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ゲーム理論におけるゲームの例

ホテリングの立地モデル(空間競争と価格競争の動学モデル)

目次

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空間競争と価格競争をともに行う場合のホテリングモデル

消費者が一様に分布している直線状の市場において同一の商品を販売する2つの企業間の商業立地を通じた競争をホテリングの立地モデルと呼ばれる完備情報の静学ゲームとして表現するとともに、そこでの純粋戦略ナッシュ均衡を求めました。結論を復習すると、商品の価格を所与とした場合の空間競争では均衡において両企業が選択する立地点が一致します。逆に、立地を所与とした場合の価格競争では均衡において両企業が選択する価格が一致します。では、同様の市場において、2つの企業が空間競争と価格競争を同時に行う場合には何が起こるでしょうか。そのような場合にも均衡は存在するのでしょうか。また、均衡が存在する場合、それはどのような性質を備えているのでしょうか。

直線状の市場のいたるところに消費者が等しい密度で分布しているものと仮定し、それを有界閉区間\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}上の連続一様分布にしたがう確率変数\(X\)を用いて表現します。つまり、\(X\)の確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるということです。例えば、市場内の地点\(t\in \left[ 0,1\right] \)を任意に選んだとき、区間\(\left[ 0,t\right] \)上に分布する消費者が全体に占める割合は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{t}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{t}1dx\quad \because t\in \left[
0,1\right] \\
&=&\left[ x\right] _{0}^{t} \\
&=&t-0 \\
&=&t
\end{eqnarray*}となります。特に、\(t=1\)の場合には、\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx=1
\end{equation*}となります。

2つの企業がこの市場に1店ずつ出店し、同一の商品を販売しようとしています。それぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)は自身の店舗の立地点\begin{equation*}x_{i}\in \left[ 0,1\right] \end{equation*}を自由に選択できるものとします。ただし、\begin{equation*}
x_{1}\leq x_{2}
\end{equation*}としても一般性は失われません。企業\(1\)が地点\(x_{1}\)に立地する店を\(1\)と呼び、企業\(2\)が地点\(x_{2}\)に立地する店を\(2\)と呼ぶこととします。なお、各企業は競争相手が開く店の立地点を観察できない状態で自身の店の立地点を決定しなければならない状況を想定します。加えて、それぞれの企業\(i\)は商品の販売価格\begin{equation*}p_{i}>0
\end{equation*}を自由に選択できるものとします。ただし、各企業は競争相手が設定する価格を観察できない状態で自身の価格を決定しなければならない状況を想定します。

それぞれの消費者は高々\(1\)単位の商品を購入するものとします。つまり、店\(1\)から\(1\)単位の商品を購入するか、店\(2\)から\(1\)単位の商品を購入するか、もしくは商品を購入しないかのいずれかであるということです。消費者が商品を購入する場合、その商品を消費することにより効用\(v>0\)を得られるものとします。2つの店は同じ商品を販売しているため、消費者がどちらの店から商品を購入しても\(v\)の水準は一定です。また、消費者が店\(i\)から購入する場合には価格\(p_{i}>0\)を支払う必要があります。加えて、消費者が商品を購入するためにはどちらかの店へ移動する必要があり、それにともなう移動コストを負担する必要があるものとします。具体的には、市場内において消費者がいる地点が\(x\in \left[ 0,1\right] \)である場合、店\(i\) \(\left( =1,2\right) \)へ移動するために必要なコストが、\begin{equation*}t\cdot \left( x-x_{i}\right) ^{2}\quad \left( i=1,2\right)
\end{equation*}だけかかるものとします。ただし、\(t>0\)は定数です。以上を踏まえた上で、地点\(x\)にいる消費者が店\(i\)から商品を購入した場合に得る利得を、\begin{equation*}v-p_{i}-t\cdot \left( x-x_{i}\right) ^{2}\quad \left( i=1,2\right)
\end{equation*}と定義します。つまり、商品を消費することで得られる利得から、商品の価格と移動コストを差し引くことで得られる値が消費者の利得です。一方、商品を購入しない場合に消費者が得る利得を\(0\)と定めます。消費者は自身が得る利得を最大化するものと仮定します。

すべての消費者が商品を\(1\)単位ずつ購入することを保証するためにはどのような条件が満たされていればよいでしょうか。立地面で最も極端な状況は、ある消費者と2つの店の距離がともに\(1\)であるようなケースです。この消費者が店\(i\)から商品を購入することで得られる利得は、\begin{eqnarray*}v-p_{i}-t\cdot \left( x-x_{i}\right) ^{2} &=&v-p_{i}-t\cdot 1\quad \because
\left\vert x-x_{i}\right\vert =1 \\
&=&v-p_{i}-t
\end{eqnarray*}であるため、この消費者が商品を購入することを保証するためには以下の条件\begin{eqnarray*}
v-p_{1}-t &\geq &0 \\
v-p_{2}-t &\geq &0
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
v\geq \min \left\{ p_{1},p_{2}\right\} +t
\end{equation*}が満たされている必要があります。言い換えると、以上の条件が満たされる場合、すべての消費者が商品を\(1\)単位ずつ購入することが保証されるということです。そこで、以上の条件が成り立つ場合、市場はカバーされている(market is covered)と言います。例えば、任意の消費者について\(v\)の水準が十分大きい場合には市場はカバーされます。

市場がカバーされている場合、それぞれの消費者は2つの店を比較して、どちらか一方から商品を購入します。具体的には、\begin{equation*}
v-p_{1}-t\cdot \left( x-x_{1}\right) ^{2}>v-p_{2}-t\cdot \left(
x-x_{2}\right) ^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
p_{1}+t\cdot \left( x-x_{1}\right) ^{2}<p_{2}+t\cdot \left( x-x_{2}\right)
^{2}
\end{equation*}が成り立つ場合には店\(1\)で商品を購入し、逆に、\begin{equation*}p_{1}+t\cdot \left( x-x_{1}\right) ^{2}>p_{2}+t\cdot \left( x-x_{2}\right)
^{2}
\end{equation*}が成り立つ場合には店\(2\)で商品を購入します。また、\begin{equation*}p_{1}+t\cdot \left( x-x_{1}\right) ^{2}=p_{2}+t\cdot \left( x-x_{2}\right)
^{2}
\end{equation*}が成り立つ場合には等しい確率でどちらか一方の店から商品を購入します。この等式を\(x\)について解くと、どちらの店で購入しても構わない消費者の位置\begin{equation*}\hat{x}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left( x_{2}-x_{1}\right)
}\quad \left( x_{1}<x_{2}\right)
\end{equation*}が得られます(確認してください)。

市場がカバーされている場合、企業\(1,2\)がそれぞれ立地点\(x_{1},x_{2}\in \left[ 0,1\right] \)および価格\(p_{1},p_{2}\in \mathbb{R} _{++}\)を選択すると、それぞれの企業が得る消費者のシェアはどのように決定されるでしょうか。\(x_{1}\leq x_{2}\)を想定しているため、\(x_{1}=x_{2}\)の場合と\(x_{1}<x_{2}\)の場合のそれぞれについて考えます。

\(x_{1}=x_{2}\)の場合には、\begin{equation*}t\cdot \left( x-x_{1}\right) ^{2}=t\cdot \left( x-x_{2}\right) ^{2}
\end{equation*}となり、両店舗への移動コストは等しくなります。したがってこの場合、すべての消費者はより低い価格を提示した企業から商品を購入します。つまり、\(p_{1}<p_{2}\)ならば企業\(1\)のシェアは\(1\)であり、企業\(2\)のシェアは\(0\)です。\(p_{1}=p_{2}\)の場合、いずれの消費者にとっても2つの店は同じ程度望ましいため、消費者は等しい確率でどちらか一方の店で商品を購入します。したがって、この場合の企業\(1\)のシェアは\(\frac{1}{2}\)であり、企業\(2\)のシェアも\(\frac{1}{2}\)です。\(p_{1}>p_{2}\)の場合、先と同様に考えることにより、この場合の企業\(1\)のシェアは\(0\)であり、企業\(2\)のシェアは\(1\)となります。

\(x_{1}<x_{2}\)の場合には、先の議論より、地点\begin{equation*}\hat{x}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left( x_{2}-x_{1}\right)
}
\end{equation*}に位置する消費者にとって2つの店は無差別であるため、\(\hat{x}\)より左側に分布する消費者はいずれも店\(1\)で商品を購入する一方で、\(\hat{x}\)より右側に分布する消費者はいずれも店\(2\)で商品を購入するため、連続一様分布の仮定より、この場合の企業\(1\)のシェアは、\begin{equation*}\hat{x}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left( x_{2}-x_{1}\right)
}
\end{equation*}であり、企業\(2\)のシェアは、\begin{equation*}1-\hat{x}=1-\left[ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left(
x_{2}-x_{1}\right) }\right] \end{equation*}となります。

消費者が商品を高々\(1\)単位ずつ購入する状況を想定しているため、消費者の総数は商品への潜在的な総需要と等しくなります。加えて、消費者の総数を\(1\)と表現するのであれば、企業が得る消費者のシェアと需要を同一視しても一般性は失われません。以上を踏まえた上で、両企業が提示する立地点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)および価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)に対して、そのときにそれぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が得る需要\(d_{i}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \)を特定する関数を、\begin{equation*}d_{i}:\left[ 0,1\right] ^{2}\times \mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}と表記するのであれば、市場がカバーされている場合、これがそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] ^{2}\times \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}x_{1}=x_{2}
\end{equation*}の場合には、\begin{eqnarray*}
d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
1 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}であり、\begin{equation*}
x_{1}<x_{2}
\end{equation*}の場合には、\begin{eqnarray*}
d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) &=&\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left( x_{2}-x_{1}\right) } \\
d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) &=&1-\left[ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left( x_{2}-x_{1}\right) }\right] \end{eqnarray*}となります。

特筆すべきは、それぞれの企業\(i\)が得る需要\(d_{i}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \)は2つの企業の立地点\(x_{1},x_{2}\)および価格\(p_{1},p_{2}\)を変数として持っているということです。つまり、企業\(1\)は自身が選ぶ立地点\(x_{1}\)と価格\(p_{1}\)を変化させることを通じて自身が得る需要を変化させることができますが、同時に、競争相手である企業\(2\)が選ぶ立地点\(x_{2}\)と価格\(p_{2}\)もまた自身が得る需要に影響を与えます。企業\(2\)の立場からも同様のことが言えます。つまり、それぞれの企業にとって、自身が得る需要は自身の行動だけでなく相手の行動によっても左右されるという意味において、プレイヤーである両企業の間には戦略的相互依存関係が成立しています。このような事情もあり、この市場はゲーム理論の分析対象となります。

続いて、この市場において商品を供給する2つの企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身のそれぞれの生産量\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}という費用を定めるものとします。ただし、\(c\)は正の定数です。つまり、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\)だけ市場に供給する場合、費用が\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)だけかかるということです。企業\(i\)が商品を生産しない場合の費用は\(c_{i}\left( 0\right) =0\)ですが、これは企業の固定費用が\(0\)であることを意味します。また、任意の\(q_{i}\geq 0\)において、\begin{equation*}\frac{dc_{i}\left( q_{i}\right) }{dq_{i}}=c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、企業は生産量に依存しない共通の限界費用\(c>0\)を持つということです。これをテクニカルに表現すると、両企業はともに規模に関して収穫一定の技術を持つということです。

以上の状況において、それぞれの企業\(i\)は自身の利潤を最大化するように立地点\(x_{i}\)と価格\(p_{i}\)を選択するものとします。ただし、両企業はカルテルを結ぶことはできず、立地点や価格に関する拘束的合意が成立しないものとします。企業\(1,2\)がそれぞれ立地点\(x_{1},x_{2}\)および価格\(p_{1},p_{2}\)を提示すると企業\(1\)は需要\(d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \)を獲得するため、そこから収入\(p_{1}\cdot d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \)を得ます。その一方で、商品を\(d_{1}\left(x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left( d_{1}\left(x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \right) \)であるため、立地点と価格の組\(\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{eqnarray*}p_{1}\cdot d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) -c_{1}\left(
d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \right) &=&p_{1}\cdot d_{1}\left(
x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) -c\cdot d_{1}\left(
x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \quad \because c_{1}\text{の定義} \\
&=&\left( p_{1}-c\right) \cdot d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。同様に、立地点と価格の組\(\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \)のもとで企業\(2\)が得る利潤は、\begin{eqnarray*}p_{2}\cdot d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) -c_{2}\left(
d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \right) &=&p_{2}\cdot d_{2}\left(
x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) -c\cdot d_{2}\left(
x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) \quad \because c_{2}\text{の定義} \\
&=&\left( p_{2}-c\right) \cdot d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。

企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)による立地点\(x_{2}\)および価格\(p_{2}\)を操作できないため、\(x_{2}\)および\(p_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような立地点\(x_{1}\)と価格\(p_{1}\)を選択します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(\left( x_{2},p_{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}\max_{\left( x_{1},p_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \mathbb{R} _{++}}\left( p_{1}-c\right) \cdot d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right)
\end{equation*}となります。同様に考えると、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(\left( x_{1},p_{1}\right) \)に対して、\begin{equation*}\max_{\left( x_{2},p_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \mathbb{R} _{++}}\left( p_{2}-c\right) \cdot d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right)
\end{equation*}となります。このような状況において各企業はどのような意思決定を行うでしょうか。

 

完備情報の動学ゲームとしてのホテリングモデル

空間競争と価格競争がともに行われる状況を想定したホテリングモデルを2つの企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。2つの企業の間には立地点および価格に関する拘束的合意が成立しない状況を想定しているため、ホテリングモデルは非協力ゲームです。また、企業にとって立地点よりも価格のほうが動かしやすいため、各企業が立地点を決めた後に価格競争を行う状況を想定します。つまり、ホテリングゲームは動学ゲームであり、それぞれの企業は以下の順番で意思決定を行います。

  1. それぞれの企業\(i\ \left(=1,2\right) \)は自身の立地点\(x_{i}\in \left[ 0,1\right] \)を選択する。ただし、自身の立地点\(x_{i}\)を決める段階ではライバルの立地点\(x_{j}\ \left( j\not=i\right) \)を観察できない。
  2. それぞれの企業\(i\)は両者の立地点\(x_{1},x_{2}\)を観察した上で価格\(p_{i}>0\)を選択する。ただし、自身の価格\(p_{i}\)を決める段階ではライバルの価格\(p_{j}\ \left( j\not=i\right) \)を観察できない。
  3. それぞれの企業が選択した立地点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)および価格\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)をもとにそれぞれの企業\(i\)が得る需要\(d_{i}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) \)が決定し、さらにそこから利潤\(\left( p_{i}-c\right) \cdot d_{i}\left(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) \)が決定する。

さらに、消費者の分布と行動原理、両企業の費用関数、さらに両企業の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールの要素が両企業にとって共有知識であれば、ホテリングの価格競争モデルは完備情報ゲームとして記述されます。

そこで、ホテリングモデルを以下のような展開型ゲーム\(\Gamma \)としてモデル化します。まず、ゲーム\(\Gamma \)のプレイヤー集合は\(I=\left\{1,2\right\} \)です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。ゲーム\(\Gamma \)のその他の要素は以下のゲームの木によって表現されます。

図:ホテリングモデル
図:ホテリングモデル

ただし、点線上に存在する手番は同一の情報集合に属し、実線上に存在する手番はそれぞれが単独で情報集合を構成します。また、利潤関数\(u_{i}:\left[ 0,1\right]^{2} \times \mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) \in \left[ 0,1\right]^{2} \times \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u_{i}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) =\left( p_{i}-c\right) \cdot
d_{i}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(d_{i}:\left[ 0,1\right] ^{2}\times \mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)は企業\(i\)が得る需要を特定する関数であり、市場がカバーされている場合、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して定める値は、\(x_{1}=x_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
1 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}であり、\(x_{1}<x_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) &=&\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left( x_{2}-x_{1}\right) } \\
d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) &=&1-\left[ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left( x_{2}-x_{1}\right) }\right] \end{eqnarray*}となります。ただし、\(c>0\)かつ\(t>0\)です。

 

市場がカバーされている場合の部分ゲーム完全均衡

空間競争と価格競争がともに行われる状況を想定したホテリングモデルにおけるプレイヤー\(1\)の純粋戦略を特定するためには以下の2つの情報を指定する必要があります。1つ目は、ゲームの初期点から構成される情報集合においてプレイヤー\(1\)が選択する立地点であり、これは\(x_{1}\in \left[ 0,1\right] \)の値として表現されます。2つ目は、プレイヤー\(2\)が\(x_{2}\)を選択した直後に到達するそれぞれの情報集合においてプレイヤー\(1\)が選択する価格です。ただし、プレイヤー\(1\)は相手が選択した\(x_{2}\)の値を観察できないため、プレイヤー\(2\)が\(x_{2}\)を選択する情報集合へ到達するためのそれぞれの行動の組\(\left(x_{1,}x_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] ^{2}\)に対して、その行動のもとで到達した情報集合においてプレイヤー\(2\)が\(x_{2}\)を選択した直後に自身が選択する価格\(p_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}\)を特定する写像\begin{equation*}p_{1}:\left[ 0,1\right] ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}を指定することになります。プレイヤー\(1\)の純粋戦略は以上のような値\(x_{1}\)と写像\(p_{1}\)の組として表現されます。

プレイヤー\(2\)の純粋戦略を特定するためには以下の2つの情報を指定する必要があります。1つ目は、プレイヤー\(1\)が\(x_{1}\)を選択した直後に到達する情報集合においてプレイヤー\(2\)が選択する立地点です。ただし、プレイヤー\(2\)は相手が選択した\(x_{1}\)の値を選択できないため、プレイヤー\(1\)が\(x_{1}\)を選択した直後に自身が選択する立地点\(x_{2}\in \left[ 0,1\right] \)を指定することになります。2つ目は、プレイヤー\(1\)が\(p_{1}\)を選択した直後に到達するそれぞれの情報集合においてプレイヤー\(2\)が選択する価格です。ただし、プレイヤー\(2\)は相手が選択した\(p_{1}\)の値を観察できないため、プレイヤー\(1\)が\(p_{1}\)を選択する情報集合へ到達するためのそれぞれの行動の組\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] ^{2}\)に対して、その行動のもとで到達した情報集合においてプレイヤー\(1\)が\(p_{1}\)を選択した直後に自身が選択する価格\(p_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}\)を特定する写像\begin{equation*}p_{2}:\left[ 0,1\right] ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}を指定することになります。プレイヤー\(1\)の純粋戦略は以上のような値\(x_{2}\)と写像\(p_{2}\)の組として表現されます。

空間競争と価格競争がともに行われる状況を想定したホテリングモデルにおいて市場がカバーされている場合、以下のような純粋戦略部分ゲーム完全均衡が存在します。

命題(ホテリングモデルの純粋戦略部分ゲーム完全均衡)
以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)が与えられているものとする。

図:ホテリングモデル
図:ホテリングモデル

ただし、\(x_{1},x_{2}\in \left[ 0,1\right] \)かつ\(p_{1},p_{2}\in \mathbb{R} _{++}\)である。また、それぞれのプレイヤー\(i\ \left( =1,2\right) \)の利潤関数\(u_{i}:\left[ 0,1\right]^{2} \times \mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) \in \left[ 0,1\right]^{2} \times \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u_{i}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) =\left( p_{i}-c\right) \cdot
d_{i}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right)
\end{equation*}を定める。ただし、関数\(d_{i}:\left[ 0,1\right] ^{2}\times \mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) \in \left[ 0,1\right]^{2} \times \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して定める値は、\(x_{1}=x_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
1 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}であり、\(x_{1}<x_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( x_{1},x_{2},p_{1}p_{2}\right) &=&\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left( x_{2}-x_{1}\right) } \\
d_{2}\left( x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}\right) &=&1-\left[ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2t\left( x_{2}-x_{1}\right) }\right] \end{eqnarray*}である。また、\(c>0\)かつ\(t>0\)である。このゲーム\(\Gamma \)には純粋戦略部分ゲーム完全均衡が1つだけ存在し、それは、「\(x_{1}=0\)を選択するとともに、プレイヤーたちが\(x_{1}=x_{2}\)を満たす\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)を選択した直後に到達し得る任意の情報集合において\(p_{1}=c\)を選択し、プレイヤーたちが\(x_{1}<x_{2}\)を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を選択した直後に到達し得る任意の情報集合において\(p_{1}=\frac{2t}{3}\left( x_{2}-x_{1}\right) \left( 1+\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) +c\)を選択する」というプレイヤー\(1\)の純粋戦略と、「\(x_{2}=1\)を選択するととも