指数分布

指数分布の確率密度関数

ある出来事が将来起こることが分かっているものの、いつ起こるかはランダムネスによって支配されており、そのタイミングを事前に特定できない状況を想定します。「ある出来事が起こるまでの待機時間を記録する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =[0,+\infty )
\end{equation*}です。その出来事が起こるまでの待機時間を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めるため、その値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =[0,+\infty )
\end{equation*}という区間であり、したがって\(X\)は連続型の確率変数です。この確率変数\(X\)の確率分布をどのように特定できるでしょうか。

時間の単位として何を採用してもよいのですが、ここでは「秒」を採用します。待機を開始して\(t\geq 0\)秒が経過した時点において問題としている出来事がまだ起きていないという条件のもと、そこからさらに\(\Delta t\)秒間待機している間にその出来事が起こる確率は、以下の条件付き確率\begin{equation*}P\left( t<X\leq t+\Delta t|X>t\right)
\end{equation*}として表現されますが、これをどのように評価すればよいでしょうか。待機時間\(\Delta t\)を長くするほど、その間に問題としている出来事が起こる確率は高くなるものと考えるのが自然です。加えて、その確率の大きさは待機時間\(\Delta t\)の長さにおよそ比例するものと仮定します。つまり、単位時間（1秒間）あたりにその出来事が起こる確率を表す正の定数\(\lambda >0\)を導入すれば、待機時間\(\Delta t\)の間に問題としている出来事が起こる確率を、\begin{equation*}\lambda \Delta t
\end{equation*}によって近似的に表現できるものと仮定するということです。ただし、単位時間あたりに何かが確率\(\lambda \)で起こることと、単位時間あたりに何かが平均して\(\lambda \)回起こることは同義であるため、パラメータ\(\lambda \)の値は単位時間あたりに問題としている出来事が起こる平均回数でもあります。

以上の想定のもと、先の確率を、\begin{equation*}
P\left( t<X\leq t+\Delta t|X>t\right) =\lambda \Delta t+o\left( \Delta
t\right) \quad \left( \Delta t\rightarrow 0\right)
\end{equation*}と表現できるものと仮定します。ただし、\(o\left( \Delta t\right) \)は\(\Delta t\)よりも高位の無限小であるような関数です。高位の無限小の定義より、このとき、\begin{equation*}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{P\left( t<X\leq t+\Delta t|X>t\right)
-\lambda \Delta t}{\Delta t}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{P\left( t<X\leq t+\Delta t|X>t\right) }{\Delta t}=\lambda \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。左辺中の\begin{equation*}
\frac{P\left( t<X\leq t+\Delta t|X>t\right) }{\Delta t}
\end{equation*}は、時点\(t\)まではその出来事が起きなかったものの、その後の\(\Delta t\)秒間において、単位時間（1秒間）あたりにその出来事が起こる確率を表しています。したがって、\(\Delta x\rightarrow 0\)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{P\left( t<X\leq t+\Delta t|X>t\right) }{\Delta t}
\end{equation*}は、時点\(t\)までその出来事が起きなかったものの、次の瞬間にその出来事が起こる確率を表しています。\(\left( 1\right) \)より、その確率もまた\(\lambda \)と一致します。以上の議論は\(t\)の水準に依存しません。したがって、任意の時点\(t\)を選んだとき、その時点において問題としている出来事がまだ起きていないものの、次の瞬間にその出来事が起こる確率は常に\(\lambda \)で一定であることを仮定していることになります。

以上を想定する場合、問題としている出来事が起こるまでの経過時点を表す確率変数\(X\)の確率分布は以下のように特定されます。

以上を踏まえた上で、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =[0,+\infty )
\end{equation*}であるとともに、確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、何らかの正の定数\(\lambda >0\)を用いて、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\lambda e^{-\lambda x} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表される場合、確率変数\(X\)はパラメーター\(\lambda \)の指数分布（exponential distribution with parameter \(\lambda \)）にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim E_{XP}\left( \lambda \right)
\end{equation*}で表記します。

パラ―メータ\(\lambda \)の値は単位時間あたりに問題としている出来事が起こる確率を表します。ただ、単位時間あたりに何かが確率\(\lambda \)で起こることと、単位時間あたりに何かが平均して\(\lambda \)回起こることは同義であるため、パラメータ\(\lambda \)の値は単位時間あたりに問題としている出来事が起こる平均回数でもあります。

指数分布にしたがう確率変数の確率密度関数が確率密度関数としての性質を満たすことを確認しておきます。

指数分布の分布関数

指数分布にしたがう確率変数の分布関数は以下の通りです。

指数分布にしたがう確率変数の期待値

指数分布にしたがう確率変数の期待値は以下の通りです。

指数分布にしたがう確率変数の分散

指数分布にしたがう確率変数の分散は以下の通りです。

指数分布にしたがう確率変数のモーメント母関数

指数分布にしたがう確率変数はモーメント母関数を持ちます。具体的には以下の通りです。

演習問題