ルビンシュタインの2期間交互提案交渉ゲーム

2期間交互提案交渉ゲーム

最後通牒ゲームと呼ばれる交渉問題を完備情報の動学ゲームとみなした上で展開型ゲームとして表現し、純粋戦略部分ゲーム完全均衡を求めました。

モデルの復習です。2人のプレイヤーが\(1\)ドルを分けようとしています。まずはプレイヤー\(1\)が配分を提案します。プレイヤー\(2\)が提案に同意する場合、その提案通りに\(1\)ドルを配分してゲームは終了します。プレイヤー\(2\)が提案に同意しない場合、交渉は決裂し、両者は何も得られません。以上の戦略的状況は以下のような展開型ゲーム\(\Gamma \)として表されるとともに、以下のような部分ゲーム完全均衡が存在することを示しました。

命題（最後通牒ゲーム）

以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)が与えられているものとする。

このゲーム\(\Gamma \)には部分ゲーム完全均衡が1つだけ存在し、それは、「\(O_{1}=1\)」というプレイヤー\(1\)の純粋戦略と「自身が直面する任意の情報集合において\(A\)を選択する」というプレイヤー\(2\)の純粋戦略からなる組である。したがって、均衡経路は「プレイヤー\(1\)が\(O_{1}=1\)を選択し、続いてプレイヤー\(2\)が\(A\)を選択する」というものであり、均衡結果は\(\left( 1,0\right) \)である。

最後通牒ゲームにおいてプレイヤー\(2\)にはプレイヤー\(1\)からの提案に同意するか否かの選択肢しか与えられておらず、別の提案を申し出ることはできません。また、最後通牒ゲームの均衡結果は\(\left( 1,0\right) \)であり、これは最後通牒を行う提案者側にとって有利な結果です。では、プレイヤー\(2\)が相手からの提案に同意しなかった場合に、逆に相手に対して配分を提案できる場合には何が起こるでしょうか。その場合にも均衡は存在するでしょうか。また、均衡が存在する場合、それはどのような性質を備えているでしょうか。

2人のプレイヤーが\(1\)ドルを分けようとしています。まずはプレイヤー\(1\)が配分を提案します。プレイヤー\(2\)が提案に同意する場合、その提案通りに\(1\)ドルを配分してゲームは終了します。プレイヤー\(2\)が提案に同意しない場合、今度はプレイヤー\(2\)が配分を提案します。プレイヤー\(1\)が提案に同意する場合、その提案通りに\(1\)ドルを配分してゲームは終了します。プレイヤー\(1\)が提案に同意しない場合、交渉は決裂し、両者は何も得られません。

プレイヤー\(2\)が相手からの提案に同意しない場合、自身が提案を行うまでに長期のタイムラグが存在する場合には、再交渉後に得られるであろう金額の将来価値を一定の割引率のもとで割り引いた上で現在価値として評価する必要があります。

最後通牒ゲームが想定する状況とは異なり、ここでは2人のプレイヤーが交互に配分を提案できる状況を想定しています。このような意味において、以上のような交渉ゲームをルビンシュタインの2期間交互提案交渉ゲーム（Rubinstein two-period alternating offer bargaining game）と呼びます。

完備情報の動学ゲームとしての2期間交互提案交渉ゲーム

2期間交互提案交渉ゲームが想定する状況をゲーム論の意味でのゲームと解釈します。2人のプレイヤーが事前に話し合いを行うことができない状況や、話し合いの末に到達した合意に強制力がない状況を想定するのであれば、ナッシュの要求ゲームは非協力ゲームとなります。さらに、2人のプレイヤーは順番に行動する状況を想定しているため、2期間交互提案交渉ゲームは動学ゲームとなります。加えて、ゲームのルールがプレイヤーたちにとって共有知識であることを仮定するのであれば、2期間交互提案交渉ゲームは完備情報の動学ゲームとして記述されます。

そこで、2期間交互提案交渉ゲームを以下のような展開型ゲーム\(\Gamma \)としてモデル化します。まず、プレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)です。ただし、\(i\in I\)はプレイヤー\(i\)を表します。ゲーム\(\Gamma \)のその他の要素は以下のゲームの木によって表現されます。

ただし、\(O_{1}\in \left[ 0,1\right] \)は「プレイヤー\(1\)が提案する自身の取り分」という行動に、\(O_{2}\in \left[ 0,1\right] \)は「プレイヤー\(2\)が提案する自身の取り分」という行動に、\(A\)は「提案に同意する」という行動（agreeの頭文字）に、\(R\)は「提案に同意しない」という行動（rejectの頭文字）にそれぞれ対応します。また、プレイヤーが最終的に得る金額と利得を同一視しています。ただし、プレイヤーにとっての割引率を\(\delta _{1},\delta _{2}\in \left(0,1\right) \)で表記します。つまり、2人にとって将来の\(1\)ドルの現在価値がそれぞれ\(\delta _{1},\delta _{2}\)ドルであるということです。

2期間交互提案交渉ゲームの純粋戦略部分ゲーム完全均衡

2期間交互提案交渉ゲームにおけるプレイヤー\(1\)の純粋戦略を特定するためには以下の2つの情報を指定する必要があります。1つ目は、ゲームの初期点から構成される情報集合においてプレイヤー\(1\)が選択する行動であり、これは\(O_{1}\in \left[ 0,1\right] \)の値として表現されます。2つ目は、プレイヤー\(2\)が提案をした直後に到達するそれぞれの情報集合においてプレイヤー\(1\)が選択する行動であり、これは、そのような情報集合へ到達するためのそれぞれの行動の組\(\left( O_{1},R,O_{2}\right)\in \left[ 0,1\right] \times \left\{ R\right\} \times \left[ 0,1\right] \)に対して、その行動の組のもとで到達した情報集合においてプレイヤー\(1\)が選択する行動\(s_{1}\left( O_{1},R,O_{2}\right) \in \left\{A,R\right\} \)を特定する写像\begin{equation*}s_{1}:\left[ 0,1\right] \times \left\{ R\right\} \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \left\{ A,R\right\}
\end{equation*}として表現されます。プレイヤー\(1\)の純粋戦略は\(O_{1}\)と\(s_{1}\)の組として表現されます。

プレイヤー\(2\)の純粋戦略を特定するためには以下の2つの情報を指定する必要があります。1つ目は、プレイヤー\(1\)が提案した直後に到達するそれぞれの情報集合においてプレイヤー\(2\)が選択する行動であり、これは、プレイヤー\(1\)によるそれぞれの提案\(O_{1}\in \left[ 0,1\right] \)に対して、それに対するプレイヤー\(2\)の行動\(s_{2}\left( O_{1}\right) \in \left\{A,R\right\} \)を特定する写像\begin{equation*}s_{2}:\left[ 0,1\right] \rightarrow \left\{ A,R\right\}
\end{equation*}として表現されます。2つ目は、自身が\(R\)を選択した直後に到達するそれぞれの情報集合において選択する行動であり、これは、そのような情報集合へ到達するためのそれぞれの行動の組\(\left( O_{1},R\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left\{R\right\} \)に対して、その行動の組のもとで到達した情報集合においてプレイヤー\(2\)が選択する行動\(O_{2}\left( O_{1},R\right) \in \left[ 0,1\right] \)を特定する写像\begin{equation*}O_{2}:\left[ 0,1\right] \times \left\{ R\right\} \rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}として表現されます。プレイヤー\(2\)の純粋戦略は\(s_{2}\)と\(O_{2}\)の組として表現されます。

2期間交互提案交渉ゲームには以下のような純粋戦略部分ゲーム完全均衡が存在します。

命題（2期間交互提案交渉ゲームの純粋戦略部分ゲーム完全均衡）

以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)が与えられているものとする。

ただし、\(O_{1},O_{2}\in \left[ 0,1\right] \)かつ\(\delta _{1},\delta _{2}\in \left( 0,1\right) \)である。このゲーム\(\Gamma \)には純粋戦略部分ゲーム完全均衡が1つだけ存在し、それは、「\(O_{1}=1-\delta _{2}\)を選択し、なおかつプレイヤー\(2\)が\(O_{2}\)を選択した直後に到達し得る任意の情報集合において\(A\)を選択する」というプレイヤー\(1\)の純粋戦略と、「プレイヤー\(2\)が\(1-\delta_{2}\geq O_{1}\)を満たす\(O_{1}\)を選択した直後に到達し得る任意の情報集合において\(A\)を選択し、プレイヤー\(2\)が\(1-\delta _{2}<O_{1}\)を満たす\(O_{1}\)を選択した直後に到達し得る任意の情報集合において\(R\)を選択するとともに、自身が\(R\)を選択した直後に到達し得る任意の情報集合において\(O_{2}=1\)を選択する」というプレイヤー\(2\)の純粋戦略からなる組が純粋戦略部分ゲーム完全均衡である。したがって、均衡経路は「プレイヤー\(1\)が\(O_{1}=1-\delta _{2}\)を提案し、それに対してプレイヤー\(2\)が\(A\)を選択する」というものであり、均衡結果は\(\left( 1-\delta _{2},\delta_{2}\right) \)である。

交渉力の源泉

プレイヤー\(2\)にはプレイヤー\(1\)からの提案に同意するか否かの選択肢しか与えられていない最後通牒ゲームでは、\begin{equation*}\left( 1,0\right)
\end{equation*}だけが純粋戦略部分ゲーム完全均衡のもとで均衡結果になり得ます。つまり、最後通牒という手法は提案者側に有利な結果をもたらし得ます。

プレイヤー\(2\)にも後から提案する権利が与えられている2期間交互提案交渉ゲームでは、\begin{equation*}\left( 1-\delta _{2},\delta _{2}\right)
\end{equation*}だけが純粋戦略部分ゲーム完全均衡のもとで均衡結果になり得ることが明らかになりました。ただし、\(\delta _{2}\)はプレイヤー\(2\)の割引率です。これは何を意味しているのでしょうか。プレイヤー\(2\)が相手からの提案を断った直後に再提案を行うなど、交渉が速やかに行われる場合には割引率\(\delta _{2}\)は限りなく\(1\)に近づくため、2期間交互提案交渉ゲームの均衡結果は、\begin{equation*}\left( 0,1\right)
\end{equation*}に限りなく近づきます。つまり、2人のプレイヤーが交互に提案を行う場合には、後から提案するプレイヤーのほうが有利であるということです。

割引率\(\delta _{2}\)の大きさをプレイヤー\(2\)の忍耐力の指標とみなすのであれば、以上の結果は、忍耐強いプレイヤー（\(\delta _{2}\)の値が大きい）は交渉においてより優位に立つことができることを示唆しています。逆に、忍耐力が欠如したプレイヤー（\(\delta _{2}\)の値が小さい）は交渉において不利であるとも解釈できます。