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ゲーム理論におけるゲームの例

ボランティアのジレンマ(公共財の供給と傍観者効果)

目次

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公共財

通常、同一の商品ないしサービスを複数の人が同時に消費することはできません。誰かが消費すると他者の消費分が減ってしまう場合、そのような商品やサービスの消費には競合性(rivalness)があると言います。逆に、ある人が消費しても他者の消費分が減少しない場合、そのような商品やサービスの消費には非競合性(non-rivalness)があると言います。

例(競合性)
ある人が電気屋で1台のテレビを購入すると、別の人はその個体を購入できなくなるため、テレビの消費には競合性があります。一方、誰かが家でテレビを見ても、別の家に住む人がテレビを見られなくなるわけではないため、テレビ放送サービスの消費には競合性がありません。

通常、商品やサービスを消費するためには金銭などの対価を支払う必要があります。消費するためには対価を支払う必要がある場合、そのような商品やサービスの消費には排除可能性(excludability)があると言います。逆に、対価を支払わずとも消費することが可能である場合、そのような商品やサービスの消費には排除不可能性(non-excludability)があると言います。

例(排除可能性)
店で販売されているミネラルウォーターのボトルを入手するためには金銭を支払う必要があります。また、水道サービスを利用するためには料金を支払う必要があります。したがって、ミネラルウォーターや水道サービスの消費には排除可能性があります。一方、多くの場合、小川に流れている水は対価を支払わず自由に使うことができるため、自然の状態にある水資源の消費には排除不可能性があります。

消費に非競合性と排除不可能性のある商品やサービスを公共財(public goods)と呼びます。つまり、公共財とは、ある人が消費しても他者の消費分が減少せず、なおかつ、対価を支払わずとも消費することが可能であるような商品やサービスです。

 

ボランティアのジレンマ

ある集団が1つの公共財を必要としています。ただ、その公共財は大がかりなものではなく、集団に属する誰か1人がコスト\(K>0 \)を負担するだけで、その公共財を集団全体に供給できるものとします。公共財の消費には非競合性と排除不可能性があるため、誰かがコストを負担して公共財を供給すれば、そこから全員が\(U>0\)ずつ便益を得られます。複数の人がコストを負担しても公共財の供給量は増加せず、したがって、公共財から各々が得られる便益は\(U\)で一定です。加えて、\(U>K\)という関係が成り立つものとします。つまり、コストを負担した人にとっても、公共財から自身が得る便益が、自身が負担するコストを上回るということです。誰もコストを負担しない場合には公共財が供給されないため、その場合に各々が得る便益を\(0\)と定めます。

これは1985年にドイツの社会学者アンドレアス・ディークマン(Andreas Diekmann)が発表したボランティアのジレンマ(volunteer’s dilemma)と呼ばれる問題です。この問題において、あえてコストを負担して集団全体に公共財を供給する人をボランティアと位置づけることができます。

例(緊急通報)
道端に人が倒れており、周辺に\(n\)人の目撃者がいます。目撃者の中の少なくとも1人がわずかなコスト\(K>0\)を負担して通報すればその人は助かります。その人が助かれば全員が安心して\(U>0\)の利得を得ます。\(U>K\)です。誰か1人が手を差し伸べれば済む状況ですが、仮に目撃者が1人も行動しなければその人は助からず、その結果、全員が後悔して利得\(0\)を得ます。
例(カンニングの通報)
試験中にある学生がカンニングしており、周りで同じ試験を受けている学生の中の\(n\)人がその不正に気づきました。目撃者の中の少なくとも1人が試験官に報告すれば不公平な状況は解消され、全員が\(U>0\)の利得を得ます。ただし、心理的な負担やその後の人間関係への影響を考慮すると、報告には\(K>0\)のコストがかかります。\(U>K\)です。誰か1人が報告すれば済む状況ですが、仮に誰も報告しなければカンニングは放置され、その結果、すべての目撃者は不満に思い利得\(0\)を得ます。
例(天敵の監視)
小動物の群れが食料を漁っている餌場に天敵の肉食動物が近づいてきました。群れの中の\(n\)匹が天敵の存在に気づいています。\(n\)匹の中の少なくとも\(1\)匹が叫んで警告すれば群れ全体が助かり、各々が\(U>0\)の利得を得ます。ただし、叫んだ個体は目立ってしまうため、天敵のターゲットになる可能性が高くなります。叫ぶコストを\(K>0\)とします。叫んだ場合に確実にターゲットになるわけではないため\(U>K\)とします。\(1\)匹が叫べば済む状況ですが、\(n\)匹がいずれも叫ばなければ群れは天敵に襲われ、その結果、全員が利得\(0\)を得ます。
例(骨髄移植のドナー)
造血幹細胞は骨の中心部にある骨髄という組織に存在する細胞であり、赤血球・白血球・血小板などに成長する能力を持っています。白血病やリンパ腫などの「血液のがん」が抗がん剤治療によって完治しない場合、健康な血液を作れる状態への回復を目指して造血幹細胞の移植を行うことがあります。特に、他の人から血液幹細胞を移植する場合、合併症の問題があるため患者とドナーの相性が重要です。ある患者が造血幹細胞の移植を必要としており、その患者と相性の良い\(n\)人のドナー候補者がいるものとします。誰か1人がドナーになれば患者が助かり、各々が\(U>0\)の利得を得ます。ただし、ドナーは幹細胞を採取するために入院し、痛みを伴う処置や薬剤投与を受けることが必要であるため、提供には\(K>0\)のコストがかかります。\(U>K\)です。誰か1人がドナーになれば済む状況ですが、仮に誰もドナーにならなければ患者は放置されて助からず、その結果、全員が後悔して利得\(0\)を得ます。

 

完備情報の静学ゲームとしての囚人のジレンマ

ボランティアのジレンマが想定する状況をゲーム論の意味でのゲームと解釈します。誰がコストを負担するか事前に話し合いを行うことができない状況や、話し合いの末に到達した合意に強制力がない状況を想定するのであれば、ボランティアのジレンマは非協力ゲームとなります。さらに、各々が他の人たちによる意思決定を観察できない状態で自身の意思決定を行う状況を想定するのであれば、ボランティアのジレンマは静学ゲームとなります。加えて、ゲームのルールが人々にとって共有知識であることを仮定するのであれば、ボランティアのジレンマは完備情報ゲームとして記述されます。

そこで、ボランティアのジレンマを以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、プレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)です。ただし、\(i\in I\)は問題としている集団の成員\(i\)を表します。また、プレイヤー\(i\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\{C,D\}\)です。ただし、\(C\)は自身がコストを負担して公共財を供給する協調戦略であり(CooperateのC)、\(D\)は自身はコストを負担しない裏切り戦略です(DefectのD)。問題は、それぞれのプレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)をどのように記述するかです。

それぞれのプレイヤー\(i\)が自分を除く\(n-1\)人のプレイヤーを個人として区別しないのであれば、その利得関数\(u_{i}\)を、自身が選ぶ純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)と、自身を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数\(c\ \left( =0,1,\cdots,n-1\right) \)を変数として持つ関数\(u_{i}\left( s_{i},c\right) \)として定式化できます。自身が協調戦略\(C\)を選択する場合、自分を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中の何人が協調戦略\(C\)を選ぶかに関わらず公共財は供給されるため、公共財から便益\(U>0\)を得る一方でコスト\(K>0\)を支払う必要があるため、\begin{equation*}\forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left( C,c\right) =U-K
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(U>K\)です。他方で、自身が裏切り戦略\(D\)を選択する場合、自分を除く\(n-1\)人のプレイヤー全員もまた裏切り戦略\(D\)を選ぶ場合には公共財は提供されないため、その場合に得られる便益は、\begin{equation*}u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{equation*}となります。自分を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中の少なくとも1人が協調戦略を選ぶ場合には公共財が提供されるため、自分はコストを負担することなく公共財の便益を享受できます。したがって、\begin{equation*}\forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left( D,c\right) =U
\end{equation*}が成り立ちます。以上の条件が任意のプレイヤー\(i\in I\)について成り立つものと定めます。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
S_{i}\backslash c & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ \hline
C & U-K & U-K & U-K & \cdots & U-K \\ \hline
D & 0 & U & U & \cdots & U \\ \hline
\end{array}$$

表:ボランティアのジレンマの利得関数
例(ボランティアのジレンマ)
プレイヤー集合が\(I=\left\{1,2\right\} \)である場合のボランティアのジレンマは、以下の利得行列として表現されます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & C & D \\ \hline
C & U-K,U-K & U-K,U \\ \hline
D & U,U-K & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

表:2人ボランティアのジレンマ

ただし、\(U>0\)かつ\(K>0\)かつ\(U>K\)です。

例(ボランティアのジレンマ)
プレイヤー集合が\(I=\left\{1,2,3\right\} \)である場合のボランティアのジレンマにおいて、プレイヤー\(1\)の利得関数\(u_{1}:S_{1}\times S_{2}\times S_{3}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u_{1}\left( C,C,C\right) =u_{1}\left( C,C,D\right)
=u_{1}\left( C,D,C\right) =u_{1}\left( C,D,D\right) =U-K \\
&&\left( b\right) \ u_{1}\left( D,C,C\right) =u_{1}\left( D,C,D\right)
=u_{1}\left( D,D,C\right) =U \\
&&\left( c\right) \ u_{1}\left( D,D,D\right) =0
\end{eqnarray*}を満たします。ただし、\(U>0\)かつ\(K>0\)かつ\(U>K\)です。他の2人のプレイヤーの利得関数も同様です。

以上がボランティアのジレンマの定義です。改めて整理すると、ボランティアのジレンマとは、以下の条件を満たす戦略型ゲーム\(G\)によって表現される完備情報の静学ゲームです。まず、プレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\left\{ C,D\right\} \)です。ただし、\(C\)は協調戦略であり、\(D\)は裏切り戦略です。それぞれのプレイヤー\(i\)の利得関数は、自分が選ぶ純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)と、自分以外の\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数\(c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \)を変数として持つ関数\(u_{i}:S_{i}\times \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\}
:u_{i}\left( C,c\right) =U-K \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) =U \\
&&\left( c\right) \ u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{eqnarray*}をすべて満たすものとして定義されます。ただし、\(U>0\)かつ\(K>0\)かつ\(U>K\)です。

 

ボランティアのジレンマの非対称的なナッシュ均衡

ボランティアのジレンマにおいて、それぞれのプレイヤー\(i\)は支配戦略を持ちません。実際、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) >u_{i}\left( C,c\right) \\
&&\left( b\right) \ u_{i}\left( D,0\right) <u_{i}\left( C,0\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つからです。したがって、ボランティアのジレンマには支配戦略均衡は存在せず、支配される戦略の逐次消去による解も存在しません。

ボランティアのジレンマにナッシュ均衡は存在するのでしょうか。他の全員のプレイヤーたちが協調戦略\(C\)を選択する(\(c=n-1\))ことを前提とした場合、プレイヤー\(i\)について、\begin{equation*}u_{i}\left( D,n-1\right) >u_{i}\left( C,n-1\right)
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)にとって協調戦略\(C\)は\(c=n-1\)に対する最適反応ではありません。したがって、全員が協調戦略\(C\)を選択するという純粋戦略の組はナッシュ均衡ではありません。一方、他の全員のプレイヤーたちが裏切り戦略\(D\)を選択する(\(c=0\))ことを前提とした場合、プレイヤー\(i\)について、\begin{equation*}u_{i}\left( C,0\right) >u_{i}\left( D,0\right)
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)にとって裏切り戦略\(D\)は\(c=0\)に対する最適反応ではありません。したがって、全員が裏切り戦略\(D\)を選択するという純粋戦略の組もまたナッシュ均衡ではありません。

以上の議論より、ボランティアのジレンマには対称的な純粋戦略ナッシュ均衡は存在しないことが明らかになりました。ただ、非対称的な均衡まで対象を広げた場合、誰か1人だけが協調戦略\(C\)を選択し、他の\(n-1\)人全員が裏切り戦略\(D\)を選択するという純粋戦略の組み合わせが狭義の純粋戦略ナッシュ均衡になります。

命題(ボランティアのジレンマの非対称的な純粋戦略ナッシュ均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots,n\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\left\{ C,D\right\} \)であり、利得関数\(u_{i}:S_{i}\times \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下のすべての条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\}
:u_{i}\left( C,c\right) =U-K \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) =U \\
&&\left( c\right) \ u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすものとする。ただし、\(c\)はプレイヤー\(i\)を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数である。また、\(U>0\)かつ\(K>0\)かつ\(U>K\)である。このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在し、それは1人だけが\(C\)を選び、残りの\(n-1\)人が\(D\)を選ぶような任意の純粋戦略の組である。加えて、それらはいずれも効率的である。つまり、いずれの純粋戦略ナッシュ均衡においても、全員が得る利得の和は最大化される。
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ただ、どのプレイヤーが協調戦略を選択するかに応じて\(n\)個の異なる純粋戦略ナッシュ均衡が存在するため、複数均衡の問題が発生します。つまり、協調戦略を選ぶべき1人がプレイヤーの間で周知されていない場合、純粋戦略ナッシュ均衡は実現するとは限らず、したがって効率的な結果が実現するとは限りません。

例(緊急通報)
先の通報の例において、\(n\)人の目撃者の中の誰か1人が通報することが非対称的な純粋戦略ナッシュ均衡になります。ただ、偶然その場に居合わせた\(n\)人が事前に話し合っていることはなく、したがって、その中の誰が通報すべきかは周知されていません。仮に、複数の人が通報すれば、それは1人だけが通報する場合と比べて非効率的です。誰も通報しない場合にも、もちろん非効率的です。

仮に、プレイヤーたちが事前に話し合うことができるのであれば、もしくは何らかの外生的な方法により協調戦略を選ぶべき1人を選択できるのであれば、特定の均衡をプレーするようプレイヤーたちに周知させることができるため、効率的な結果を実現できます。しかも、その合意は自己拘束的であるため(演習問題)、約束を強制する仕組みが存在しない場合においても、プレイヤーたちは自らすすんで約束を守ることになります。

例(骨髄移植のドナー)
先の骨髄移植の例において、\(n\)人のドナー候補者の中の誰か1人がドナーになることが非対称的な純粋戦略ナッシュ均衡になります。仮に\(n\)人が事前に骨髄バンクへドナー登録をしている場合、登録機関がその中から1人をドナーとして選定するため、複数均衡の問題は発生しません。

 

ボランティアのジレンマの対称的なナッシュ均衡

プレイヤーたちが事前に話し合うことができるのであれば、もしくは何らかの外生的な方法により協調戦略を選ぶべき1人を選択できるのであれば、そこで合意した純粋戦略ナッシュ均衡は自己拘束的な合意になるため、均衡が実現にプレーされます。では、プレイヤーたちが事前に話し合うことができない場合、もしくは外生的な方法が存在しない場合、プレイヤーたちはどうすればよいのでしょうか。そのような場合、プレイヤーたちは期待利得を最大化するような混合戦略を選択せざるを得ません。

混合戦略ナッシュ均衡にまで範囲を広げた場合、ボランティアのジレンマには以下のような対称的な均衡が存在します。

命題(ボランティアのジレンマの対称的な混合戦略ナッシュ均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots,n\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\left\{ C,D\right\} \)であり、利得関数\(u_{i}:S_{i}\times \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下のすべての条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\}
:u_{i}\left( C,c\right) =U-K \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) =U \\
&&\left( c\right) \ u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすものとする。ただし、\(c\)はプレイヤー\(i\)を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数である。また、\(U>0\)かつ\(K>0\)かつ\(U>K\)である。このゲーム\(G\)には対称的な混合戦略ナッシュ均衡\(\sigma_{I}^{\ast }\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が存在し、それは、任意のプレイヤー\(i\in I\)について、\begin{equation*}\sigma _{i}^{\ast }\left( C\right) =1-\left( \frac{K}{U}\right) ^{\frac{1}{n-1}}
\end{equation*}を満たす。さらに、この均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\)において少なくとも1人のプレイヤーが協調戦略\(C\)を選ぶ確率は、\begin{equation*}1-\left( \frac{K}{U}\right) ^{\frac{n}{n-1}}
\end{equation*}である。また、この均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\)において任意のプレイヤーが直面する期待利得は、\begin{equation*}U-K
\end{equation*}となる。

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非対称的な純粋戦略ナッシュ均衡とは異なり、対称的な混合戦略ナッシュ均衡は効率的ではありません。実際、純粋戦略ナッシュ均衡において協力戦略\(C\)を選択する1人のプレイヤーは利得\(U-K\)に直面し、裏切り戦略\(D\)を選択する残りのプレイヤーたちは利得\(U\)に直面する一方、混合戦略ナッシュ均衡において、任意のプレイヤーは期待利得\(U-K\)に直面するからです。プレイヤーたちが事前に話し合うことが