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ボランティアのジレンマ

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ボランティアのジレンマ

通常、同一の商品ないしサービスを複数の人が同時に消費することはできません。例えば、ある人が電気屋で1台のテレビを購入すると、別の人はその個体を購入できなくなります。誰かが消費すると他者の消費分が減ってしまう場合、そのような商品やサービスの消費には競合性(rivalness)があると言います。

世の中には競合性のない商品やサービスも存在します。例えば、誰かが家でテレビを見ても、別の家に住む人がテレビを見られなくなるわけではないため、テレビ放送サービスの消費には競合性がありません。ある人が消費しても他者の消費分が減少しない場合、そのような商品やサービスの消費には非競合性(nonrivalness)があると言います。消費に非競合性のある商品やサービスを公共財(public goods)と呼びます。

ある集団が1つの公共財を必要としています。ただ、その公共財は大がかりなものではなく、集団に属する誰か1人がコスト\(K>0\)を負担するだけで、その公共財を集団全体に供給できるものとします。先述のように公共財の消費には非競合性があるため、誰かがコストを負担して公共財を供給すれば、そこから全員が\(U>0\)ずつ便益を得られます。複数の人がコストを負担しても公共財の供給量は増加せず、したがって、公共財から各々が得られる便益は\(U\)で一定です。加えて、\(U>K\)という関係が成り立つものとします。つまり、コストを負担した人にとっても、公共財から自身が得る便益が、自身が負担するコストを上回るということです。誰もコストを負担しない場合には公共財が供給されないため、その場合に各々が得る便益を\(0\)と定めます。

これは1985年にドイツの社会学者アンドレアス・ディークマン(Andreas Diekmann)が発表したボランティアのジレンマ(volunteer’s dilemma)と呼ばれる問題です。この問題において、あえてコストを負担して集団全体に公共財を供給する人をボランティアと位置づけることができます。

例(ボランティアのジレンマ)
道端に人が倒れており、周辺に\(n\)人の目撃者がいます。目撃者の中の少なくとも1人がわずかなコスト\(K>0\)を負担して通報すればその人は助かります。その人が助かれば全員が安心して\(U>0\)の利得を得ます。\(U>K\)です。誰か1人が手を差し伸べれば済む状況ですが、仮に目撃者が1人も行動しなければその人は助からず、その結果、全員が後悔して利得\(0\)を得ます。
例(ボランティアのジレンマ)
試験中にある学生がカンニングしており、周りで同じ試験を受けている学生の中の\(n\)人がその不正に気づきました。目撃者の中の少なくとも1人が試験官に報告すれば不公平な状況は解消され、全員が\(U>0\)の利得を得ます。ただし、心理的な負担やその後の人間関係への影響を考慮すると、報告には\(K>0\)のコストがかかります。\(U>K\)です。誰か1人が報告すれば済む状況ですが、仮に誰も報告しなければカンニングは放置され、その結果、すべての目撃者は不満に思い利得\(0\)を得ます。

 

完備情報の静学ゲームとしての囚人のジレンマ

ボランティアのジレンマが想定する状況をゲーム論の意味でのゲームと解釈します。誰がコストを負担するか事前に話し合いを行うことができない状況や、話し合いの末に到達した合意に強制力がない状況を想定するのであれば、ボランティアのジレンマは非協力ゲームとなります。さらに、各々が他の人たちによる意思決定を観察できない状態で自身の意思決定を行う状況を想定するのであれば、ボランティアのジレンマは静学ゲームとなります。加えて、ゲームのルールが人々にとって共有知識であることを仮定するのであれば、ボランティアのジレンマは完備情報ゲームとして記述されます。

そこで、ボランティアのジレンマを以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、プレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)です。ただし、\(i\in I\)は問題としている集団の成員\(i\)を表します。また、プレイヤー\(i\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\{C,D\}\)です。ただし、\(C\)は自身がコストを負担して公共財を供給する協調戦略であり(CooperateのC)、\(D\)は自身はコストを負担しない裏切り戦略です(DefectのD)。問題は、それぞれのプレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)をどのように記述するかです。

それぞれのプレイヤー\(i\)が自分を除く\(n-1\)人のプレイヤーを個人として区別しないのであれば、その利得関数\(u_{i}\)を、自身が選ぶ純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)と、自身を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数\(c\ \left( =0,1,\cdots,n-1\right) \)を変数として持つ関数\(u_{i}\left( s_{i},c\right) \)として定式化できます。自身が協調戦略\(C\)を選択する場合、自分を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中の何人が協調戦略\(C\)を選ぶかに関わらず公共財は供給されるため、公共財から便益\(U>0\)を得る一方でコスト\(K>0\)を支払う必要があるため、\begin{equation*}\forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left( C,c\right) =U-K
\end{equation*}が成り立ちます。他方で、自身が裏切り戦略\(D\)を選択する場合、自分を除く\(n-1\)人のプレイヤー全員もまた裏切り戦略\(D\)を選ぶ場合には公共財は提供されないため、その場合に得られる便益は、\begin{equation*}u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{equation*}となります。自分を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中の少なくとも1人が協調戦略を選ぶ場合には公共財が提供されるため、自分はコストを負担することなく公共財の便益を享受できます。したがって、\begin{equation*}\forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left( D,c\right) =U
\end{equation*}が成り立ちます。以上の条件が任意のプレイヤー\(i\in I\)について成り立つものと定めます。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
S_{i}\backslash c & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ \hline
C & U-K & U-K & U-K & \cdots & U-K \\ \hline
D & 0 & U & U & \cdots & U \\ \hline
\end{array}$$

表:ボランティアのジレンマの利得関数
例(ボランティアのジレンマ)
プレイヤー集合が\(I=\left\{1,2\right\} \)である場合のボランティアのジレンマは、以下の利得行列として表現されます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & C & D \\ \hline
C & U-K,U-K & U-K,U \\ \hline
D & U,U-K & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

表:2人ボランティアのジレンマ
例(ボランティアのジレンマ)
プレイヤー集合が\(I=\left\{1,2,3\right\} \)である場合のボランティアのジレンマにおいて、プレイヤー\(1\)の利得関数\(u_{1}:S_{1}\times S_{2}\times S_{3}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u_{1}\left( C,C,C\right) =u_{1}\left( C,C,D\right)
=u_{1}\left( C,D,C\right) =u_{1}\left( C,D,D\right) =U-K \\
&&\left( b\right) \ u_{1}\left( D,C,C\right) =u_{1}\left( D,C,D\right)
=u_{1}\left( D,D,C\right) =U \\
&&\left( c\right) \ u_{1}\left( D,D,D\right) =0
\end{eqnarray*}を満たします。他の2人のプレイヤーの利得関数も同様です。

以上がボランティアのジレンマの定義です。改めて整理すると、ボランティアのジレンマとは、以下の条件を満たす戦略型ゲーム\(G\)によって表現される完備情報の静学ゲームです。まず、プレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\left\{ C,D\right\} \)です。ただし、\(C\)は協調戦略であり、\(D\)は裏切り戦略です。それぞれのプレイヤー\(i\)の利得関数は、自分が選ぶ純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)と、自分以外の\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数\(c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \)を変数として持つ関数\(u_{i}:S_{i}\times \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\}
:u_{i}\left( C,c\right) =U-K \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) =U \\
&&\left( c\right) \ u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{eqnarray*}をすべて満たすものとして定義されます。ただし、\(U>0\)かつ\(K>0\)かつ\(U>K\)です。

 

ボランティアのジレンマの純粋戦略ナッシュ均衡

ボランティアのジレンマにおいて、それぞれのプレイヤー\(i\)は支配戦略を持ちません。実際、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) >u_{i}\left( C,c\right) \\
&&\left( b\right) \ u_{i}\left( D,n\right) <u_{i}\left( C,n\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つからです。したがって、ボランティアのジレンマには支配戦略均衡は存在せず、支配される戦略の逐次消去による解も存在しません。

ボランティアのジレンマにナッシュ均衡は存在するのでしょうか。他の全員のプレイヤーたちが協調戦略\(C\)を選択する(\(c=n-1\))ことを前提とした場合、プレイヤー\(i\)について、\begin{equation*}u_{i}\left( D,n-1\right) >u_{i}\left( C,n-1\right)
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)にとって協調戦略\(C\)は\(c=n-1\)に対する最適反応ではありません。したがって、全員が協調戦略\(C\)を選択するという純粋戦略の組はナッシュ均衡ではありません。一方、他の全員のプレイヤーたちが裏切り戦略\(D\)を選択する(\(c=0\))ことを前提とした場合、プレイヤー\(i\)について、\begin{equation*}u_{i}\left( C,0\right) >u_{i}\left( D,0\right)
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)にとって裏切り戦略\(D\)は\(c=0\)に対する最適反応ではありません。したがって、全員が裏切り戦略\(D\)を選択するという純粋戦略の組もまたナッシュ均衡ではありません。

以上の議論より、ボランティアのジレンマには対称的な純粋戦略ナッシュ均衡は存在しないことが明らかになりました。ただ、非対称的な均衡まで対象を広げた場合、誰か1人だけが協調戦略\(C\)を選択し、他の\(n-1\)人全員が裏切り戦略\(D\)を選択するという純粋戦略の組み合わせが狭義の純粋戦略ナッシュ均衡になります。

命題(ボランティアのジレンマの狭義の純粋戦略ナッシュ均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots,n\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\left\{ C,D\right\} \)であり、利得関数\(u_{i}:S_{i}\times \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下のすべての条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\}
:u_{i}\left( C,c\right) =U-K \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) =U \\
&&\left( c\right) \ u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすものとする。ただし、\(c\)はプレイヤー\(i\)を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数である。また、\(U>0\)かつ\(K>0\)かつ\(U>K\)である。このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在し、それは1人だけが\(C\)を選び、残りの\(n-1\)人が\(D\)を選ぶような任意の純粋戦略の組である。
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ボランティアのジレンマにおいて純粋戦略ナッシュ均衡がプレーされる場合、すなわち、1人だけが協調戦略\(C\)を選び、残りの全員が裏切り戦略\(D\)を選ぶ場合、\(C\)を選んだプレイヤーが利得\(U-K\)を得て、残りの\(n-1\)のプレイヤーはそれぞれ利得\(U\)を得ます。したがって、均衡結果において全員が得る利得の合計は、\begin{equation*}\left( U-K\right) +\left( n-1\right) U=nU-K
\end{equation*}となります。\(C\)を選ぶ人がいなくなると全員が得る利得の合計は\(0\)になります。他方、\(C\)を選ぶ人が増えると、その人たちは各々が追加的なコスト\(K\)を支払う一方で追加的な利得を得る人は存在しないため、全員が得る利得の合計は減少します。したがって、先の純粋戦略ナッシュ均衡は社会的に効率的な結果をもたらします。

ただ、どのプレイヤーが協調戦略を選択するかに応じて\(n\)個の異なる純粋戦略ナッシュ均衡が存在するため、複数均衡の問題が発生します。仮に、プレイヤーたちが事前に話し合うことができるのであれば、協調戦略を選ぶべき1人をランダムに選ぶことにより、特定の均衡をプレーするようプレイヤーたちに周知させることができます。しかも、その合意は自己拘束的であるため(演習問題にします)、約束を強制する仕組みが存在しない場合においても、プレイヤーたちは自ら進んで約束を守ることになります。

 

ボランティアのジレンマの混合戦略ナッシュ均衡

プレイヤーたちが事前に話し合うことができるのであれば、そこで合意した純粋戦略ナッシュ均衡は自己拘束的な合意になるため、効率的な結果を達成できます。では、何らかの事情によりプレイヤーたちが事前に話し合うことができない場合、プレイヤーたちはどうすればよいのでしょうか。そのような場合、プレイヤーたちは期待利得を最大化するような混合戦略を選択せざるを得ません。混合戦略ナッシュ均衡にまで範囲を広げた場合、ボランティアのジレンマには以下のような対称的な均衡が存在します。

命題(ボランティアのジレンマの対称的な混合戦略ナッシュ均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots,n\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\left\{ C,D\right\} \)であり、利得関数\(u_{i}:S_{i}\times \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下のすべての条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\}
:u_{i}\left( C,c\right) =U-K \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) =U \\
&&\left( c\right) \ u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすものとする。ただし、\(c\)はプレイヤー\(i\)を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数である。また、\(U>0\)かつ\(K>0\)かつ\(U>K\)である。このゲーム\(G\)には対称的な混合戦略ナッシュ均衡\(\sigma_{I}^{\ast }\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が存在し、それは、任意のプレイヤー\(i\in I\)について、\begin{equation*}\sigma _{i}^{\ast }\left( S\right) =1-\left( \frac{K}{U}\right) ^{\frac{1}{n-1}}
\end{equation*}を満たす。さらに、この均衡\(\sigma_{I}^{\ast }\)において少なくとも1人のプレイヤーが協調戦略\(C\)を選ぶ確率は、\begin{equation*}1-\left( \frac{K}{U}\right) ^{\frac{n}{n-1}}
\end{equation*}である。

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ボランティアのジレンマではたった1人が協調戦略\(C\)を選んでコスト\(K\)を負担するだけで、公共財を集団全体に供給できます。しかも、公共財の消費には非競合性があるため、供給された公共財からは全員が\(U\)ずつ便益を得られます。消費の非競合性があるため、プレイヤーの人数\(n\)を増やしても同様の議論が成立します。プレイヤーの人数が増えるほど、ボランティア的行為が社会全体にもたらす便益はますます大きくなります。その一方で、混合戦略ナッシュ均衡において少なくとも1人が協調戦略\(C\)を選ぶ確率は、\begin{equation*}1-\left( \frac{K}{U}\right) ^{\frac{n}{n-1}}
\end{equation*}であり、これはプレイヤーの人数\(n\)に関する減少関数です。つまり、プレイヤーの人数が増えるほどボランティア行為が社会にもたらす便益はますます大きくなるにも関わらず、その反面、誰かがボランティアを行う確率は小さくなってしまいます。このような現象を傍観者効果(bystander effect)と呼びます。各人はボランティア行為が有益であることを理解しているものの、人々の数が増えるほど「他の人がやってくれるだろう」という心理をお互いに抱くようになり、結果として、誰も率先して行動しなくなってしまいます。ボランティアのジレンマが「ジレンマ」である理由はここにあります。

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