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同時参入ゲーム(市場参入のパラドクス)

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同時参入ゲーム

ある新規市場への参入を検討している2つの企業が存在します。参入にはコストがかかりますが、参入すれば市場から利益を得られます。両企業が参入した場合、彼らは参入コストを支払うとともに、市場で争うことになります。一方の企業だけが参入した場合、参入企業だけがコストを支払うことになりますが、同時に市場を独占できます。非参入企業はコストを支払う必要はありませんが、利益も得られません。両企業が参入しない場合、彼らはともに参入コストを支払う必要はありませんが、利益も得られません。両企業はカルテルを結ぶことはできないものとします。また、各企業は相手が参入するかどうかを観察できない状態で自身が参入するかどうかを決定しなければならない状況を想定します。

それぞれの企業にとって最も望ましい結果は、自社だけが参入して市場を独占するケースです。市場へ参入するためには一定のコストがかかりますが、市場を独占した場合に得られる利益はコストをカバーできるほど十分に大きいということです。最悪のケースは相手も参入してきて競争になるケースです。この場合、価格競争などが原因で利益が低迷し、参入コストをカバーできず赤字になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、市場に参入して相手と競争するよりは、最初から参入しないほうが望ましいものとします。このような戦略的状況を同時参入ゲーム(simultaneous entry game)と呼びます。

例(新薬開発)
2つの製薬会社がある病気に対する新薬の開発に取り組むべきか検討しています。開発には膨大な投資が必要です。新薬を開発した後に市場を独占できるのであれば開発費をカバーできるほど十分大きな利益を見込めますが、競争相手も参入してきた場合、価格競争が起こるため利益が小さくなり、開発費をカバーできないものとします。以上の状況は参入ゲームです。

例(チェーンストアによる出店)
2つのコンビニチェーンがある通りに新たに店舗を出店すべきか検討しています。現状、その通りにコンビニはありません。出店には初期投資が必要です。自社だけが出店する場合には初期投資をカバーできるほど十分な利益を見込めますが、競争相手も出店してきた場合、客の取り合いになり、初期投資をカバーできないものとします。以上の状況は参入ゲームです。

 

完備情報の静学ゲームとしての同時参入ゲーム

同時参入ゲームが想定する状況をゲーム理論の意味でのゲームと解釈します。2つの企業が事前に話し合いを行うことができない状況や、話し合いの末に到達した合意に拘束力がない状況を想定するのであれば、同時参入ゲームは非協力ゲームとなります。また、各企業は相手が参入するかどうかを観察できない状態で意思決定を行う状況を想定しているため、同時参入ゲームは静学ゲームです。加えて、ゲームのルールが両企業にとって共有知識であるならば、同時参入ゲームは完備情報の静学ゲームとして記述されます。

そこで、同時参入ゲームを以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合を、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ E,NE\right\}
\end{equation*}と定めます。ただし、\(E\)は参入する(Enter)ことに、\(NE\)は参入しない(Not Enter)ことにそれぞれ対応します。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。市場を独占した場合に得られる利潤を\(1\)とみなし、市場で両企業が競争した場合に各企業が得られる利潤を\(0\)とみなします。企業\(i\)による参入費用を\(c_{i}\in \mathbb{R} \)で表記します。独占利潤は参入費用をカバーできるほど十分大きいため、\begin{equation*}0<c_{i}<1\quad \left( i=1,2\right)
\end{equation*}が成立します。以上の想定のもと、各企業の利得関数を以下の利得行列によって定義します。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & E & NE \\ \hline
E & -c_{1},-c_{2} & 1-c_{1},0 \\ \hline
NE & 0,1-c_{2} & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

定義より、以下の関係\begin{equation*}
-c_{i}<0<1-c_{i}\quad \left( i=1,2\right)
\end{equation*}が成立していることに注意してください。それぞれの企業\(i\)にとって、自社が市場を独占した場合の利得\(1-c_{i}\)が最大であり、参入しない場合の利得\(0\)が2番目に高く、市場で競争した場合の利得\(-c_{i}\)が最低であるということです。

例(同時参入ゲーム)
両企業の参入費用がともに\(c\)で等しい場合、参入ゲームの利得行列は、

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & E & NE \\ \hline
E & -c,-c & 1-c,0 \\ \hline
NE & 0,1-c & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

となります。ただし、\(0<c<1\)です。

 

同時参入ゲームの純粋戦略ナッシュ均衡

同時参入ゲームにおいて、それぞれの企業は支配戦略を持ちません。実際、企業\(1\)について、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( NE,E\right) &=&0>-c_{1}=u_{1}\left( E,E\right) \\
u_{1}\left( E,NE\right) &=&1-c_{1}>0=u_{1}\left( NE,NE\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、企業\(1\)は支配戦略を持ちません。企業\(2\)についても同様です。したがって、同時参入ゲームには支配戦略均衡は存在せず、支配される戦略の逐次消去による解も存在しません。

同時参入ゲームにナッシュ均衡は存在するのでしょうか。同時参入ゲームではどちらか一方の企業が参入することに相当する\(\left( E,NE\right) \)と\(\left( NE,E\right) \)がともに純粋戦略ナッシュ均衡になります。

命題(同時参入ゲームの純粋戦略ナッシュ均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\left\{ E,NE\right\} \)であり、利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の利得行列

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & E & NE \\ \hline
E & -c_{1},-c_{2} & 1-c_{1},0 \\ \hline
NE & 0,1-c_{2} & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

によって表現されるものとする。ただし、\(0<c_{1}<1\)かつ\(0<c_{2}<1\)である。このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在し、それは\(\left( E,NE\right) \)と\(\left( NE,E\right) \)である。

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同時参入ゲームには2つの純粋戦略ナッシュ均衡が存在することが明らかになりました。均衡\(\left( E,NE\right) \)が実現した場合、均衡結果において両者が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( E,NE\right) &=&1-c_{1}>0 \\
u_{2}\left( E,NE\right) &=&0
\end{eqnarray*}である一方、もう一方の均衡\(\left( NE,E\right) \)が実現した場合、均衡結果において両者が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( NE,E\right) &=&0 \\
u_{2}\left( NE,E\right) &=&1-c_{2}>0
\end{eqnarray*}となります。つまり、どちらか一方が参入することが均衡であり、均衡結果において参入企業は正の利得を得る一方、非参入企業の利得は\(0\)です。

例(同時参入ゲームの純粋戦略ナッシュ均衡)
両企業の参入費用がともに\(c\)で等しい場合、参入ゲームの利得行列は、

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & E & NE \\ \hline
E & -c,-c & 1-c,0 \\ \hline
NE & 0,1-c & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

となります。ただし、\(0<c<1\)です。上の命題より、このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡は\(\left( E,NE\right) \)と\(\left( NE,E\right) \)です。

同時参入ゲームには企業\(1\)だけが参入する\(\left( E,NE\right) \)と企業\(2\)だけが参入する\(\left( NE,E\right) \)という2つの純粋戦略ナッシュ均衡が存在するとともに、これらはいずれも支配戦略均衡や支配される戦略の逐次消去による解ではないことが明らかになりました。したがって、参入ゲームでは以下の2つの点が問題になります。

1つ目は、均衡が実際にプレーされるかどうかという問題です。ナッシュ均衡が支配戦略均衡や支配される戦略の逐次消去による解である場合には、プレイヤーたちの合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることは、プレイヤーたちが実際に均衡をプレーする根拠となります。一方、参入ゲームの均衡は支配戦略均衡や支配される戦略の逐次消去による解ではないため、合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることは、プレイヤーたちが何らかの均衡を実際にプレーする根拠となり得るか自明ではありません。同時参入ゲームでは、相手が参入しない場合には自分は参入したほうがよく、相手が参入する場合には自分は参入しないほうがよいという構造になっているため、何らかの均衡が実際にプレーされることを保証するためには、プレイヤーはお互いに相手の行動を正しく予想する必要があります。この予想が成立することを保証するためには、何らかの説明体系が必要です。

2つ目は、複数均衡の問題です。ゲームに複数のナッシュ均衡が存在する場合においても、その中の1つが広義の支配戦略均衡や広義支配される戦略の逐次消去の解である場合には、プレイヤーたちの合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることは、その特定の均衡がプレーされる根拠となるため、複数均衡問題は解決可能です。一方、同時参入ゲームの均衡の中には広義の支配戦略均衡や広義支配される戦略の逐次消去の解が含まれないため、どちらの均衡がプレーされることになるかは自明ではなく、何らかの説明体系が必要になります。

 

参入ゲームの混合戦略ナッシュ均衡

同時参入ゲームには企業\(1\)だけが参入する\(\left( E,NE\right) \)と企業\(2\)だけが参入する\(\left( NE,E\right) \)という2つの純粋戦略ナッシュ均衡が存在することが明らかになりましたが、これら以外にも混合戦略ナッシュ均衡は存在するのでしょうか。

同時参入ゲームには以下のような混合戦略ナッシュ均衡が存在します。

命題(同時参入ゲームの混合戦略ナッシュ均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\left\{ E,P\right\} \)であり、利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の利得行列

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & E & NE \\ \hline
E & -c_{1},-c_{2} & 1-c_{1},0 \\ \hline
NE & 0,1-c_{2} & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

によって表現されるものとする。ただし、\(0<c_{1}<1\)かつ\(0<c_{2}<1\)である。このゲーム\(G\)には以下の条件\begin{eqnarray*}\sigma _{1}^{\ast } &=&\left( \sigma _{1}^{\ast }\left( E\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( NE\right) \right) =\left( 1-c_{2},c_{2}\right) \\
\sigma _{2}^{\ast } &=&\left( \sigma _{2}^{\ast }\left( E\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( NE\right) \right) =\left( 1-c_{1},c_{1}\right)
\end{eqnarray*}を満たす広義の混合戦略ナッシュ均衡\(\left(\sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \)が存在する。

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同時参入ゲームには純粋戦略ナッシュ均衡とは異なる混合戦略ナッシュ均衡\(\left( \sigma_{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \)が存在するとともに、具体的には、\begin{eqnarray*}\sigma _{1}^{\ast } &=&\left( \sigma _{1}^{\ast }\left( E\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( NE\right) \right) =\left( 1-c_{2},c_{2}\right) \\
\sigma _{2}^{\ast } &=&\left( \sigma _{2}^{\ast }\left( E\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( NE\right) \right) =\left( 1-c_{1},c_{1}\right)
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。この均衡において両者が直面する期待利得は、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) &=&\left(
1-c_{2}\right) \left( 1-c_{1}\right) \left( -c_{1}\right) +\left(
1-c_{2}\right) c_{1}\left( 1-c_{1}\right) =0 \\
F_{2}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) &=&\left(
1-c_{2}\right) \left( 1-c_{1}\right) \left( -c_{2}\right) +c_{2}\left(
1-c_{1}\right) \left( 1-c_{2}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。

例(同時参入ゲームの混合戦略ナッシュ均衡)
両企業の参入費用がともに\(c\)で等しい場合、同時参入ゲームの利得行列は、

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & E & NE \\ \hline
E & -c,-c & 1-c,0 \\ \hline
NE & 0,1-c & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

となります。ただし、\(0<c<1\)です。上の命題より、このゲーム\(G\)には以下の条件\begin{eqnarray*}\sigma _{1}^{\ast } &=&\left( \sigma _{1}^{\ast }\left( E\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( NE\right) \right) =\left( 1-c,c\right) \\
\sigma _{2}^{\ast } &=&\left( \sigma _{2}^{\ast }\left( E\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( NE\right) \right) =\left( 1-c,c\right)
\end{eqnarray*}を満たす広義の混合戦略ナッシュ均衡\(\left(\sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \)が存在します。つまり、均衡において両企業は等しい確率で市場に参加します。

 

市場参入のパラドクス

同時参入ゲームには以下の条件\begin{eqnarray*}
\sigma _{1}^{\ast } &=&\left( \sigma _{1}^{\ast }\left( E\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( EN\right) \right) =\left( 1-c_{2},c_{2}\right) \\
\sigma _{2}^{\ast } &=&\left( \sigma _{2}^{\ast }\left( E\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( EN\right) \right) =\left( 1-c_{1},c_{1}\right)
\end{eqnarray*}を満たす広義の混合戦略ナッシュ均衡\(\left(\sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \)が存在することが明らかになりました。したがって、企業\(1\)の参入コストが企業\(2\)の参入コストよりも高い場合には、すなわち、\begin{equation*}c_{1}>c_{2}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
1-c_{2}>1-c_{1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sigma _{1}^{\ast }\left( E\right) >\sigma _{2}^{\ast }\left( E\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、参入コストが相対的に高い企業のほうが均衡においてより高い確率で市場に参入するということです。直感的には、参入コストが低い企業こそがより高い確率で市場へ参入しそうなものですが、理論は逆の結果を示しています。このような現象を市場参入のパラドクス(market entry paradox)と呼びます。

実際、均衡\(\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma_{2}^{\ast }\right) \)において企業\(i\)が市場へ参入する確率は、\begin{equation*}\sigma _{i}^{\ast }\left( E\right) =1-c_{j}
\end{equation*}であり、これは競争相手である企業\(j\)の参入費用\(c_{j}\)に関する狭義単調減少関数になっています。したがって、競争相手の参入コストが高くなるほど、すなわち自社の参入コストが相対的に低くなるほど、自社が参入する確率は低くなります。逆に、競争相手の参入コストが低くなるほど、すなわち自社の参入コストが相対的に高くなるほど、自社が参入する確率は高くなります。

 

演習問題

問題(同時参入ゲーム)
企業\(1\)の参入費用が\(\frac{1}{2}\)で企業\(2\)の参入費用が\(\frac{1}{3}\)である場合の同時参入ゲームを戦略型ゲームとして表現するとともに、そのゲームのナッシュ均衡をすべて特定してください。
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問題(参入コストがゼロの場合の同時参入ゲーム)
同時参入ゲームにおいて両企業の参入コストがゼロである場合、結果にどのような影響を及ぼすでしょうか。両企業の参入コストがゼロである場合の同時参入ゲームを定式化するとともに、そこでの均衡を求めてください。

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