美人投票(平均の2/3の推測)

プレイヤーたちが0から100までの実数を1つずつ投票し、全体の平均の2/3に最も近い数字を投票したプレイヤーが勝者として賞金を得るゲームを美人投票や平均の2/3の推測などと呼びます。美人投票をゲームとして定式化した上で、そのナッシュ均衡を求めます。
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美人投票

それぞれの参加者は\(1\)以上\(100\)以下の実数を1つを選び、それを紙に書いて投票します。ただし、投票の際には自分が書いた数字を他の人に見せてはいけません。全員の投票が終わったら開票を行い、全員が書いた数字の平均の\(\frac{2}{3}\)に最も近い数字を書いた人たちをゲームの勝者とし、それ以外の人たちをゲームの敗者と定めます。その上で、勝者の間で総額\(1\)の賞金を等分します。敗者は賞金を得られません。このようなゲームを美人投票(beauty contest)やケインズの美人投票(Keynesian beauty contest)、もしくは平均の\(\frac{2}{3}\)の推測(guess \(\frac{2}{3}\) of the average)などと呼びます。

例(美人投票)
ゲームの参加者は3人であり、彼らを\(1,2,3\)とそれぞれ呼びます。参加者\(i\ \left( =1,2,3\right) \)が投票した数字を\(s_{i}\)で表します。仮に、\begin{equation*}
\left( s_{1},s_{2},s_{3}\right) =\left( 48,50,52\right)
\end{equation*}という投票結果のもとでは、全員が書いた数字の平均の\(\frac{2}{3}\)は、\begin{equation*}
\frac{2}{3}\cdot \frac{48+50+52}{3}=33.333\cdots
\end{equation*}であるため、参加者\(1\)が勝者となり、賞金\(1\)を獲得します。敗者である参加者\(2,3\)の賞金はいずれも\(0\)です。また、\begin{equation*}
\left( s_{1},s_{2},s_{3}\right) =\left( 48,50,48\right)
\end{equation*}という投票結果のもとでは、全員が書いた数字の平均の\(\frac{2}{3}\)は、\begin{equation*}
\frac{2}{3}\cdot \frac{48+50+48}{3}=32.444\cdots
\end{equation*}であるため、参加者\(1,3\)が勝者となり、それぞれ賞金\(\frac{1}{2}\)を獲得します。敗者である参加者\(2\)の賞金は\(0\)です。

 

完備情報の静学ゲームとしての美人投票

美人投票が想定する状況を投票者をプレイヤーとするゲームと解釈します。参加者たちが投票前に自分たちが投票する数字について約束を交わした場合でも、その約束には拘束力がないため、美人投票は非協力ゲームです。さらに、プレイヤーは投票の際に自分が書いた数字を他の人に見せることはできず、他の人たちが書いた数字を観察できない状態で投票する必要があるため、美人投票は静学ゲームです。さらにゲームのルールがプレイヤーたちにとって共有知識であることを仮定するのであれば、美人投票が描写する戦略的相互依存の状況は完備情報の静学ゲームとして記述可能です。

そこで、美人投票を以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,\cdots ,n\}\)です。ただし、プレイヤーの人数\(n\)は有限です。\(i\in I\)はプレイヤー\(i\)を表します。それぞれのプレイヤー\(i\)は\(0\)以上\(100\)以下の実数の中から1つを選ぶことを求められるため、純粋戦略集合は\(\mathbb{R}\)上の有界な閉区間\(S_{i}=\left[ 1,100\right] \)です。投票結果が\(s_{I}=\left( s_{i}\right) _{i\in I}\)であるとき、投票された数字の平均を、\begin{equation*}
\overline{s}_{I}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}s_{i}
\end{equation*}と表記します。平均\(\overline{s}_{I}\)の\(\frac{2}{3}\)に最も近い数字を投票したプレイヤーが勝者になるため、投票結果\(s_{I}\)のもとでの勝者からなる集合を\(W\left( \overline{s}_{I}\right) \)で表すならば、これは、\begin{equation*}
W\left( \overline{s}_{I}\right) =\left\{ i\in I\ |\ \forall j\in
I:\left\vert s_{i}-\frac{2}{3}\overline{s}_{I}\right\vert \leq \left\vert
s_{j}-\frac{2}{3}\overline{s}_{I}\right\vert \right\}
\end{equation*}となります。勝者の人数に相当する集合\(W\left( \overline{s}_{I}\right) \)の要素の数を\(\left\vert W\left( \overline{s}_{I}\right) \right\vert \)で表します。プレイヤーが得る賞金と利得を同一視するのであれば、投票結果\(s_{I}\)のもとでプレイヤー\(i\)が得る利得は、\begin{equation*}
u_{i}\left( s_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{1}{\left\vert W\left( \overline{s}_{I}\right) \right\vert } & \left(
if\ i\in W\left( \overline{s}_{I}\right) \right) \\
0 & \left( if\ i\not\in W\left( \overline{s}_{I}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

美人投票ゲームのナッシュ均衡

美人投票ゲームにナッシュ均衡は存在するでしょうか。まず、それぞれのプレイヤー\(i\)の最適反応を導出します。他のプレイヤーたちが選ぶ数字からなる組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を任意に選んだ上で、\(s_{-i}\)を構成する数字の平均を\(\overline{s}_{-i}\)で表します。すなわち、\begin{equation}
\overline{s}_{-i}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }s_{j} \tag{1}
\end{equation}です。このときプレイヤー\(i\)が数字\(s_{i}\)を選ぶと、全員の平均の\(\frac{2}{3}\)は、\begin{equation*}
\frac{2}{3}\cdot \frac{s_{i}+\left( n-1\right) \overline{s}_{-i}}{n}
\end{equation*}となります。プレイヤー\(i\)は勝者になることで利得を最大化できますが、そのためには全員が選ぶ平均の\(\frac{2}{3}\)を選ぶ必要があります。したがって、プレイヤー\(i\)が解くべき問題は、\begin{equation}
s_{i}=\frac{2}{3}\cdot \frac{s_{i}+\left( n-1\right) \overline{s}_{-i}}{n}
\tag{2}
\end{equation}を満たす\(s_{i}\)を特定することであり、これを解くと、\begin{eqnarray*}
s_{i} &=&\frac{2\left( n-1\right) \overline{s}_{-i}}{3n-2}\quad \because
\left( 2\right) \\
&=&\frac{2\left( n-1\right) }{3n-2}\frac{1}{n-1}\sum\limits_{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }s_{j}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{2}{3n-2}\sum\limits_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }s_{j}
\end{eqnarray*}を得ます。以上が\(s_{-i}\)に対するプレイヤー\(i\)の最適反応です。ナッシュ均衡\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)は最適反応の組であるため、\begin{equation}
s_{i}^{\ast }=\frac{2}{3n-2}\sum\limits_{j\in I\backslash \left\{ i\right\}
}s_{j}^{\ast } \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。プレイヤーの対称性を仮定するのであれば、仮にナッシュ均衡が存在する場合、全員が等しい均衡戦略を選択するはずです。つまり、ナッシュ均衡\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)において、\begin{equation}
\exists s^{\ast }\in \left[ 0,100\right] ,\ \forall i\in I:s_{i}^{\ast
}=s^{\ast } \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)より、\begin{equation*}
s^{\ast }=\frac{2\left( n-1\right) }{3n-2}s^{\ast }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
ns^{\ast }=0
\end{equation*}が成り立ちますが、プレイヤーの人数\(n\)は正であるため、上の等式を満たすのは\(s^{\ast }=0\)に限られます。したがって、「全員が\(0\)を選ぶ」という純粋戦略の組が唯一の純粋戦略ナッシュ均衡です。

命題(美人投票ゲームの純粋戦略ナッシュ均衡)
美人投票ゲームにおいて、「全員が\(0\)を選ぶ」という純粋戦略の組が唯一の純粋戦略ナッシュ均衡である。
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美人投票ゲームにはナッシュ均衡が存在することが明らかになりました。ただ、美人投票ゲームはより強い均衡を持つため、理論の予測精度をさらに高めることができます。次節では、美人投票ゲームが支配される戦略の逐次消去によって解けることを示します。

 

美人投票ゲームの支配される戦略の逐次消去による解

美人投票を表す戦略型ゲーム\(G\)を初期ゲームとします。そこでの任意のプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}
S_{i}=\left[ 0,100\right] \end{equation*}です。初期ゲーム\(G\)において、それぞれのプレイヤー\(i\)は純粋戦略によって強支配される純粋戦略を持つでしょうか。それぞれのプレイヤーが選ぶことができる最大の数は\(100\)であるため、「全員が\(100\)を選ぶ」という戦略の組のもとで平均の\(\frac{2}{3}\)に相当する数値は最大化されるとともに、その値は、\begin{equation*}
\frac{2}{3}\cdot \frac{100n}{n}=\frac{200}{3}
\end{equation*}となります。言い換えると、任意の戦略の組において、平均の\(\frac{2}{3}\)に相当する数値は\(\frac{200}{3}\)以下になります。以上を踏まえると、プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(\frac{200}{3}\)は、それより大きい任意の純粋戦略を弱支配することが示されます(演習問題にします)。以上の議論は任意のプレイヤー\(i\)について成立します。そこで、初期ゲーム\(G\)の純粋戦略集合\(S_{i}\)から弱支配される戦略を消去すると、第\(1\)期のゲーム\(G_{1}\)における任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}
S_{i}^{1}=\left[ 0,\frac{200}{3}\right] \end{equation*}となります。

第\(1\)期のゲーム\(G_{1}\)において、それぞれのプレイヤー\(i\)は純粋戦略によって強支配される純粋戦略を持つでしょうか。それぞれのプレイヤーが選ぶことができる最大の数は\(\frac{200}{3}\)であるため、「全員が\(\frac{200}{3}\)を選ぶ」という戦略の組のもとで平均の\(\frac{2}{3}\)に相当する数値は最大化されるとともに、その値は、\begin{equation*}
\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{200}{3}n=\frac{400}{9}
\end{equation*}
となります。言い換えると、任意の戦略の組において、平均の\(\frac{2}{3}\)に相当する数値は\(\frac{400}{9}\)以下になります。以上を踏まえると、プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(\frac{400}{9}\)は、それより大きい任意の純粋戦略を弱支配することが示されます(演習問題にします)。以上の議論は任意のプレイヤー\(i\)について成立します。そこで、第\(1\)期のゲーム\(G_{1}\)の純粋戦略集合\(S_{i}^{1}\)から弱支配される戦略を消去すると、第\(2\)期のゲーム\(G_{2}\)における任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}
S_{i}^{2}=\left[ 0,\frac{400}{9}\right] \end{equation*}となります。

同様の議論を繰り返します。第\(t\)期のゲーム\(G_{t}\)における任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合を\(S_{i}^{t}\)で表すならば、これは、\begin{equation*}
S_{i}^{2}=\left[ 0,\left( \frac{2}{3}\right) ^{t-1}\cdot \left( \frac{200}{3}\right) \right] \end{equation*}となるため、\(t\rightarrow \infty \)の場合には、\begin{equation*}
S_{i}^{\infty }=\left[ 0,0\right] =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります。逐次消去の結果においてそれぞれのプレイヤーに残されている純粋戦略は1つだけであるため、\(G\)は純粋戦略によって弱支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、その解は「全員が\(0\)を選ぶ」というものになります。

命題(美人投票の純粋戦略によって支配される戦略の逐次消去による解)
美人投票ゲームは純粋戦略によって弱支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、その解は「全員が\(0\)を選ぶ」という純粋戦略の組である。
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戦略型ゲーム\(G\)が純粋戦略によって弱支配される戦略の逐次消去によって解ける場合、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)は混合戦略によって弱支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、両者の解は一致します。したがって、美人投票ゲームは混合戦略によって弱支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、その解もまた「全員が\(0\)を選ぶ」となります。

命題(美人投票の混合戦略によって支配される戦略の逐次消去による解)
美人投票ゲームは混合戦略によって弱支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、その解は「全員が\(0\)を選ぶ」という混合戦略の組である。
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美人投票ゲームは弱支配される戦略の逐次消去によって解けることが明らかになりました。ただ、均衡である「全員が\(0\)を選ぶ」が実際にプレーされることを保証するためには、それぞれのプレイヤーが合理的かつ警戒心を持つことに加えて、それらの事実が共有知識である必要があります。

次回は~について学びます。

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