ポアソン分布

ポアソン分布の確率質量関数

一定の時間内においてある出来事が起こることが分かっているものの、何回起こるかはランダムネスによって支配されており、その回数を事前に特定できない状況を想定します。「一定の時間内にある出来事が起こる回数を記録する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 0,1,2,\cdots \right\} =\mathbb{Z} _{+}
\end{equation*}です。一定の時間内にその出来事が起こる回数を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めるため、その値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,\cdots \right\} =\mathbb{Z} _{+}
\end{equation*}という可算集合であり、したがって\(X\)は離散型の確率変数です。この確率変数\(X\)の確率分布をどのように特定できるでしょうか。

時間の単位として何を採用してもよいのですが、ここでは「秒」を採用します。\(s,t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、時点\(s\)から時点\(s+t\)までの\(t\)秒間に問題としている事象が\(x\)回起こる確率を、\begin{equation*}P\left( x,\left[ s,s+t\right] \right)
\end{equation*}で表記するものと定めます。以上の表記を踏まえると、観測を始めてから\(t\)秒が経過する間に、すなわち時点\(0\)から時点\(t\)までの間にその出来事が起こる回数を特定する確率変数\(X\)について、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =P\left( x,\left[ 0,t\right] \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことに注意してください。これを特定することが目標です。

観測を開始して\(s\)秒が経過した時点を新たな出発点とし、そこからさらに\(\Delta s\)秒間待機している間にその出来事が\(1\)回起こる確率は、\begin{equation*}P\left( 1,\left[ s,s+\Delta s\right] \right)
\end{equation*}ですが、これをどのように評価すればよいでしょうか。待機時間\(\Delta s\)を長くするほど、その間に問題としている出来事が起こる確率は高くなるものと考えるのが自然です。加えて、その確率の大きさは経過時間\(\Delta s\)の長さにおよそ比例するものと仮定します。つまり、単位時間（1秒間）あたりにその出来事が起こる確率を表す正の定数\(\lambda >0\)を導入すれば、時点\(s\)から時点\(s+\Delta s\)までの間に問題としている出来事が\(1\)回起こる確率を、\begin{equation*}\lambda \Delta s
\end{equation*}によって近似的に表現できるものと仮定するということです。ただし、単位時間あたりに何かが確率\(\lambda \)で起こることと、単位時間あたりに何かが平均して\(\lambda \)回起こることは同義であるため、パラメータ\(\lambda \)の値は単位時間あたりに問題としている出来事が起こる平均回数でもあります。以上の想定のもと、先の確率を、\begin{equation*}P\left( 1,\left[ s,s+\Delta s\right] \right) =\lambda \Delta s+o\left(
\Delta s\right) \quad \left( \Delta s\rightarrow 0\right)
\end{equation*}と表現できるものと仮定します。ただし、\(o\left( \Delta s\right) \)は\(\Delta s\)よりも高位の無限小であるような関数です。高位の無限小の定義より、このとき、\begin{equation*}\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{P\left( 1,\left[ s,s+\Delta s\right] \right) -\lambda \Delta s}{\Delta s}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{P\left( 1,\left[ s,s+\Delta s\right] \right) }{\Delta s}=\lambda \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。左辺中の\begin{equation*}
\frac{P\left( 1,\left[ s,s+\Delta s\right] \right) }{\Delta s}
\end{equation*}は、時点\(s\)から時点\(s+\Delta s\)までの\(\Delta s\)秒間において、単位時間（1秒間）あたりにその出来事が\(1\)回起こる確率を表しています。したがって、\(\Delta s\rightarrow 0\)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{P\left( 1,\left[ s,s+\Delta s\right] \right) }{\Delta s}
\end{equation*}は、時点\(s\)という瞬間においてその出来事が\(1\)回起こる確率を表しています。以上の議論は\(s\)の水準に依存しません。したがって、任意の時点\(s\)を選んだときに、その瞬間にその出来事が\(1\)回起こる確率は常に\(\lambda \)で一定であることを仮定していることになります。

観測を開始して\(s\)秒が経過した時点を新たな出発点とし、そこからさらに\(\Delta s\)秒間待機している間にその出来事が\(2\)回以上起こる確率をそれぞれ、\begin{equation*}P\left( x,\left[ s,s+\Delta s\right] \right) =o\left( \Delta s\right) \quad
\left( \Delta s\rightarrow 0\right) \quad \left( x\geq 2\right)
\end{equation*}と定めます。高位の無限小の定義より、このとき、\begin{equation*}
\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{P\left( x,\left[ s,s+\Delta s\right] \right) }{\Delta s}=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の時点\(s\)を選んだときに、その瞬間に問題としている出来事が\(2\)回以上起こる確率は\(0\)であるものと仮定するということです。

以上を想定する場合、時点\(0\)から時点\(t\)までの間に問題としている出来事が\(x\)回起こる確率を以下のように特定できます。

上の命題より、時点\(0\)から時点\(t\)までの間に問題としている出来事が起こる回数を特定する確率変数\(X\)について、以下の関係\begin{equation*}P\left( X=x\right) =\frac{\left( \lambda t\right) ^{x}}{x!}e^{-\lambda
t}\quad \left( x\in \mathbb{Z} _{+}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。ただし、パラメータ\(\lambda \)の値は単位時間あたりに問題としている出来事が起こる確率を表します。ただ、単位時間あたりに何かが確率\(\lambda \)で起こることと、単位時間あたりに何かが平均して\(\lambda \)回起こることは同義であるため、パラメータ\(\lambda \)の値は単位時間あたりに問題としている出来事が起こる平均回数でもあります。

先の命題の主張は任意の\(t>0\)について成立するため、\(t=1\)の場合の主張である、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =\frac{\lambda ^{x}}{x!}e^{-\lambda }\quad \left( x\in \mathbb{Z} _{+}\right)
\end{equation*}もまた成立します。つまり、時点\(0\)から時点\(1\)までの間、すなわち単位時間において問題としている出来事が起こる回数を特定する確率変数\(X\)について上の関係が成り立つということです。

以上を踏まえた上で、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\mathbb{Z} _{+}
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、何らかの正の定数\(\lambda >0\)を用いて、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\lambda ^{x}}{x!}e^{-\lambda } & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表される場合、確率変数\(X\)はパラメータ\(\lambda \)のポアソン分布（Poisson distribution with parameter \(\lambda \)）にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim P_{oisson}\left( \lambda \right)
\end{equation*}で表記します。

ポアソン分布にしたがう確率変数\(X\)の確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値\(f_{X}\left( x\right) \)は、単位時間あたりに問題としている出来事が\(x\)回起こる確率です。また、パラメータ\(\lambda \)の値は単位時間あたりに問題としている出来事が起こる確率ですが、これは単位時間あたりに問題としている出来事が起こる平均回数と同義です。

ポアソン分布にしたがう確率変数の確率質量関数が確率質量関数としての性質を満たすことを確認しておきます。

ポアソン分布の分布関数

ポアソン分布にしたがう確率変数の分布関数は以下の通りです。

以上の結果を具体的に表現すると、\begin{equation*}
F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
e^{-\lambda } & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
e^{-\lambda }\left( 1+\lambda \right) & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\vdots & \\
e^{-\lambda }\left[ 1+\lambda +\cdots +\dfrac{\lambda ^{n-1}}{\left(
n-1\right) !}\right] & \left( if\ n-1\leq x<n\right) \\
\vdots &
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

ポアソン分布にしたがう確率変数の期待値

ポアソン分布にしたがう確率変数の期待値は以下の通りです。

ポアソン分布にしたがう確率変数の分散

ポアソン分布にしたがう確率変数の分散は以下の通りです。

ポアソン分布にしたがう確率変数のモーメント母関数

ポアソン分布にしたがう確率変数はモーメント母関数を持ちます。具体的には以下の通りです。

演習問題