有界な複素数列と収束する複素数列の関係
複素数列のすべての項からなる集合が有界である場合、それを有界な複素数列と呼びます。収束する複素数列は有界である一方で、有界な複素数列は収束するとは限りません。
複素数体上の順序
複素数体は全順序体にはなり得ません。つまり、複素数加法と複素数乗法に加えていかなる二項関係を定義した場合でも、複素数集合は全順序体にはなりません。ただし、複素数集合上に全順序や半順序を定義することはできます。
実数列を用いた複素数列の収束判定
複素数列が収束することと、実部の実数列と虚部の実数列がともに収束することは必要十分であるため、実数列の知識を駆使して複素数列の極限を特定できます。
複素数列の極限（収束する複素数列）
複素数列の項が先に進むにつれてある複素数に限りなく近づく場合には、その複素数列は収束すると言い、その複素数を複素数列の極限と呼びます。イプシロン・エヌ論法を用いて収束列の概念を厳密に定義します。
複素数列の定義と具体例
複素数を順番に並べたものを複素数列と呼びます。複素数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、すべての複素数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。
複素平面上の距離（1次元複素ユークリッド空間）
複素平面上の2つの点の間のユークリッド距離を定義した上で、距離の性質について解説します。距離が定義された複素平面を1次元複素ユークリッド空間と呼びます。
複素数の根（係数と変数が複素数である2次方程式の解）
複素数のn乗根を求める方法を解説します。その上で、係数と変数がともに複素数であるような2次方程式の解を求める方法を解説します。
共役複素数（複素共役）
複素数の実部を固定したまま虚部の符号を反転させることにより得られる複素数をもとの複素数の共役複素数や複素共役などと呼びます。共役複素数の性質について解説します。
複素数と実数の関係（虚数単位を用いた複素数の表現）
虚部がゼロであるような複素数を実数と同一視する場合、実数空間は虚数空間の部分体になります。その上で、複素数を虚数単位を用いて表記すれば複素数どうしの演算が容易になります。
複素数の極形式（極表示）
複素平面上の複素数と原点の間の距離を複素数の絶対値と呼び、複素平面の実部と動径のなす角を偏角と呼びます。絶対値と偏角を指定することを通じて複素数を表現する手法を極形式と呼びます。
距離空間上のリプシッツ写像による集合の像
距離空間上に定義されたリプシッツ写像はコンパクト集合をコンパクト集合へ移し、全有界集合を全有界集合へ移し、有界集合を有界集合へ移します。
距離空間上の写像の一様連続性とリプシッツ写像の関係
距離空間もしくはその部分集合上に定義された写像がリプシッツ写像である場合には、その写像は一様連続です。その一方で、一様連続写像はリプシッツ写像であるとは限りません。
点列を用いた距離空間上の全有界集合の判定
距離空間の部分集合が全有界集合であることと、その集合上の任意の点列がコーシー列であるような部分列を持つことは必要十分です。また、距離空間が全有界であることと、その距離空間上の任意の点列がコーシー列であるような部分列を持つことは必要十分です。
距離空間上のリプシッツ写像
距離空間上に定義された写像がリプシッツ写像であることの意味を定義するとともに、写像がリプシッツ写像であること、ないしリプシッツ写像ではないことを判定する方法を解説します。
距離空間上の一様連続写像による集合の像
距離空間上に定義された一様連続写像によるコンパクト集合の像もまたコンパクト集合です。また、一様連続写像による全有界集合の像もまた全有界集合です。
距離空間上の写像の連続性と一様連続性の関係
距離空間もしくはその部分集合上に定義された一様連続写像は連続である一方で、連続写像は一様連続であるとは限りません。ただし、コンパクト集合上に定義された連続写像は一様連続になります。
点列を用いた写像の一様連続性の判定
距離空間上に定義された写像が一様連続であることを点列を用いて判定する方法を解説します。また、一様連続写像はコーシー列をコーシー列へ移すことを示します。
距離空間上の写像の一様連続性（一様連続写像）
距離空間上に定義された写像が一様連続であることの意味を定義するとともに、写像が一様連続であること、ないし一様連続ではないことを判定する方法について解説します。
距離空間上の写像に関する最大値・最小値の定理
距離空間の部分集合上に定義され実数を値としてとる写像が連続であるとともに定義域がコンパクト集合である場合、その写像の最大値と最小値が存在します。
距離空間上の連続写像による集合の像
距離空間上に定義された連続写像によるコンパクト集合の像もまたコンパクト集合です。コンパクト集合は有界な閉集合であるため、連続写像によるコンパクト集合の像は有界な閉集合です。
距離空間上の写像の絶対値（ノルム）の連続性
距離空間上に定義された複数の写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに連続である場合、それらの写像の絶対値（ノルム）として定義される写像もまた連続になります。
距離空間上の写像どうしの積（内積）の連続性（積の法則）
距離空間上に定義された複数の写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに連続である場合、それらの写像の積（内積）として定義される写像もまた連続になります。
距離空間と可分空間
距離空間が可算集合であるような稠密部分集合を持つ場合、そのような距離空間を可分空間と呼びます。距離空間が可分であること、第2可算公理を満たすこと、リンデレーフ空間であることは必要十分です。
距離空間の稠密部分集合
距離空間の部分集合の閉包が距離空間と一致する場合、そのような部分集合を稠密部分集合と呼びます。距離空間上の点を任意に選んだとき、その点のいくらでも近い場所に稠密部分集合の要素が無数に存在します。
距離空間とリンデレーフの被覆定理
距離空間において任意の開被覆が可算部分被覆を持つ場合、そのような距離空間をリンデレーフ空間と呼びます。距離空間がリンデレーフ空間であることと、その距離空間が第2可算公理を満たすことは必要十分です。
距離空間と第2可算公理
距離空間の開集合系の可算な部分集合が存在し、任意の開集合をその部分集合に属する開集合の和集合として表現できる場合、その距離空間は第2可算公理を満たすと言います。
距離空間における連結集合・非連結集合（連結距離空間・非連結距離空間）
距離空間の部分集合の切断が存在する場合、その集合を非連結集合と呼びます。また、非連結集合ではない集合を連結集合と呼びます。非連結な距離空間を非連結距離空間と呼び、連結な距離空間を連結距離空間と呼びます。
距離空間において分離している2つの集合
距離空間の2つの部分集合が互いに素であるとともに、どちらも相手の集積点を要素として持たない場合、それらの集合は分離していると言います。分離の概念は触点や開集合を用いて表現することもできます。
完備な全有界集合としての距離空間上のコンパクト集合（コンパクト距離空間）
距離空間Xの部分集合Aが完備かつ全有界であることは、Aがコンパクト集合であることと必要十分です。以上の結果はハイネ・ボレルの被覆定理の一般化です。
距離空間上の点列コンパクト集合（点列コンパクト距離空間）
距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、A上の任意の点列がAの点へ収束する部分列を持つ場合にはAを点列コンパクト集合と呼びます。距離空間の部分集合が点列コンパクトであることとコンパクトであることは必要十分です。
集積点を用いた距離空間上のコンパクト集合の表現（集積点定理）
距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Aの任意の無限部分集合がA上に集積点を持つことは、AがX上のコンパクト集合であるための必要十分条件です。
距離空間上のコンパクト集合（コンパクト距離空間）の定義と具体例
距離空間の部分集合の任意の開被覆が有限部分被覆を持つ場合、そのような集合をコンパクト集合と呼びます。また、コンパクト集合であるような距離空間をコンパクト距離空間と呼びます。
距離空間における全有界集合（全有界な距離空間）
距離空間の部分集合に対して正の実数を任意に選んだとき、その実数を半径とする有限個の近傍によってその集合を必ず覆うことができる場合、そのような集合は全有界であると言います。全有界な集合は有界である一方で、有界な集合は全有界であるとは限りません。
距離空間における有界集合（有界な距離空間）
距離空間の部分集合の直径が有限な実数として定まる場合、その集合は有界であると言います。有界であることは距離や近傍を用いて表現することもできます。
部分距離空間上の点列の収束可能性
部分距離空間上の点列が収束する場合、その点列はもとの距離空間上においても収束します。その一方で、部分距離空間上の点列がもとの距離空間上において収束する場合、その点列は部分空間上において収束するとは限りません。
直積距離空間の定義と具体例
有限個の距離空間の直積上に定義される距離関数を直積距離と呼びます。また、距離空間の直積と直積距離の組を直積距離空間と呼びます。マンハッタン直積距離、ユークリッド直積距離、チェビシェフ直積距離などは直積距離です。
