正規化と単調性の仮定
プレイヤーたちが直面する戦略的状況が協力ゲームであり、それが譲渡可能効用を前提とする提携型ゲーム(TUゲーム)\begin{equation*}
G=\left\{ I,v\right\}
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合であり、\(v:2^{I}\rightarrow \mathbb{R} \)は特性関数です。多くの場合、特性関数\(v\)は以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ v\left( \phi \right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \forall C\in 2^{I}:v\left( C\right) \geq 0
\end{eqnarray*}を満たすものと仮定します。\(\left( a\right) \)を正規化の仮定と呼び、\(\left(b\right) \)を非負性の仮定と呼びます。以降ではこれをシンプルに提携型ゲームと呼ぶこととします。
協力ゲームが提携型ゲーム\(G\)によって表現される場合、プレイヤーたちがどのような提携を形成し、さらに、提携の内部においてどのように資源を配分するかが問題になりますが、それは提携型ゲームの結果\begin{equation*}\left( \mathcal{C},a\right)
\end{equation*}として記述されます。ただし、提携構造\(\mathcal{C}=\left\{ C_{1},\cdots ,C_{K}\right\} \)はプレイヤー集合\(I\)の分割であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ I=\bigcup_{k=1}^{K}C_{k} \\
&&\left( b\right) \ \forall k,k^{\prime }\in \left\{ 1,\cdots ,K\right\}
:\left( k\not=k^{\prime }\Rightarrow C_{k}\cap C_{k^{\prime }}=\phi \right)
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義され、利得ベクトル\(a\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall k\in \left\{ 1,\cdots ,K\right\} :\sum_{i\in
C_{k}}a_{i}\leq v\left( C\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。
提携型ゲーム\(G\)を分析する際には多くの場合、特性関数\(v:2^{I}\rightarrow \mathbb{R} \)に対して正規化と非負性を仮定するとともに、以下の条件\begin{equation*}\forall C,D\in 2^{I}:\left[ C\subset D\Rightarrow v\left( C\right) \leq
v\left( D\right) \right]
\end{equation*}が成り立つものと仮定します。つまり、提携\(C\)にプレイヤーが加わりより大きな提携\(D\)が形成された場合、その前後において提携値が低下する事態は起こり得ないということです。これを単調性(monotonicity)の仮定と呼びます。また、特性関数\(v\)が単調性を満たすような提携型ゲーム\(G\)を単調ゲーム(monotone game)と呼びます。
\end{equation*}であり、特性関数\(v:2^{I}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの提携に対して定める提携値は、\begin{gather*}v\left( I\right) =1 \\
v\left( \left\{ 1,2\right\} \right) =v\left( \left\{ 2,3\right\} \right)
=v\left( \left\{ 1,3\right\} \right) =\alpha \\
v\left( \left\{ 1\right\} \right) =v\left( \left\{ 2\right\} \right)
=v\left( \left\{ 3\right\} \right) =v\left( \phi \right) =0
\end{gather*}であるものとします。ただし、\(\alpha \in \left( 0,1\right) \)です。この特性関数\(v\)は正規化、非負性、単調性の仮定をいずれも満たします。
単調性は非負性を含意する
特性関数が正規化の仮定と単調性の仮定を満たす場合、特性関数は非負性を満たします。
単調性を満たさない提携型ゲーム
多くの協力ゲームは単調性を満たしますが、単調性を満たさない協力ゲームも存在します。以下が具体例です。
\end{equation*}が成立します。したがって、特性関数\(v\)は単調性を満たしません。
単調ゲームのもとでの全体提携の提携値
単調ゲームでは、全体提携のもとで提携値は最大化されます。
\end{equation*}が成り立つ。
単調ゲームでは、全体提携のもとで提携値は最大化されることが明らかになりました。したがって、単調ゲームにおいてプレイヤーたちは複雑な提携を形成する必要はなく、全体提携\(I\)を形成することが最適になります。つまり、単調ゲームにおける結果\(\left( \mathcal{C},v\right) \)を構成する提携構造は、\begin{equation*}\mathcal{C}=\left\{ I\right\}
\end{equation*}であり、利得ベクトル\(a\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i\in I}a_{i}=V\left( I\right)
\end{eqnarray*}を満たすことが予想されます。単調ゲームでは全体提携\(I\)のみが形成され、全体提携の提携値を全員で分け合うことになるため、利得ベクトル\(a\)の選択だけが分析課題となります。
演習問題
\end{equation*}であり、特性関数\(v:2^{I}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの提携に対して定める提携値は、\begin{gather*}v\left( I\right) =105 \\
v\left( \left\{ 1,2\right\} \right) =90 \\
v\left( \left\{ 2,3\right\} \right) =80 \\
v\left( \left\{ 1,3\right\} \right) =70 \\
v\left( \left\{ 1\right\} \right) =v\left( \left\{ 2\right\} \right)
=v\left( \left\{ 3\right\} \right) =v\left( \phi \right) =0
\end{gather*}を満たすものとします。\(G\)は単調ゲームでしょうか。議論してください。
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