混雑ゲーム
2人のドライバーが同じ方面へ移動しようとしている状況を想定します。選択肢として2つの道路\(A,B\)が存在します。2つの道路の距離や舗装などの走行条件は等しいものとします。ただし、\(A,B\)はともに、走行車をもう1台だけ受け入れる余裕はありますが、2台増えてしまうと渋滞になってしまいます。したがって、2人が別々の道を選べば2人とも渋滞に巻き込まれずに済みますが、2人が同じ道を選べば2人とも渋滞に巻き込まれてしまいます。
2人はともに渋滞を回避したいと考えています。また、渋滞を回避できるのであれば、どちらの道を通っても構わないと考えています。渋滞に巻き込まれるのは望ましくありませんが、その場合にも、どちらの道を通るかは問題ではないものとします。
このような戦略的状況を混雑ゲーム（congestion game）と呼びます。
完備情報の静学ゲームとしての混雑ゲーム
混雑ゲームが想定する状況を2人のドライバーをプレイヤーとするゲームと解釈します。ドライバーどうしは事前に話し合いを行うことはできないため、拘束的な約束は成立し得ません。したがって混雑ゲームは非協力ゲームです。2人のドライバーは相手が選んだ道を観察できない状態で自身が通る道を選択せざるを得ない状況を想定するのであれば、混雑ゲームは静学ゲームです。さらにゲームのルールが2人にとって共有知識であることを仮定するのであれば、混雑ゲームを完備情報の静学ゲームとして記述することができます。
そこで、混雑ゲームを以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、プレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)はドライバー\(i\)を表します。また、それぞれのプレイヤー\(i\)の純粋戦略は、\begin{equation*}S_{1}=S_{2}=\left\{ A,B\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(A\)は道路\(A\)を走行することを表し、\(B\)は道路\(B\)を走行することを表します。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & 双方が渋滞に巻き込まれる & 双方が渋滞を回避する \\ \hline
B & 双方が渋滞を回避する & 双方が渋滞に巻き込まれる \\ \hline
\end{array}$$
利得関数としては様々な可能性がありますが、典型的なものは、\begin{equation*}
a>b
\end{equation*}を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & b,b & a,a \\ \hline
B & a,a & b,b \\ \hline
\end{array}$$
として表現されます。言い換えると、プレイヤー\(1\)の利得関数\(u_{1}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}u_{1}\left( A,B\right) =u_{1}\left( B,A\right) >u_{1}\left( A,A\right)
=u_{1}\left( B,B\right)
\end{equation*}を満たし、プレイヤー\(2\)の利得関数\(u_{2}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}u_{2}\left( A,B\right) =u_{2}\left( B,A\right) >u_{2}\left( A,A\right)
=u_{2}\left( B,B\right)
\end{equation*}を満たすということです。つまり、双方のプレイヤーにとって相手と違う選択をすることが望ましく（利得\(a\)を得る）、相手と同じ戦略を選択することは望ましくありません（利得\(b\)を得る）。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & 0,0 & 1,1 \\ \hline
B & 1,1 & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & -3,-3 & 3,3 \\ \hline
B & 3,3 & -3,-3 \\ \hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & b,b & a,a \\ \hline
B & a,a & b,b \\ \hline
\end{array}$$
として表現されます。ただし、\(a\)は自分が確実に座れる場合の利得であり、\(b\)は確率\(\frac{1}{2}\)で座れる状況における利得の期待値ですが、両者の間に\(a>b\)が成り立つものとします。これは混雑ゲームです。
混雑ゲームにおける純粋戦略ナッシュ均衡
混雑ゲームには以下のような2つの純粋戦略ナッシュ均衡が存在します。
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{1}=S_{2}=\left\{ A,B\right\}
\end{equation*}であり、利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}a>b
\end{equation*}を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、以下の利得行列
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & b,b & a,a \\ \hline
B & a,a & b,b \\ \hline
\end{array}$$
によって表現されているものとする。このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在し、それは以下の2つ\begin{equation*}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) =\left( A,B\right) ,\left(
B,A\right)
\end{equation*}である。
以上の命題より、混雑ゲームには2つの純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( A,B\right) ,\left( B,A\right) \)が存在することが明らかになりました。つまり、2人が異なる道を選択する結果がナッシュ均衡になります。
混雑ゲームにおける支配戦略
混雑ゲームにはナッシュ均衡が存在することが明らかになりました。では、混雑ゲームの均衡の中には、支配される戦略の逐次消去による解や、支配戦略均衡などは存在するでしょうか。
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{1}=S_{2}=\left\{ A,B\right\}
\end{equation*}であり、利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}a>b
\end{equation*}を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、以下の利得行列
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & b,b & a,a \\ \hline
B & a,a & b,b \\ \hline
\end{array}$$
によって表現されているものとする。このゲーム\(G\)において、プレイヤー\(1,2\)はともに広義の支配戦略を持たない。
混雑ゲームにおいて、プレイヤーたちは広義の支配戦略を持たないことが明らかになりました。したがって、混雑ゲームには広義支配戦略均衡や、広義支配される戦略の逐次消去による解は存在しません。戦略型ゲームに狭義支配戦略均衡が存在する場合、それは広義支配戦略均衡でもあります。また、狭義支配される戦略の逐次消去による解が存在する場合、それは広義支配される戦略の逐次消去による解でもあります。以上の事実と、混雑ゲームには広義支配戦略均衡や、広義支配される戦略の逐次消去による解が存在することを踏まえると、混雑ゲームには狭義支配戦略均衡や、狭義支配される戦略の逐次消去による解は存在しないことが明らかになりました。
混雑ゲームの複数均衡問題
混雑ゲームでは2人のプレイヤーが異なる純粋戦略を選ぶことが純粋戦略ナッシュ均衡であるとともに、純粋戦略ナッシュ均衡はいずれも支配戦略均衡や支配戦略の逐次消去による解ではないことが明らかになりました。したがって、混雑ゲームでは以下の2つの点が問題になります。
1つ目は、均衡が実際にプレーされるかどうかという問題です。ナッシュ均衡が支配戦略均衡や支配される戦略の逐次消去による解である場合には、プレイヤーたちの合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることは、プレイヤーたちが実際に均衡をプレーする根拠となります。一方、混雑ゲームの均衡は支配戦略均衡や支配される戦略の逐次消去による解ではないため、合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることは、プレイヤーたちが何らかの均衡を実際にプレーする根拠となり得るか自明ではありません。混雑ゲームは「相手と異なる戦略を選ぶことが最適である」という構造になっているため、何らかの均衡が実際にプレーされることを保証するためには、プレイヤーはお互いに相手の行動を正しく予想する必要があります。この予想が成立することを保証するためには、何らかの説明体系が必要になります。
2つ目は、複数均衡の問題です。ゲームに複数のナッシュ均衡が存在する場合においても、その中の1つが広義の支配戦略均衡や広義支配される戦略の逐次消去の解である場合には、プレイヤーたちの合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることは、その特定の均衡がプレーされる根拠となるため、複数均衡問題は解決可能です。一方、混雑ゲームの均衡の中には広義の支配戦略均衡や広義支配される戦略の逐次消去の解が含まれないため、どの均衡がプレーされることになるかは自明ではなく、何らかの説明体系が必要になります。
混雑ゲームにおけるフォーカルポイント
複数均衡問題に対する1つの考え方は、フォーカルポイントであるようなナッシュ均衡が存在するのであれば、プレイヤーたちはそれを実際にプレーする、というものです。
混雑ゲームにおいて\(\left( A,B\right) \)と\(\left( B,A\right) \)はともに純粋戦略ナッシュ均衡であるため、これは複数均衡問題です。
2人が別々の運送会社に所属するトラックドライバーである状況を想定します。過去に2つの会社の車両どうしが衝突事故を起こして以降、険悪な関係をエスカレートさせないために2つの会社の車両は別々の道路を走ることが慣習化しているものとします。具体的には、ドライバー\(1\)が所属する会社の車両は道路\(A\)を走行し、ドライバー\(2\)が所属する会社の車両は道路\(B\)を走行する暗黙の慣行が形成されているものとします。これは慣行に過ぎず、拘束的な取り決めではありません。とは言え、以上の慣行はプレイヤー\(1,2\)が道路を選択する際のフォーカルポイントを生成する要因として機能するため、均衡\(\left( A,B\right) \)が実現することになります。
ゲームの構造は同じでも、プレイヤーの社会的背景が異なればフォーカルポイントは変わり得ます。フォーカルポイントはゲームのルールとして記述されない要素によって決定されます。
混雑ゲームにおける混合戦略ナッシュ均衡
混雑ゲームには2つの純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( A,B\right) ,\left( B,A\right) \)が存在しますが、双方においてプレイヤーたちは等しい利得を得るため、均衡選択をめぐって2人の間に利害の対立は存在せず、どちらの均衡が実現してもよいということになります。したがって、仮にプレイヤーたちが事前に話し合うことによりどちらか一方の均衡をプレーするよう合意できるのであれば、もしくは何らかの外生的な方法を通じてどちらか一方の均衡をプレーするよう選択できるのであれば、その合意は自己拘束的であるため、プレイヤーたちは自ら進んで約束を守ることになります。
また、プレイヤーたちが事前に話し合うことができない場合でも、どちらか一方の均衡がフォーカルポイントになるような要因が存在するのであれば、プレイヤーたちはフォーカルポイントを選択することになります。
では、プレイヤーたちが事前に話し合うことができない場合、もしくはフォーカルポイントが存在しない場合、プレイヤーたちはどうすればよいのでしょうか。そのような場合、プレイヤーたちは期待利得を最大化するような混合戦略を選択せざるを得ません。
混合戦略ナッシュ均衡にまで範囲を広げた場合、混合ゲームには先の2つの純粋戦略ナッシュ均衡とは異なる混合戦略ナッシュ均衡が存在します。
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{1}=S_{2}=\left\{ A,B\right\}
\end{equation*}であり、利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}a>b
\end{equation*}を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、以下の利得行列
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & b,b & a,a \\ \hline
B & a,a & b,b \\ \hline
\end{array}$$
によって表現されているものとする。2人の混合戦略を、\begin{eqnarray*}
\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( A\right) ,\sigma _{1}\left( B\right)
\right) =\left( \sigma _{1},1-\sigma _{1}\right) \\
\sigma _{2} &=&\left( \sigma _{2}\left( A\right) ,\sigma _{2}\left( B\right)
\right) =\left( \sigma _{2},1-\sigma _{2}\right)
\end{eqnarray*}で表記する。このゲーム\(G\)には混合戦略ナッシュ均衡が存在し、それは以下の3つ\begin{equation*}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) =\left( 1,0\right)
,\left( 0,1\right) ,\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}である。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & 0,0 & 1,1 \\ \hline
B & 1,1 & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$
先の命題より、このゲームには純粋戦略の範囲で2つのナッシュ均衡\(\left( A,B\right) ,\left( B,A\right) \)が存在するとともに、これらとは別に、混合戦略の範囲でナッシュ均衡\begin{equation*}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が存在します。つまり、「\(1\)が\(A\)を選び\(2\)が\(B\)を選ぶ」と「\(1\)が\(B\)を選び\(2\)が\(A\)を選ぶ」に加えて、「2人がともに確率\(\frac{1}{2}\)で\(A\)を選ぶ」ことがナッシュ均衡です。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\setminus 2 & A & B \\ \hline
A & -3,-3 & 3,3 \\ \hline
B & 3,3 & -3,-3 \\ \hline
\end{array}$$
先の命題より、このゲームには純粋戦略の範囲で2つのナッシュ均衡\(\left( A,B\right) ,\left( B,A\right) \)が存在するとともに、これらとは別に、混合戦略の範囲でナッシュ均衡\begin{equation*}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が存在します。つまり、「\(1\)が\(A\)を選び\(2\)が\(B\)を選ぶ」と「\(1\)が\(B\)を選び\(2\)が\(A\)を選ぶ」に加えて、「2人がともに確率\(\frac{1}{2}\)で\(A\)を選ぶ」ことがナッシュ均衡です。
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