーたちは自ら進んで約束を守ることになります。
また、プレイヤーたちが事前に話し合うことができない場合でも、どちらか一方の均衡がフォーカルポイントになるような要因が存在するのであれば、プレイヤーたちはフォーカルポイントを選択することになります。
では、プレイヤーたちが事前に話し合うことができない場合、もしくはフォーカルポイントが存在しない場合、プレイヤーたちはどうすればよいのでしょうか。そのような場合、プレイヤーたちは期待利得を最大化するような混合戦略を選択せざるを得ません。
混合戦略ナッシュ均衡にまで範囲を広げた場合、純粋調整ゲームには先の2つの純粋戦略ナッシュ均衡とは異なる混合戦略ナッシュ均衡が存在します。
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{1}=S_{2}=\left\{ R,L\right\}
\end{equation*}であり、利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}a>b
\end{equation*}を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、以下の利得行列
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & R & L \\ \hline
R & a,a & b,b \\ \hline
L & b,b & a,a \\ \hline
\end{array}$$
によって表現されているものとする。2人の混合戦略を、\begin{eqnarray*}
\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( R\right) ,\sigma _{1}\left( L\right)
\right) =\left( \sigma _{1},1-\sigma _{1}\right) \\
\sigma _{2} &=&\left( \sigma _{2}\left( R\right) ,\sigma _{2}\left( L\right)
\right) =\left( \sigma _{2},1-\sigma _{2}\right)
\end{eqnarray*}で表記する。このゲーム\(G\)には混合戦略ナッシュ均衡が存在し、それは以下の3つ\begin{equation*}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) =\left( 1,1\right)
,\left( 0,0\right) ,\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}である。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & R & L \\ \hline
R & 1,1 & 0,0 \\ \hline
L & 0,0 & 1,1 \\ \hline
\end{array}$$
先の命題より、このゲームには純粋戦略の範囲で2つのナッシュ均衡\(\left( R,R\right) ,\left( L,L\right) \)が存在するとともに、これらとは別に、混合戦略の範囲でナッシュ均衡\begin{equation*}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が存在します。つまり、「2人がともに\(R\)を選ぶ」と「2人がともに\(L\)を選ぶ」に加えて、「2人がともに確率\(\frac{1}{2}\)で\(R\)を選ぶ」ことがナッシュ均衡です。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & R & L \\ \hline
R & 3,3 & -3,-3 \\ \hline
L & -3,-3 & 3,3 \\ \hline
\end{array}$$
先の命題より、このゲームには純粋戦略の範囲で2つのナッシュ均衡\(\left( R,R\right) ,\left( L,L\right) \)が存在するとともに、これらとは別に、混合戦略の範囲でナッシュ均衡\begin{equation*}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が存在します。つまり、「2人がともに\(R\)を選ぶ」と「2人がともに\(L\)を選ぶ」に加えて、「2人がともに確率\(\frac{1}{2}\)で\(R\)を選ぶ」ことがナッシュ均衡です。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】