カイ二乗分布

カイ二乗分布

有限\(n\)個の確率変数\begin{eqnarray*}Y_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
Y_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がいずれも標準正規分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :Y_{i}\sim N\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、確率変数\(Y_{i}\)の確率密度関数\(f_{Y_{i}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{Y_{i}}\left( y\right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left( -\frac{y^{2}}{2}\right)
\end{equation*}を定めます。

標準正規分布にしたがう確率変数\(Y_{1},\cdots ,Y_{n}\)が独立であるものとします。その上で、新たな確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}X=Y_{1}^{2}+\cdots +Y_{n}^{2}
\end{equation*}と定義します。つまり、この確率変数\(X\)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left[ Y_{1}\left( \omega \right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ Y_{n}^{{}}\left( \omega \right) \right] ^{2}
\end{equation*}を値として定める連続型の確率変数です。このとき、確率変数\(X\)は自由度\(n\)のカイ二乗分布（Chi-squaredistribution with \(n\) degrees of freedom）にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim \chi ^{2}\left( n\right)
\end{equation*}で表記します。

カイ二乗分布にしたがう確率変数\(X\)を定義するもととなる確率変数\(Y_{1},\cdots ,Y_{n}\)は標準正規分布にしたがうだけでなく、独立でなければならない点に注意してください。

カイ二乗分布の確率密度関数

確率変数\(X\)が自由度\(1\)のカイ二乗分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim \chi ^{2}\left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つということです。カイ二乗分布の定義より、以上の事実は、\begin{equation*}
Y\sim N\left( 0,1\right)
\end{equation*}を満たす確率変数\(Y\)との間に、以下の関係\begin{equation*}X=Y^{2}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

自由度\(1\)のカイ二乗分布にしたがう確率変数\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}\exp \left( -\frac{1}{2}x\right) & \left( if\
x>0\right) \\
0 & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

自由度\(1\)のカイ二乗分布にしたがう確率変数\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}\exp \left( -\frac{x}{2}\right) & \left( if\
x>0\right) \\
0 & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めることが明らかになりました。自由度\(n\)のカイ二乗分布にしたがう確率変数の確率密度関数を求めるための準備として、ガンマ関数を用いて\(\left( 1\right) \)を一般的な形で表現します。

ガンマ関数\(\Gamma :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\Gamma \left( x\right) =\int_{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt
\end{equation*}を定める関数として定義されます。特に、\(x=\frac{1}{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi }
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\sqrt{2\pi x}} &=&\frac{1}{\sqrt{2x}\sqrt{\pi }} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{2x}\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) } \\
&=&\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }
\\
&=&\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }x^{\frac{1}{2}-1}
\end{eqnarray*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、自由度\(1\)のカイ二乗分布にしたがう確率変数\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値を、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }x^{\frac{1}{2}-1}\exp \left( -\frac{x}{2}\right) & \left( if\ x>0\right) \\
0 & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現できることが明らかになりました。

以上の事実と\(n\)に関する数学的帰納法より、自由度\(n\)のカイ二乗分布にしたがう確率変数\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left( \frac{n}{2}\right) }x^{\frac{n}{2}-1}\exp \left( -\frac{x}{2}\right) & \left( if\ x>0\right) \\
0 & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが導かれます。

カイ二乗分布の分布関数

カイ二乗分布にしたがう確率変数の分布関数は以下の通りです。

カイ二乗分布にしたがう確率変数の期待値

カイ二乗分布にしたがう確率変数の期待値は以下の通りです。

カイ二乗分布にしたがう確率変数の分散

カイ二乗分布にしたがう確率変数の分散は以下の通りです。

カイ二乗分布にしたがう確率変数のモーメント母関数

カイ二乗分布にしたがう確率変数はモーメント母関数を持ちます。具体的には以下の通りです。

演習問題