ボランティアのジレンマ（公共財の供給と傍観者効果）

公共財

通常、同一の商品ないしサービスを複数の人が同時に消費することはできません。誰かが消費すると他者の消費分が減ってしまう場合、そのような商品やサービスの消費には競合性（rivalness）があると言います。逆に、ある人が消費しても他者の消費分が減少しない場合、そのような商品やサービスの消費には非競合性（non-rivalness）があると言います。

通常、商品やサービスを消費するためには金銭などの対価を支払う必要があります。消費するためには対価を支払う必要がある場合、そのような商品やサービスの消費には排除可能性（excludability）があると言います。逆に、対価を支払わずとも消費することが可能である場合、そのような商品やサービスの消費には排除不可能性（non-excludability）があると言います。

消費に非競合性と排除不可能性のある商品やサービスを公共財（public goods）と呼びます。つまり、公共財とは、ある人が消費しても他者の消費分が減少せず、なおかつ、対価を支払わずとも消費することが可能であるような商品やサービスです。

ボランティアのジレンマ

ある集団が1つの公共財を必要としています。ただ、その公共財は大がかりなものではなく、集団に属する誰か1人がコスト\(K>0 \)を負担するだけで、その公共財を集団全体に供給できるものとします。公共財の消費には非競合性と排除不可能性があるため、誰かがコストを負担して公共財を供給すれば、そこから全員が\(U>0\)ずつ便益を得られます。複数の人がコストを負担しても公共財の供給量は増加せず、したがって、公共財から各々が得られる便益は\(U\)で一定です。加えて、\(U>K\)という関係が成り立つものとします。つまり、コストを負担した人にとっても、公共財から自身が得る便益が、自身が負担するコストを上回るということです。誰もコストを負担しない場合には公共財が供給されないため、その場合に各々が得る便益を\(0\)と定めます。

これは1985年にドイツの社会学者アンドレアス・ディークマン（Andreas Diekmann）が発表したボランティアのジレンマ（volunteer’s dilemma）と呼ばれる問題です。この問題において、あえてコストを負担して集団全体に公共財を供給する人をボランティアと位置づけることができます。

完備情報の静学ゲームとしての囚人のジレンマ

ボランティアのジレンマが想定する状況をゲーム論の意味でのゲームと解釈します。誰がコストを負担するか事前に話し合いを行うことができない状況や、話し合いの末に到達した合意に強制力がない状況を想定するのであれば、ボランティアのジレンマは非協力ゲームとなります。さらに、各々が他の人たちによる意思決定を観察できない状態で自身の意思決定を行う状況を想定するのであれば、ボランティアのジレンマは静学ゲームとなります。加えて、ゲームのルールが人々にとって共有知識であることを仮定するのであれば、ボランティアのジレンマは完備情報ゲームとして記述されます。

そこで、ボランティアのジレンマを以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、プレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)です。ただし、\(i\in I\)は問題としている集団の成員\(i\)を表します。また、プレイヤー\(i\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\{C,D\}\)です。ただし、\(C\)は自身がコストを負担して公共財を供給する協調戦略であり（CooperateのC）、\(D\)は自身はコストを負担しない裏切り戦略です（DefectのD）。問題は、それぞれのプレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)をどのように記述するかです。

それぞれのプレイヤー\(i\)が自分を除く\(n-1\)人のプレイヤーを個人として区別しないのであれば、その利得関数\(u_{i}\)を、自身が選ぶ純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)と、自身を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数\(c\ \left( =0,1,\cdots,n-1\right) \)を変数として持つ関数\(u_{i}\left( s_{i},c\right) \)として定式化できます。自身が協調戦略\(C\)を選択する場合、自分を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中の何人が協調戦略\(C\)を選ぶかに関わらず公共財は供給されるため、公共財から便益\(U>0\)を得る一方でコスト\(K>0\)を支払う必要があるため、\begin{equation*}\forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left( C,c\right) =U-K
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(U>K\)です。他方で、自身が裏切り戦略\(D\)を選択する場合、自分を除く\(n-1\)人のプレイヤー全員もまた裏切り戦略\(D\)を選ぶ場合には公共財は提供されないため、その場合に得られる便益は、\begin{equation*}u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{equation*}となります。自分を除く\(n-1\)人のプレイヤーの中の少なくとも1人が協調戦略を選ぶ場合には公共財が提供されるため、自分はコストを負担することなく公共財の便益を享受できます。したがって、\begin{equation*}\forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left( D,c\right) =U
\end{equation*}が成り立ちます。以上の条件が任意のプレイヤー\(i\in I\)について成り立つものと定めます。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
S_{i}\backslash c & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ \hline
C & U-K & U-K & U-K & \cdots & U-K \\ \hline
D & 0 & U & U & \cdots & U \\ \hline
\end{array}$$

以上がボランティアのジレンマの定義です。改めて整理すると、ボランティアのジレンマとは、以下の条件を満たす戦略型ゲーム\(G\)によって表現される完備情報の静学ゲームです。まず、プレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\left\{ C,D\right\} \)です。ただし、\(C\)は協調戦略であり、\(D\)は裏切り戦略です。それぞれのプレイヤー\(i\)の利得関数は、自分が選ぶ純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)と、自分以外の\(n-1\)人のプレイヤーの中で協調戦略\(C\)を選ぶ人数\(c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \)を変数として持つ関数\(u_{i}:S_{i}\times \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\}
:u_{i}\left( C,c\right) =U-K \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) =U \\
&&\left( c\right) \ u_{i}\left( D,0\right) =0
\end{eqnarray*}をすべて満たすものとして定義されます。ただし、\(U>0\)かつ\(K>0\)かつ\(U>K\)です。

ボランティアのジレンマの非対称的なナッシュ均衡

ボランティアのジレンマにおいて、それぞれのプレイヤー\(i\)は支配戦略を持ちません。実際、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left\{ 1,\cdots ,n-1\right\} :u_{i}\left(
D,c\right) >u_{i}\left( C,c\right) \\
&&\left( b\right) \ u_{i}\left( D,0\right) <u_{i}\left( C,0\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つからです。したがって、ボランティアのジレンマには支配戦略均衡は存在せず、支配される戦略の逐次消去による解も存在しません。

ボランティアのジレンマにナッシュ均衡は存在するのでしょうか。他の全員のプレイヤーたちが協調戦略\(C\)を選択する（\(c=n-1\)）ことを前提とした場合、プレイヤー\(i\)について、\begin{equation*}u_{i}\left( D,n-1\right) >u_{i}\left( C,n-1\right)
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)にとって協調戦略\(C\)は\(c=n-1\)に対する最適反応ではありません。したがって、全員が協調戦略\(C\)を選択するという純粋戦略の組はナッシュ均衡ではありません。一方、他の全員のプレイヤーたちが裏切り戦略\(D\)を選択する（\(c=0\)）ことを前提とした場合、プレイヤー\(i\)について、\begin{equation*}u_{i}\left( C,0\right) >u_{i}\left( D,0\right)
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)にとって裏切り戦略\(D\)は\(c=0\)に対する最適反応ではありません。したがって、全員が裏切り戦略\(D\)を選択するという純粋戦略の組もまたナッシュ均衡ではありません。

以上の議論より、ボランティアのジレンマには対称的な純粋戦略ナッシュ均衡は存在しないことが明らかになりました。ただ、非対称的な均衡まで対象を広げた場合、誰か1人だけが協調戦略\(C\)を選択し、他の\(n-1\)人全員が裏切り戦略\(D\)を選択するという純粋戦略の組み合わせが狭義の純粋戦略ナッシュ均衡になります。

ただ、どのプレイヤーが協調戦略を選択するかに応じて\(n\)個の異なる純粋戦略ナッシュ均衡が存在するため、複数均衡の問題が発生します。つまり、協調戦略を選ぶべき1人がプレイヤーの間で周知されていない場合、純粋戦略ナッシュ均衡は実現するとは限らず、したがって効率的な結果が実現するとは限りません。

仮に、プレイヤーたちが事前に話し合うことができるのであれば、もしくは何らかの外生的な方法により協調戦略を選ぶべき1人を選択できるのであれば、特定の均衡をプレーするようプレイヤーたちに周知させることができるため、効率的な結果を実現できます。しかも、その合意は自己拘束的であるため（演習問題）、約束を強制する仕組みが存在しない場合においても、プレイヤーたちは自らすすんで約束を守ることになります。

ボランティアのジレンマの対称的なナッシュ均衡

プレイヤーたちが事前に話し合うことができるのであれば、もしくは何らかの外生的な方法により協調戦略を選ぶべき1人を選択できるのであれば、そこで合意した純粋戦略ナッシュ均衡は自己拘束的な合意になるため、均衡が実現にプレーされます。では、プレイヤーたちが事前に話し合うことができない場合、もしくは外生的な方法が存在しない場合、プレイヤーたちはどうすればよいのでしょうか。そのような場合、プレイヤーたちは期待利得を最大化するような混合戦略を選択せざるを得ません。

混合戦略ナッシュ均衡にまで範囲を広げた場合、ボランティアのジレンマには以下のような対称的な均衡が存在します。

非対称的な純粋戦略ナッシュ均衡とは異なり、対称的な混合戦略ナッシュ均衡は効率的ではありません。実際、純粋戦略ナッシュ均衡において協力戦略\(C\)を選択する1人のプレイヤーは利得\(U-K\)に直面し、裏切り戦略\(D\)を選択する残りのプレイヤーたちは利得\(U\)に直面する一方、混合戦略ナッシュ均衡において、任意のプレイヤーは期待利得\(U-K\)に直面するからです。プレイヤーたちが事前に話し合うことができない場合、もしくは外生的な方法が存在しない場合、協力戦略\(C\)を選ぶべき1人を誰にすべきか周知できないため、2人以上が協力戦略\(C\)を選択する可能性が生じるため、結果は効率的ではなくなってしまいます。ちなみに、混合戦略ナッシュ均衡においてそれぞれのプレイヤーが直面する期待利得\(U-K\)はプレイヤーの人数\(n\)に依存しないため、集団のサイズを変更しても効率的な結果を実現する助けにはなりません。

傍観者効果

ボランティアのジレンマではたった1人が協調戦略\(C\)を選んでコスト\(K\)を負担するだけで、公共財を集団全体に供給できます。しかも、公共財の消費には非競合性があるため、供給された公共財からは全員が\(U\)ずつ便益を得られます。消費の非競合性があるため、プレイヤーの人数\(n\)を増やしても同様の議論が成立します。プレイヤーの人数が増えるほど、ボランティア的行為が社会全体にもたらす便益はますます大きくなります。

その一方で、混合戦略ナッシュ均衡において少なくとも1人が協調戦略\(C\)を選ぶ確率は、\begin{equation*}1-\left( \frac{K}{U}\right) ^{\frac{n}{n-1}}
\end{equation*}であり、これはプレイヤーの人数\(n\)に関する減少関数です。つまり、プレイヤーの人数が増えるほどボランティア行為が社会にもたらす便益はますます大きくなるにも関わらず、その反面、誰かがボランティアを行う確率は小さくなってしまいます。このような現象を傍観者効果（bystander effect）と呼びます。各人はボランティア行為が有益であることを理解しているものの、人々の数が増えるほど「他の人がやってくれるだろう」という心理が強くなり、結果として、誰かが率先して行動する確率が下がってしまいます。

傍観者効果を軽減させるためにはどうすればよいでしょうか。繰り返しになりますが、少なくとも1人が協調戦略\(C\)を選ぶ確率は、\begin{equation*}1-\left( \frac{K}{U}\right) ^{\frac{n}{n-1}}
\end{equation*}ですが、これはプレイヤーの人数\(n\)に関する減少関数であるとともに、ボランティア行動が各々にもたらす便益の大きさ\(U\)に関する増加関数であり、ボランティア行動にともなうコストの大きさ\(K\)に関する減少関数です。つまり、\(U\)が大きいほど、逆に\(n\)や\(K\)が小さいほど、誰かが率先して行動する確率は高くなります。集団の規模\(n\)をコントロールできるのであれば、集団の規模を小さくする、もしくは大きくしないことが重要になります。ボランティア行動が各々にもたらす便益\(U\)をコントロールするのは容易ではありませんが、ボランティア行動へ踏み切る敷居を下げる施策を通じて\(K\)を下げることは難しくありません。