上界・下界
順序部分集合の上限・下限
非空な順序部分集合が上に有界であるとともに、上界からなる集合が最小元を持つ場合、それを上限と呼びます。また、非空な順序部分集合が下に有界であるとともに、下界からなる集合が最大元を持つ場合、それを下限と呼びます。
3重積分
一般の領域上に定義された3変数関数の3重積分
直方体領域とは限らない一般の領域上に定義された3変数関数が3重リーマン積分可能であるための条件を特定するとともに、3重リーマン積分を具体的に導出する方法を解説します。
2重積分
一般の領域上に定義された2変数関数の2重積分
長方形領域とは限らない一般の領域上に定義された2変数関数が2重リーマン積分可能であるための条件を特定するとともに、2重リーマン積分を具体的に導出する方法を解説します。
フビニの定理
逐次積分を用いた多重積分の特定（フビニの定理）
有界かつ閉な直方体上に定義された多変数関数が連続である場合、関数は多重積分かつ逐次積分可能であるとともに、逐次積分の値は多重積分の値と一致します。これをフビニの定理と呼びます。
累次積分
多変数関数の逐次積分（累次積分）の定義
多変数関数を1変数関数とみなした上でリーマン積分をとり、得られた関数を再び1変数関数とみなした上でリーマン積分をとる、という操作をすべての変数に対して繰り返すことにより得られる値を逐次積分と呼びます。
平面
曲面（媒介変数曲面）の定義とその表現
曲面（パラメータ付き曲面）という概念は2変数のベクトル値関数の地域として定義されます。曲面はベクトル方程式は媒介変数表示、方程式などを用いて表現することもできます。
反例
反例による反証
変数xの自由な現れを持つ論理式A(x)に関する全称命題が偽であることを示すために、命題A(x)が偽になるような値xを具体的に提示する証明方法を反例による反証と呼びます。
全称命題
構成的証明
変数xの自由な現れを持つ論理式A(x)に関する存在命題が真であることを示すために、命題A(x)が真になるような値xを具体的に提示する証明方法を構成的証明と呼びます。
媒介変数曲線
カルテシアン座標系
直交座標系（カルテシアン座標系）
空間上に存在する点の位置を特定するために、それぞれの点に対して付与される数の組を座標と呼びます。最も基本的な座標系である直交座標系について解説します。
リーマン積分
媒介変数曲線とy軸によって囲まれる領域の面積と積分
平面上に存在する曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線とy軸によって囲まれる領域の面積をリーマン積分を用いて求める方法を解説します。
リーマン積分
媒介変数曲線とx軸によって囲まれる領域の面積と積分
平面上に存在する曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線とx軸によって囲まれる領域の面積をリーマン積分を用いて求める方法を解説します。
サイクロイド
サイクロイドの微分
平面上に存在するサイクロイドが媒介変数表示されている状況において、サイクロイド上に存在する点のx座標とy座標の値の関係を微分を用いて評価する方法を解説します。
媒介変数曲線
リーマン積分
変数yに関する2つの関数のグラフに囲まれた領域の面積
有界閉区間上に定義された変数yに関する2つの連続関数のグラフによって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。
リーマン積分
変数yに関する関数のグラフとy軸によって囲まれる領域の面積と積分
有界閉区間上に定義された変数yに関する連続関数とy軸によって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。
リーマン積分
変数xに関する2つの関数のグラフに囲まれた領域の面積
有界閉区間上に定義された変数xに関する2つの連続関数のグラフによって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。
リーマン積分
変数xに関する関数のグラフとx軸によって囲まれる領域の面積と積分
有界閉区間上に定義された変数xに関する連続関数とx軸によって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。
ルベーグの定理
ルベーグ積分に関する微分積分学の第2基本定理
絶対連続関数を対象とした場合、ルベーグ積分に関しても微分積分学の第2基本定理は成立します。つまり、有界閉区間上に定義された絶対連続関数の導関数をルベーグ積分すると関数の変化量が得られます。
ルベーグの定理
ルベーグ積分に関する微分積分学の第1基本定理
ルベーグ積分に関しても微分積分学の第1基本定理は成立します。つまり、区間[a,b]上においてルベーグ積分可能な関数fが与えられたとき、区間[a,b]上の点xを任意に選んだ上で関数fを区間[a,x]上でルベーグ積分して得られた結果を微分すると、関数fが点xに対して定める値f(x)が得られます。
平均値の定理
微分を用いた絶対連続性の判定方法
有界閉区間上に定義された関数が定義域上で連続であり、定義域の内部である有界開区間上で微分可能であり、なおかつ導関数が有界である場合、その関数は絶対連続になることが保証されます。
ルベーグの定理
絶対連続関数の微分可能性
有界閉区間上に定義された絶対連続関数は定義域上のほとんどいたるところで微分可能です。リプシッツ関数は絶対連続関数であるため、有界閉区間上に定義されたリプシッツ関数もまたほとんどいたるところで微分可能です。
カントール関数
カントール関数
有界変動関数と絶対連続関数の関係
有界閉区間上に定義された絶対連続関数は有界変動関数ですが、有界変動関数は絶対連続関数であるとは限りません。また、絶対連続関数は2つの単調増加な連続関数の差として表されます。
有界変動関数
有界変動関数と連続関数の関係
有界閉区間上に定義された有界変動関数は連続であるとは限らず、逆に、連続関数は有界変動であるとは限りません。その一方で、有界変動関数はほとんどいたるところで連続です。
リプシッツ関数
リプシッツ関数と絶対連続関数の関係
有界閉区間上に定義されたリプシッツ関数は絶対連続関数であることが保証される一方で、絶対連続関数はリプシッツ関数であるとは限りません。絶対連続関数は一様連続であり、一様連続関数は連続であるため、リプシッツ関数は一様連続かつ連続です。
一様連続関数
絶対連続関数と一様連続関数の関係
有界閉区間上に定義された絶対連続関数は一様連続であることが保証される一方で、一様連続関数は絶対連続関数であるとは限りません。一様連続関数は連続であるため、絶対連続関数は連続です。
リプシッツ関数
リプシッツ関数
リプシッツ関数（リプシッツ連続関数）の概念を定義するとともに、その意味を解説します。加えて、関数がリプシッツ連続であること、リプシッツ連続ではないことを判定する方法を解説します。
絶対連続関数
単調関数
加法性
有界変動関数の全変動の加法性
関数が有界閉区間上で有界変動であることと、それぞれの小区間において有界変動であることが必要十分です。しかも、それぞれの小区間における全変動の総和をとれば、もとの区間における全変動が得られます。
有界変動関数
有界な関数
有界変動関数
有界変動関数
関数の定義域である有界閉区間をどのような形で分割した場合においても、それぞれの小区間における関数の値の差の総和が有限な値に収まる場合、その関数は有界変動であると言います。
カントール関数
カントール関数
カントール関数（カントール・ルベーグ関数）
カントール集合の要素はいずれも小数点以下が0または2であるような3進数として一意的に表現されますが、それを2進数に変換する関数をカントール関数と呼びます。カントール関数は全射かつ単調増加かつ連続です。
カントール集合
カントール集合
カントール集合を定義するとともに、3進展開を用いてカントール集合を特徴づけます。カントール集合は非空なコンパクト集合であるとともに、非可算集合であるような零集合でもあります。
ボレル可測関数
単調関数は可測関数（ルベーグ可測・ボレル可測）
ルベーグ可測集合上に定義された単調増加関数や単調減少関数はルベーグ可測です。また、ボレル集合上に定義された単調増加関数や単調減少関数はボレル可測です。
