関数列の定義
定義域を共有する無限個の関数を順番に並べたものを関数列と呼びます。関数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、定義域を共有するすべての関数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。
定義域を共有する無限個の関数を順番に並べたものを関数列と呼びます。関数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、定義域を共有するすべての関数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)を特定の変数に関して偏微分することとは、他の変数の値を固定することで得られる1変数のベクトル値関数をシンプルな1次式で近似する(線型近似)ことを意味します。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)を偏微分するプロセスは1変数のベクトル値関数(曲線)を微分するプロセスと実質的に等しいため、偏微分を行う際には微分に関する諸々の公式を活用できます。
ベクトル値関数を微分することとは、その関数をシンプルな1次式で近似する(線型近似)ことを意味します。その意味をランダウの記号や無限小などの概念を用いて解説します。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)が定義域上の点においてすべての変数に関して偏微分可能である場合、その点におけるそれぞれの成分関数のそれぞれの変数に関する偏微分係数を成分とする行列が存在します。これをヤコビ行列と呼びます。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)が与えられたとき、1つの変数以外のすべての変数の値を固定し、あたかも1変数のベクトル値関数であるかのようにみなした上で定義される微分概念を偏微分と呼びます。
1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数が収束するための条件および極限を具体的に求める方法について解説します。
多変数のベクトル値関数(ベクトル場)の変数を定義域上の点へ限りなく近づけた場合の極限が、その点に対して関数が定める値と一致するとき、その関数はその点において連続であると言います。
関数の極限が不定形である場合でも、関数の極限公式を用いることにより不定形を解消できる場合があります。三角関数やネイピア数に関する極限公式を用いて不定形を解消する方法を解説します。
関数の極限が不定形である場合でも、関数を変形してから極限をとることにより不定形を解消できる場合があります。約分、因数分解、有理化などを通じて不定形を解消する方法を解説します。
関数の関数べき乗として定義される関数について、底に相当する関数が無限大へ発散する一方で指数に相当する関数が0へ収束する場合、もとの関数の極限を∞0型の不定形と呼びます。
関数の関数べき乗として定義される関数について、底に相当する関数と指数に相当する関数がともに0へ収束する場合、もとの関数の極限を00型の不定形と呼びます。
距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がAとAの補集合の双方と交わるならば、aをAの境界点と呼びます。また、Aのすべての境界点からなる集合をAの境界と呼びます。
距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Xの点aを中心とする開近傍の中にAの補集合の部分集合になるものが存在するならば、aをAの外点と呼びます。また、Aのすべての外点を集めてできる集合をAの外部と呼びます。
関数の関数べき乗として定義される関数について、底に相当する関数が1へ収束する一方で指数に相当する関数が無限大へ発散する場合、もとの関数の極限を1^∞型の不定形と呼びます。
ネイピア数(オイラー数、自然対数の定)を数列の極限として定義するとともに、それが複利で元本を運用する場合の元本の増加率の極限として解釈可能であることを示します。
2つの関数の差として定義されている関数について、2つの関数がともに正の無限大へ発散する場合、もしくはともに負の無限大へ発散する場合、もとの関数の極限を∞-∞型の不定形と呼びます。不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。
0/0型の不定形の極限が有限な実数として定まるかを判定する際に、一定の条件のもとでは微分を利用できます。これをロピタルの定理と呼びます。
2つの関数の積として定義されている関数について、一方がゼロへ収束する一方で他方が無限大へ発散する場合、もとの関数の極限を0×∞型の不定形と呼びます。不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。
2つの関数の商として定義されている関数について、分子の関数と分母の関数がともに無限大へ発散する場合、もとの関数の極限を∞/∞型の不定形と呼びます。不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。
2つの関数の商として定義されている関数について、分子の関数と分母の関数がともにゼロへ収束する場合、もとの関数の極限を0/0型の不定形と呼びます。不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。
距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Xの点aを中心とする開近傍の中にAの部分集合になるものが存在するならば、aをAの内点と呼びます。また、Aのすべての内点を集めてできる集合をAの内部と呼びます。
距離空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するならば、Aを距離空間上の開集合と呼びます。
単位時間内に何らかの出来事が起こる回数を表す離散型の確率変数の確率分布をポアソン分布と呼びます。ポアソン分布を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。
距離空間上の点aと正の実数εが与えられたとき、点aからの距離がεよりも小さい場所にある点を集めてできる距離空間の部分集合を点aの近傍と呼びます。
距離空間上の収束点列はコーシー列であることが保証されますが、コーシー列は収束するとは限りません。ある距離空間において任意のコーシー列がその距離空間上の点に収束することが保証される場合、そのような距離空間は完備であると言います。
距離空間上のコーシー列は有界である一方、有界な点列はコーシー列であるとは限りません。したがって、有界ではない点列はコーシー列ではありません。
実数空間やユークリッド空間ではボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理が成り立つ一方、距離空間では成り立つとは限りません。つまり、距離空間上の有界点列は収束する部分列を持つとは限りません。
距離空間上の点列が収束することと、その任意の部分列がもとの点列の極限と同じ極限へ収束することは必要十分です。以上の事実は、収束する点列の極限を特定したり、点列が収束しないことを示す上で有用です。
数列が収束することと、その任意の部分列がもとの数列の極限と同じ極限へ収束することは必要十分です。以上の事実は、収束する数列の極限を特定したり、数列が発散することを示す上で有用です。
ランチェスターの第1法則(一騎打ちの法則)と第2法則(確率戦の法則)について、その前提と導出方法および教訓について解説します。また、そのビジネスへの応用にも触れます。
距離空間上の点列から無限個の項を抜き出して順番を保ったまま並べることで得られる新たな点列を部分列と呼びます。部分列を合成写像として定義するとともに、部分列の一般項を特定する方法を解説します。
連続型の同時確率変数の分散を定義するとともに、同時確率変数と2変数関数の合成関数として定義される確率変数の分散を求める方法を解説します。また、独立な確率変数の和の分散は個々の確率変数の分散の和と一致することを示します。
実ベクトル空間上に定義可能な距離関数としてはユークリッド距離関数、マンハッタン距離関数、チェビシェフ距離関数などが存在しますが、これらの距離が定義された距離空間における点列の収束判定方法について解説します。
距離空間上の点列のすべての項を集めてできる集合が有界である場合、その点列は有界であると言います。収束する点列は常に有界ですが、有界な点列は収束するとは限りません。
距離空間の部分集合の直径が有限な実数として定まる場合、その集合は有界であると言います。有界であることは距離や近傍を用いて表現することもできます。
距離関数は距離空間に属する2つの点の間の距離を定めますが、距離関数を活用することにより、距離空間の部分集合の間の距離や、点と部分集合の間の距離を定義できます。
距離空間の非空な部分集合が与えられたとき、それにあわせて距離関数の定義域を制限すれば、その部分集合自身もまた距離空間になります。このような距離空間をもとの距離空間の部分距離空間と呼びます。
公理主義の立場から「距離」の概念を定義します。公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離に限定されない様々な数学的対象が距離とみなされます。
連続型の同時確率変数の期待値を定義するとともに、同時確率変数と2変数関数の合成関数として定義される確率変数の期待値を求める方法を解説します。また、独立な確率変数の積の期待値は個々の確率変数の期待値の積と一致することを示します。
同時確率変数の同時確率分布から導かれる個々の確率変数の確率分布を周辺確率分布と呼びます。周辺確率分布は周辺分布関数によって表現することもできます。
2つの離散型確率変数の一方が特定の値をとるという条件のもとでの他方の確率変数の確率分布を条件付き確率分布と呼びます。条件付き確率分布は条件付き分布関数によって表現することもできます。
連続型の確率変数の確率分布はモーメント母関数を用いて表現することもできます。また、モーメント母関数から任意次のモーメントを導出できます。