二項分布とポアソン分布の関係

二項分布とポアソン分布

二項分布とポアソン分布について簡単に復習した上で、両者の関係について解説します。

2通りの結果だけが起こり得る試行をベルヌーイ試行と呼びます。ベルヌーイ試行において起こり得る2通りの結果を便宜上、「成功」と「失敗」と呼びます。ベルヌーイ試行を有限\(n\in \mathbb{N} \)回繰り返し行う状況を想定した場合、その標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \omega =\left( \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right) \ |\
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{成功},\text{失敗}\right\} \right\}
\end{equation*}となります。ベルヌーイ試行を\(n\)回繰り返し行った場合に「成功」が起こる合計回数を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}です。特に、毎回のベルヌーイ試行において「成功」が起こる確率が\(p\in \left[ 0,1\right] \)であり、なおかつ、各回のベルヌーイ試行が独立である場合、\(X\)の確率分布を特定する確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dbinom{n}{x}p^{x}\left( 1-p\right) ^{n-x} & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\dbinom{n}{x}\)は\(n\)個から\(x\)個を選ぶ場合の組合せの個数であり、\begin{equation*}\binom{n}{x}=\frac{n!}{\left( n-x\right) !x!}
\end{equation*}です。このとき、確率変数\(X\)は試行パラメーター\(n\)と成功パラメーター\(p\)の二項分布にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim B_{i}\left( n,p\right)
\end{equation*}で表記します。\(X\)の期待値と分散はそれぞれ、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&np \\
\mathrm{Var}\left( X\right) &=&np\left( 1-p\right)
\end{eqnarray*}と定まります。

「一定時間内にある出来事が起こる回数を記録する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 0,1,2,\cdots \right\} =\mathbb{Z} _{+}
\end{equation*}です。一定時間内にその出来事が起こる回数を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,\cdots \right\} =\mathbb{Z} _{+}
\end{equation*}です。一定時間内にその出来事が起こる確率が\(\lambda >0\)である場合、言い換えると一定時間内においてその出来事が起こる平均回数が\(\lambda \)である場合、\(X\)の確率分布を特定する確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\lambda ^{x}}{x!}e^{-\lambda } & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。このとき、確率変数\(X\)はパラメータ\(\lambda \)のポアソン分布にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim P_{oisson}\left( \lambda \right)
\end{equation*}で表記します。\(X\)の期待値と分散はそれぞれ、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\lambda \\
\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\lambda
\end{eqnarray*}と定まります。

二項分布とポアソン分布の関係

確率変数\(X\)が試行パラメーター\(n\in \mathbb{N} \)と成功パラメーター\(p\in \left[ 0,1\right] \)の二項分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim B_{i}\left( n,p\right)
\end{equation*}が成り立つということです。二項分布が想定している状況とは、各回において「成功」が起こる確率が\(p\)であるようなベルヌーイ試行を、独立に、有限\(n\)回繰り返すというものです。では、以下のような状況を想定すると\(X\)の確率分布はどうなるでしょうか。

1つ目の想定は、「成功」が起こる確率が極めて小さいベルヌーイ試行を繰り返し行うというというものです。究極的には、成功パラメーター\(p\in \left[ 0,1\right] \)が\(0\)に限りなく近い状況を想定することを意味します。

2つ目の想定は、ベルヌーイ試行を膨大な回数繰り返すというものです。究極的には、試行パラメータ\(n\in \mathbb{R} \)が限りなく大きくなる状況を想定することを意味します。

3つ目の想定は、以上の2つの想定を踏まえてもなお、試行パラメータ\(n\)と成功パラメータ\(p\)の積\(np\)が有限な実数として定まるというものです。二項分布にしたがう確率変数\(X\)の期待値は\(np\)であるため、これは、ベルヌーイ試行をいくら繰り返しても確率変数\(X\)の期待値が有限な実数にとどまることを意味します。

確率変数\(X\)の期待値を、\begin{equation*}E\left( X\right) =\lambda
\end{equation*}で表記します。\(X\)は二項分布にしたがうため、\begin{equation*}\lambda =np
\end{equation*}ですが、先の想定より\(\lambda \)は有限な実数であるため、\begin{eqnarray}p &=&\frac{\lambda }{n} \quad \cdots (1) \\
1-p &=&1-\frac{\lambda }{n} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}とすることができます。このとき、\(X\)の確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\in X\left( \Omega \right) \)を満たすそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&\dbinom{n}{x}p^{x}\left( 1-p\right) ^{n-x}\quad
\because X\sim B_{i}\left( n,p\right) \\
&=&\frac{n!}{x!\left( n-x\right) !}\left( \frac{\lambda }{n}\right)
^{x}\left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{n-x}\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&\frac{n\left( n-1\right) \cdots \left( n-x+1\right) }{x!}\cdot \frac{\lambda ^{x}}{n^{x}}\cdot \left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{n}\cdot
\left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{-x} \\
&=&\frac{n\left( n-1\right) \cdots \left( n-\left( x-1\right) \right) }{x!n^{x}}\cdot \frac{\lambda ^{x}}{\left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{x}}\cdot \left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{n} \\
&=&\frac{\frac{n}{n}\cdot \frac{\left( n-1\right) }{n}\cdots \frac{\left(
n-\left( x-1\right) \right) }{n}}{x!}\cdot \frac{\lambda ^{x}}{\left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{x}}\cdot \left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{n}
\\
&=&\frac{1\cdot \left( 1-\frac{1}{n}\right) \cdots \left( 1-\frac{x-1}{n}\right) }{x!\left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{x}}\cdot \lambda ^{x}\cdot
\left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{n}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f_{X}\left( x\right) =\frac{1\cdot \left( 1-\frac{1}{n}\right) \cdots \left(
1-\frac{x-1}{n}\right) }{x!\left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{x}}\cdot
\lambda ^{x}\cdot \left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{n}
\end{equation*}となります。2つ目の想定を踏まえた上で\(n\rightarrow +\infty \)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{X}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left[ \frac{1\cdot \left( 1-\frac{1}{n}\right) \cdots \left( 1-\frac{x-1}{n}\right) }{x!\left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{x}}\cdot
\lambda ^{x}\cdot \left( 1-\frac{\lambda }{n}\right) ^{n}\right] \\
&=&\frac{1\cdot \left( 1-0\right) \cdots \left( 1-0\right) }{x!\left(
1-0\right) ^{x}}\cdot \lambda ^{x}\cdot e^{-\lambda }\quad \because
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{\lambda }{n}\right)
^{n}=e^{-\lambda } \\
&=&\frac{\lambda ^{x}}{x!}e^{-\lambda }
\end{eqnarray*}を得ますが、これはポアソン分布の確率質量関数が\(x\)に対して定める値と一致します。

以上の議論より、「成功」が滅多に起こらないようなベルヌーイ試行を膨大な回数繰り返す場合には、「成功」の合計回数を表す確率変数\(X\)は二項分布にしたがうだけでなく、その確率分布はパラメーター\(np\)のポアソン分布に限りなく近づくことが明らかになりました。以上の事実にはどのような利点があるのでしょうか。

二項分布の確率密度関数は、\begin{equation*}
f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dbinom{n}{x}p^{x}\left( 1-p\right) ^{n-x} & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}ですが、試行パラメータ\(n\)が大きい場合、これを具体的に計算するのは面倒です。一方、成功パラメータ\(p\)が十分小さく、試行パラメータ\(n\)が十分大きい場合には、先の議論より、二項分布の代わりにポアソン分布の確率密度関数\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\lambda ^{x}}{x!}e^{-\lambda } & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を利用できます。こちらの計算は簡単です。