不完備情報の静学ゲームにおける戦略
プレイヤーたちが直面する戦略的状況が不完備情報の静学ゲームである場合には、それをベイジアンゲームとして定式化できます。では、プレイヤーたちの意思決定をどのように定式化すればよいでしょうか。プレイヤーの意思決定は戦略（strategy）と呼ばれる概念を用いて表現します。
一般に、プレイヤーの戦略とは、プレイヤーがゲーム中に意志決定を行うそれぞれの局面において、そこで与えられた情報と行動を踏まえた上でどの行動を選ぶかをあらかじめ包括的に定める行動計画として定義されます。以上を踏まえた上で、不完備情報の静学ゲームにおける戦略とは何であるかを以下で説明します。
まず、プレイヤーたちが順番に意思決定を行う動学ゲームでは、プレイヤーの戦略とは、自分とは異なるタイミングで意志決定を行う他のプレイヤーたちの選択の結果として実現し得るすべての経路を想定した上で、各経路において自分がどのような行動を選ぶかをあらかじめ包括的に定める行動計画に相当します。一方、プレイヤーたちが同時に意思決定を行う静学ゲームでは、すべてのプレイヤーが同時に1度だけ意志決定を行うため、それぞれのプレイヤーは複数の経路を想定する必要がありません。
また、ゲームのルールが共有知識である完備情報ゲームでは、すべてのプレイヤーはゲームのルールについて確かな認識を持っているため、それぞれのプレイヤーはゲームのルールに関して起こり得る複数の状態を想定する必要がありません。一方、不完備情報ゲームでは少なくとも1人のプレイヤーがゲームのルールを構成する少なくとも1つの要素を知らないため、その場合のプレイヤーの戦略とは、実現し得るルールのあらゆる状態を想定した上で、それぞれの状態において自分がどのような行動を選ぶかをあらかじめ包括的に定める行動計画に相当します。
ベイジアンゲームにおける純粋戦略
問題としている戦略的状況が不完備情報の静学ゲームであるならば、それはベイジアンゲーム\(G\)として記述できます。仮にすべてのプレイヤーが真の状態\(\theta _{I}^{\ast }\)を把握しており、なおかつそのことが共有知識であるならば、プレイヤーたちが直面する状況は真の状態のもとでの状態ゲーム\(G\left( \theta _{I}^{\ast }\right) \)として記述できます。状態ゲーム\(G\left( \theta _{I}^{\ast }\right) \)は戦略型ゲームであるため、そこでのプレイヤーの戦略とは単純にプレイヤーが選択可能な行動の中から1つの行動を選ぶことを意味します。ただ、実際にはベイジアンゲーム\(G\)において真の状態\(\theta _{I}^{\ast }\)を把握しているプレイヤーは存在せず、それぞれのプレイヤー\(i\)は真の状態\(\theta _{I}^{\ast }=\left( \theta _{i}^{\ast },\theta _{-i}^{\ast}\right) \)に関する断片的な知識\(\theta _{i}^{\ast }\)しか持ち合わせていないため、プレイヤーは複数の状態ゲームに直面し得る中で意思決定を行う必要があります。具体的には、真のタイプが\(\theta _{i}^{\ast }\)であるようなプレイヤー\(i\)が直面し得る状態ゲームからなる集合は、\begin{equation*}\left\{ G\left( \theta _{i}^{\ast },\theta _{-i}\right) \right\} _{\theta
_{-i}\in \Theta _{-i}}
\end{equation*}です。ただし、プレイヤー\(i\)はそれぞれの状態ゲームに対してそこで選択する行動をあらかじめ指定することはできません。なぜなら、プレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)を観察できず、ゆえに自分が\(\left\{ G\left( \theta _{i}^{\ast },\theta_{-i}\right) \right\} _{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\)に属するどの状態ゲームをプレーしているか判別できないからです。したがって、プレイヤー\(i\)は特定の行動\(a_{i}\)を事前に選び、その1つの行動のもとで自分が直面し得る\(\left\{ G\left( \theta _{i}^{\ast },\theta _{-i}\right) \right\} _{\theta_{-i}\in \Theta _{-i}}\)に属するすべての状態ゲームに備えなければなりません。
プレイヤー\(i\)は自身のタイプ\(\theta _{i}\)の真の値\(\theta_{i}^{\ast }\)を知っているため、\(\theta _{i}^{\ast }\)のもとで直面し得る状態ゲームの集合\(\left\{ G\left( \theta _{i}^{\ast },\theta _{-i}\right)\right\} _{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\)に対してのみ1つの行動を定めればよいと考えるかもしれませんが、この考えは誤りです。他のプレイヤー\(j\ \left(\not=i\right) \)の視点から考えてみると、プレイヤー\(j\)にとっての最適な行動はプレイヤー\(i\)の行動に依存するため、プレイヤー\(j\)はプレイヤー\(i\)の行動を予想しながら自身の行動を決定します。プレイヤー\(i\)の行動は自身のタイプ\(\theta _{i}\)に依存しますが、プレイヤー\(j\)はプレイヤー\(i\)の真のタイプ\(\theta _{i}^{\ast }\)を知らない以上、\(\Theta _{i}\)に属するそれぞれのタイプごとにそこでのプレイヤー\(i\)の行動を予想した上で、その予想を踏まえた上で自身の行動を決定します。つまり、プレイヤー\(j\)の行動はプレイヤー\(i\)のそれぞれのタイプのもとでの行動に依存します。逆に、プレイヤー\(i\)の最適な行動はプレイヤー\(j\)の行動に依存しますが、プレイヤー\(j\)の行動がプレイヤー\(i\)のそれぞれのタイプのもとでの行動に依存する以上、プレイヤー\(i\)が自身の最適な行動を考えるためには、プレイヤー\(i\)は自身のタイプ\(\theta _{i}^{\ast }\)とは限らない自身のそれぞれのタイプにおいて自分が何をするであろうか考える必要があります。つまり、真のタイプ\(\theta _{i}^{\ast }\)とは異なる任意のタイプ\(\theta _{i}\)についても、プレイヤー\(i\)はその場合の行動をあらかじめ定める必要があります。
以上を踏まえると、ベイジアンゲーム\(G\)においてそれぞれのプレイヤーは、自身のそれぞれのタイプごとに自身が選択するであろう行動を定める必要があります。具体的には、ベイジアンゲーム\(G\)におけるプレイヤー\(i\)の戦略は、自身のそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)に対して、そのときに自分が選択するであろう行動\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \in A_{i}\)を1つずつ指定する写像\begin{equation*}s_{i}:\Theta _{i}\rightarrow A_{i}
\end{equation*}として定式化されます。このような行動計画\(s_{i}\)をプレイヤーの純粋戦略（pure strategy）と呼びます。
プレイヤー\(i\)が純粋戦略\(s_{i}\)を採用する状況を想定します。プレイヤー\(i\)のタイプが\(\theta_{i}\)である場合、先の純粋戦略\(s_{i}\)のもとで行動\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \)を選択することになります。同時に、タイプ\(\theta _{i}\)のプレイヤー\(i\)が直面し得るすべての状態ゲームからなる集合は、\begin{equation*}\left\{ G\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \right\} _{\theta _{-i}\in
\Theta _{-i}}
\end{equation*}です。プレイヤー\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)である場合、先の1つの行動\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \)のもとで、上の集合に属するすべての状態ゲームに備えることになります。なぜなら、プレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)を観察できず、自分が\(\left\{ G\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \right\} _{\theta_{-i}\in \Theta _{-i}}\)に属するどの状態ゲームをプレーするか判別できないからです。プレイヤー\(i\)の任意のタイプについて同様の議論が成立します。
すべてのプレイヤーの純粋戦略からなる組を\(s_{I}=(s_{i})_{i\in I}\)で表し、プレイヤー\(i\)以外のプレイヤーたちの純粋戦略からなる組を\(s_{-i}=(s_{j})_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }\)で表します。\(s_{I}=\left( s_{i},s_{-i}\right) \)です。
プレイヤー\(i\)が選択可能なすべての純粋戦略からなる集合をプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合（pure strategy set）や戦略集合（strategy set）または戦略空間（strategy space）などと呼び、これを\(S_{i}\)で表記します。\(s_{i}\in S_{i}\)です。すべてのプレイヤーの戦略集合の直積を\(S_{I}=\prod_{i\in I}S_{i}\)で表記します。また、\(S_{-i}=\prod_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }S_{j}\)とします。\(s_{I}\in S_{I}\)かつ\(s_{-i}\in S_{-i}\)です。
\end{equation*}であり、行動集合が、\begin{equation*}
A_{1}=A_{2}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であり、タイプ集合が、\begin{eqnarray*}
\Theta _{1} &=&\left\{ \theta _{11}\right\} \\
\Theta _{2} &=&\left\{ \theta _{21},\theta _{22}\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、状態集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left( \theta _{11},\theta _{21}\right) ,\left( \theta _{11},\theta
_{22}\right) \right\}
\end{equation*}です。状態ゲーム\(G\left(\theta _{11},\theta _{21}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,1 & 0,0 \\ \hline
b & 0,0 & 1,2 \\ \hline
\end{array}$$
として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{22}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,0 & 0,2 \\ \hline
b & 0,1 & 1,0 \\ \hline
\end{array}$$
としてそれぞれ与えられているものとします。プレイヤー\(1\)の純粋戦略は、\begin{equation*}s_{1}:\Theta _{1}\rightarrow A_{1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
s_{1}:\left\{ \theta _{11}\right\} \rightarrow \left\{ a,b\right\}
\end{equation*}として定式化されます。プレイヤー\(1\)の純粋戦略としては、\begin{equation*}s_{11}\left( \theta _{11}\right) =a
\end{equation*}を満たす\(s_{11}\)と、\begin{equation*}s_{12}\left( \theta _{11}\right) =b
\end{equation*}を満たす\(s_{12}\)の2つが存在します。したがって、プレイヤー\(1\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{1}=\left\{ s_{11},s_{12}\right\}
\end{equation*}です。プレイヤー\(2\)の純粋戦略は、\begin{equation*}s_{2}:\Theta _{2}\rightarrow A_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
s_{2}:\left\{ \theta _{21},\theta _{22}\right\} \rightarrow \left\{
a,b\right\}
\end{equation*}として定式化されます。プレイヤー\(2\)の純粋戦略としては、\begin{eqnarray*}s_{21}\left( \theta _{21}\right) &=&a \\
s_{21}\left( \theta _{22}\right) &=&a
\end{eqnarray*}をともに満たす\(s_{21}\)と、\begin{eqnarray*}s_{22}\left( \theta _{21}\right) &=&a \\
s_{22}\left( \theta _{22}\right) &=&b
\end{eqnarray*}をともに満たす\(s_{22}\)と、\begin{eqnarray*}s_{23}\left( \theta _{21}\right) &=&b \\
s_{23}\left( \theta _{22}\right) &=&a
\end{eqnarray*}をともに満たす\(s_{23}\)と、\begin{eqnarray*}s_{24}\left( \theta _{21}\right) &=&b \\
s_{24}\left( \theta _{22}\right) &=&b
\end{eqnarray*}をともに満たす\(s_{24}\)の4つが存在します。したがって、プレイヤー\(2\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{2}=\left\{ s_{21},s_{22},s_{23},s_{24}\right\}
\end{equation*}です。
\end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\in I\)の商品への評価額\(\theta _{i}\)は私的情報であり、これは\(\underline{\theta }_{i}\)以上\(\overline{\theta }_{i}\)以下の任意の実数を値としてとり得るものとします。プレイヤー\(i\)のタイプ集合は、\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\)の行動\(a_{i}\)は入札額、任意の非負の実数を入札できるものとします。プレイヤー\(i\)の行動集合は、\begin{equation*}A_{i}=[0,+\infty )
\end{equation*}です。ただし、\begin{equation*}
\Theta _{i}\subset A_{i}
\end{equation*}が成り立つものとします。入札者たちが提示する入札額の組が\(a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}\)であるとき、\begin{equation*}a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{equation*}を満たす1人の入札者\(i\)が商品を落札し、自身の入札額\(a_{i}\)に等しい金額を支払うものとします。他の任意の入札者\(j\ \left( \not=i\right) \)は商品を落札できず、支払いも行いません。状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)における入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(a_{I}\in A\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\theta _{i}-a_{i} & \left( if\ a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots
,a_{n}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ a_{i}<\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略は、\begin{equation*}s_{i}:\Theta _{i}\rightarrow A_{i}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
s_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \lbrack 0,+\infty )
\end{equation*}として定式化されます。つまり、プレイヤー\(i\)による商品への評価額が\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)である場合、純粋戦略\(s_{i}\)のもとで金額\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \in \lbrack0,+\infty )\)を入札するということです。以下の条件\begin{equation*}\forall \theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] :s_{i}\left( \theta _{i}\right) =\theta _{i}
\end{equation*}が成り立つ場合、すなわち、プレイヤー\(i\)は常に商品への評価額\(\theta _{i}\)をそのまま正直に入札する場合、このような純粋戦略\(s_{i}\)を正直戦略（honest strategy）と呼びます。
純粋戦略の組のもとで実現する利得
ベイジアンゲーム\(G\)において、プレイヤーたちが選択する純粋戦略からなる\(s_{I}\in S_{I}\)であるものとします。状態が\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)であるとき、プレイヤーたちが選択する行動からなる組は、\begin{equation*}s_{I}\left( \theta _{I}\right) =\left( s_{1}\left( \theta _{1}\right)
,\cdots ,s_{n}\left( \theta _{n}\right) \right) \in A_{I}
\end{equation*}です。状態が\(\theta _{I}\)であるときのプレイヤー\(i\in I\)の利得関数は\begin{equation*}u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A_{I}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるため、以上の結果からプレイヤー\(i\)が得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) =u_{i}\left(
s_{1}\left( \theta _{1}\right) ,\cdots ,s_{n}\left( \theta _{n}\right)
,\theta _{I}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}となります。
\end{equation*}であり、行動集合が、\begin{equation*}
A_{1}=A_{2}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であり、タイプ集合が、\begin{eqnarray*}
\Theta _{1} &=&\left\{ \theta _{11}\right\} \\
\Theta _{2} &=&\left\{ \theta _{21},\theta _{22}\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、状態集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left( \theta _{11},\theta _{21}\right) ,\left( \theta _{11},\theta
_{22}\right) \right\}
\end{equation*}です。状態ゲーム\(G\left(\theta _{11},\theta _{21}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,1 & 0,0 \\ \hline
b & 0,0 & 1,2 \\ \hline
\end{array}$$
として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{22}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,0 & 0,2 \\ \hline
b & 0,1 & 1,0 \\ \hline
\end{array}$$
としてそれぞれ与えられているものとします。以上のゲームにおいて、プレイヤー\(1\)は以下の条件\begin{equation*}s_{11}\left( \theta _{11}\right) =a
\end{equation*}を満たす純粋戦略\(s_{11}\in S_{1}\)を採用し、プレイヤー\(2\)は以下の条件\begin{eqnarray*}s_{21}\left( \theta _{21}\right) &=&a \\
s_{21}\left( \theta _{22}\right) &=&a
\end{eqnarray*}を満たす純粋戦略\(s_{21}\in S_{2}\)を採用する状況を想定します。状態が\(\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)である場合、プレイヤー\(1\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( s_{11}\left( \theta _{11}\right) ,s_{21}\left( \theta
_{21}\right) ,\theta _{11},\theta _{21}\right) &=&u_{1}\left( a,a,\theta
_{11},\theta _{21}\right) \quad \because s_{11},s_{21}\text{の定義} \\
&=&2\quad \because u_{1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であり、プレイヤー\(2\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{2}\left( s_{11}\left( \theta _{11}\right) ,s_{21}\left( \theta
_{21}\right) ,\theta _{11},\theta _{21}\right) &=&u_{2}\left( a,a,\theta
_{11},\theta _{21}\right) \quad \because s_{11},s_{21}\text{の定義} \\
&=&1\quad \because u_{2}\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。状態が\(\left( \theta _{11},\theta_{22}\right) \)である場合、プレイヤー\(1\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( s_{11}\left( \theta _{11}\right) ,s_{21}\left( \theta
_{22}\right) ,\theta _{11},\theta _{22}\right) &=&u_{1}\left( a,a,\theta
_{11},\theta _{22}\right) \quad \because s_{11},s_{21}\text{の定義} \\
&=&2\quad \because u_{1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であり、プレイヤー\(2\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{2}\left( s_{11}\left( \theta _{11}\right) ,s_{21}\left( \theta
_{22}\right) ,\theta _{11},\theta _{22}\right) &=&u_{2}\left( a,a,\theta
_{11},\theta _{22}\right) \quad \because s_{11},s_{21}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because u_{2}\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\in I\)の商品への評価額\(\theta _{i}\)は私的情報であり、これは\(\underline{\theta }_{i}\)以上\(\overline{\theta }_{i}\)以下の任意の実数を値としてとり得るものとします。プレイヤー\(i\)のタイプ集合は、\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\)の行動\(a_{i}\)は入札額、任意の非負の実数を入札できるものとします。プレイヤー\(i\)の行動集合は、\begin{equation*}A_{i}=[0,+\infty )
\end{equation*}です。ただし、\begin{equation*}
\Theta _{i}\subset A_{i}
\end{equation*}が成り立つものとします。入札者たちが提示する入札額の組が\(a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}\)であるとき、\begin{equation*}a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{equation*}を満たす1人の入札者\(i\)が商品を落札し、自身の入札額\(a_{i}\)に等しい金額を支払うものとします。他の任意の入札者\(j\ \left( \not=i\right) \)は商品を落札できず、支払いも行いません。状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)における入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(a_{I}\in A\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\theta _{i}-a_{i} & \left( if\ a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots
,a_{n}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ a_{i}<\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。以上のゲームにおいて、任意のプレイヤー\(i\in I\)が正直戦略\(s_{i}\)を採用する状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta _{i}\right) =\theta
_{i}
\end{equation*}を満たす\(s_{i}\)を採用するということです。以下の条件\begin{equation*}\theta _{i}=\max \left\{ \theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right\}
\end{equation*}を満たす状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)に注目します。つまり、プレイヤー\(i\)による商品への評価額が最大である状況を想定するということです。この場合、プレイヤー\(i\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,s_{-i}\left( \theta _{-i}\right)
,\theta _{I}\right) &=&u_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i},\theta
_{I}\right) \quad \because \text{正直戦略の定義} \\
&=&\theta _{i}-s_{i}\left( \theta _{i}\right) \quad \because u_{i}\text{の定義} \\
&=&\theta _{i}-\theta _{i}\quad \because \text{正直戦略の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方で、他の任意のプレイヤー\(j\ \left(\not=i\right) \)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{j}\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,s_{-i}\left( \theta _{-i}\right)
,\theta _{I}\right) &=&u_{j}\left( \theta _{i},\theta _{-i},\theta
_{I}\right) \quad \because \text{正直戦略の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}であり、行動集合が、\begin{equation*}
A_{1}=A_{2}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であり、タイプ集合が、\begin{eqnarray*}
\Theta _{1} &=&\left\{ \theta _{11}\right\} \\
\Theta _{2} &=&\left\{ \theta _{21},\theta _{22}\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、状態集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left( \theta _{11},\theta _{21}\right) ,\left( \theta _{11},\theta
_{22}\right) \right\}
\end{equation*}です。状態ゲーム\(G\left(\theta _{11},\theta _{21}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,1 & 0,0 \\ \hline
b & 0,0 & 1,2 \\ \hline
\end{array}$$
として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{22}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,0 & 0,2 \\ \hline
b & 0,1 & 1,0 \\ \hline
\end{array}$$
としてそれぞれ与えられているものとします。以上のゲームにおいて、プレイヤー\(1\)は以下の条件\begin{equation*}s_{12}\left( \theta _{11}\right) =b
\end{equation*}を満たす純粋戦略\(s_{12}\in S_{1}\)を採用し、プレイヤー\(2\)は以下の条件\begin{eqnarray*}s_{22}\left( \theta _{21}\right) &=&a \\
s_{22}\left( \theta _{22}\right) &=&b
\end{eqnarray*}を満たす純粋戦略\(s_{22}\in S_{2}\)を採用する状況を想定します。それぞれの状態においてそれぞれのプレイヤーが得る利得を明らかにしてください。
\end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\in I\)の商品への評価額\(\theta _{i}\)は私的情報であり、これは\(\underline{\theta }_{i}\)以上\(\overline{\theta }_{i}\)以下の任意の実数を値としてとり得るものとします。プレイヤー\(i\)のタイプ集合は、\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\)の行動\(a_{i}\)は入札額、任意の非負の実数を入札できるものとします。プレイヤー\(i\)の行動集合は、\begin{equation*}A_{i}=[0,+\infty )
\end{equation*}です。ただし、\begin{equation*}
\Theta _{i}\subset A_{i}
\end{equation*}が成り立つものとします。入札者たちが提示する入札額の組が\(a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}\)であるとき、\begin{equation*}a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{equation*}を満たす1人の入札者\(i\)が商品を落札し、自身の入札額\(a_{i}\)に等しい金額を支払うものとします。他の任意の入札者\(j\ \left( \not=i\right) \)は商品を落札できず、支払いも行いません。状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)における入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(a_{I}\in A\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\theta _{i}-a_{i} & \left( if\ a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots
,a_{n}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ a_{i}<\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。以上のゲームにおいて、全員が「自身にとっての商品の評価額の半額を常に入札する」という純粋戦略を採用する状況を想定します。以下の条件\begin{equation*}
\theta _{i}=\max \left\{ \theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right\}
\end{equation*}を満たす状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)においてそれぞれのプレイヤーが得る利得を明らかにしてください。
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