1変数関数の和の上積分・下積分・定積分(和の法則)
リーマン積分可能な関数の和として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の和をとれば新たな関数の定積分が得られます。
リーマン積分可能な関数の和として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の和をとれば新たな関数の定積分が得られます。
独占企業の限界収入と市場の需要の自己価格弾力性の間に成立する関係を利用することにより、独占企業は最適な価格付けを行うことができます。
完全競争均衡と比較した場合、独占均衡において社会的余剰は最大化されません。独占がもたらす社会的余剰の損失を死荷重や厚生損失などと呼びます。
企業が限界費用を上回る市場価格を設定することを可能にする力を市場支配力と呼びます。市場支配力を測る指標の1つがラーナー指数です。独占企業のラーナー指数は市場の需要の価格弾力性の逆数と一致します。
展開型ゲームにおいてプレイヤーたちが行動戦略を採用する場合、行動戦略の組を構成する戦略どうしがお互いに最適反応になっているのであれば、そのような組を行動戦略ナッシュ均衡と呼びます。
展開型ゲームにおいてプレイヤーたちが行動戦略を採用する場合、最終的にどの頂点に到達するかを事前に確定できないため、プレイヤーは自身が直面する期待利得を基準に意思決定を行うことになります。
展開型ゲームにおいてプレイヤーがそれぞれの情報集合においてランダムに行動を1つずつ選択するような意思決定を行動戦略と呼ばれる概念として定式化します。
展開型ゲームが有限である場合には、混合戦略ナッシュ均衡が存在することが保証されます。証明ではナッシュの定理を利用します。
展開型ゲームにおいてプレイヤーたちが混合戦略を採用する場合、混合戦略の組を構成する戦略どうしがお互いに最適反応になっているのであれば、そのような組を混合戦略ナッシュ均衡と呼びます。
定義域を共有する2つの多変数の収束関数について、一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、多変数関数に関するはさみうち定理についても解説します。
対応が閉グラフを持つことと、その対応が閉じていることは必要十分です。また、閉グラフを持つ対応の終集合がコンパクト集合である場合、その対応は上半連続になることが保証されます。
ナッシュの定理は有限な戦略型ゲームには混合戦略ナッシュ均衡が存在するという主張です。ここでは有限とは限らない戦略型ゲーム(無限ゲーム)にナッシュ均衡が存在するための条件を明らかにします。
動学ゲームが完全情報ゲームであることとは、それを表現する展開型ゲームを構成するすべての情報集合が1点集合であることして表現されます。逆に、少なくとも1つの情報集合が複数の要素を持つ場合、それは不完全情報ゲームです。
展開型ゲームの戦略型においてプレイヤーたちの純粋戦略の組がお互いに最適反応になっているならば、その組を純粋戦略ナッシュ均衡と呼びます。
展開型ゲームにおいてプレイヤーたちが純粋戦略を採用する場合、その戦略的状況を戦略型ゲームとして表現できますが、プレイヤーたちが混合戦略を採用する場合には、それを戦略型ゲームの混合拡張として表現できます。
展開型ゲームにおいてプレイヤーたちが混合戦略を採用する場合、どの純粋戦略の組が実際にプレーすることになるかを事前に確定できないため、プレイヤーは自身が直面する期待利得を基準に意思決定を行います。
展開型ゲームにおいてプレイヤーが何らかの確率分布にもとづいて特定の純粋戦略をランダムに選択するような意思決定を混合戦略と呼ばれる概念として定式化します。
組合せオークションにおけるメカニズムが与えられたとき、結果においてプレイヤーたちが得る利得からなる組がコアであることが保証されるのであれば、そのようなメカニズムをコア選択メカニズムと呼びます。
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A の要素を項とする任意の点列が A の点に収束する部分列を持つ場合、A を点列コンパクト集合と呼びます。ある集合が点列コンパクト集合であることと、その集合がコンパクト集合であることは必要十分です。
組合せオークションにおいて入札者たちがグループを形成して協力的な意思決定を行う状況を想定する場合には、それを協力ゲームとして分析することになります。そのような戦略的状況を提携型ゲームとして定式化します。
組合せオークションにおけるグローヴスメカニズムと呼ばれるオークションルールを定義するとともに、その基本的な性質について解説します。
組合せオークションにおけるメカニズムが与えられたとき、結果がパレート効率的であることが保証されるのであれば、そのようなメカニズムはパレート効率的であると言います。
組合せオークションにおけるメカニズムが与えられたとき、主催者の収支が赤字にならないことが保証されるのであれば、そのメカニズムは予算均衡を満たすと言います。
リーマン積分可能な1変数関数の定数倍として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の定数倍をとれば新たな関数の定積分が得られます。
関数が有界閉区間上においてリーマン積分可能であることと、それぞれの小区間においてリーマン積分可能であることが必要十分であるとともに、小区間上の定積分の総和をとれば区間上の定積分が得られます。
一様連続な1変数関数は連続である一方、連続関数は一様連続であるとは限りません。ただ、連続関数の定義域がコンパクト集合である場合、その関数が一様連続であることが保証されます。
1変数関数が一様連続であること、ないし一様連続ではないことを数列を用いて判定する方法を解説します。また、一様連続関数によるコーシー列の像はコーシー列になることを示します。
ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの導集合がAの部分集合であることは、すなわちAのすべての集積点がAの要素であることは、Aが閉集合であるための必要十分条件です。
1生産物モデルにおいて、生産要素の価格と目標産出量を入力とし、そこでの費用最小化問題の解において生産者が直面する費用を出力する関数を費用関数と呼びます。
1生産物モデルにおける費用最小化問題の解が内点解である場合、任意の2つの生産要素について、技術的限界代替率と価格比が一致します。端点解ではそのような関係は成り立つとは限りません。その理由と背景にあるメカニズムについて解説します。
有界な閉区間上に定義された有界な1変数関数について、区間の何らかの分割のもとで上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなることは、関数が定積分可能であるための必要十分条件です。
1変数関数がリーマン積分可能であることを定義にもとづいて確認する作業は煩雑になりがちです。関数の上積分と下積分が一致することは関数が積分可能であるための必要十分条件であり、定積分は上積分および下積分と一致することが保証されます。
有界な閉区間上に定義された有界な1変数関数fの上リーマン積分や下リーマン積分などの概念を定義します。加えて、極限を用いて上リーマン積分と下リーマン積分を特定する方法(ダルブーの定理)を解説します。
1生産物モデルにおいて生産者の技術を表す生産関数が連続関数である場合、費用最小化問題の解である制約付き要素需要において生産者は目標産出量に等しい産出を実現する投入を行います。
1生産物モデルにおいて、生産物の価格と生産要素価格ベクトルと入力とし、そこでの利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤を出力する関数を利潤関数と呼びます。
有界な閉区間上に定義された有界な1変数関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関連して定積分と呼ばれる概念を定義します。
1生産物モデルにおいて、制約付き要素需要関数は要素価格ベクトルに関して0次同次性を満たします。つまり、すべての生産要素の価格が等しい割合で変化した場合、その前後において費用最小化問題の解は変化しません。
1生産物モデルにおいて、要素価格ベクトルと目標産出量に対して、費用を最小化する投入ベクトルを像として定める写像を制約付き要素需要関数と呼びます。
N生産要素1生産物モデルにおける利潤最大化問題の解が内点解である場合、任意の2つの生産要素について、技術的限界代替率と価格比が一致します。端点解ではそのような関係は成り立つとは限りません。その理由と背景にあるメカニズムについて解説します。
N生産要素1生産物モデルにおける費用最小化問題に対してベルジュの最大値定理を適用するために、一般性を失わない形でこれを別の最適化問題へ変換します。