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組合せオークション

組合せオークションにおけるパレート効率的メカニズム

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狭義パレート効率的な結果

組合せオークション環境において、何らかの均衡を遂行できるようなメカニズムを設計する場合、そもそもどのような均衡を目指すべきかという問題が発生します。オークションの主催者が何らかの意味において社会的に望ましい均衡を遂行しようとする場合、望ましさの基準として何を採用すべきかが問題になります。代表的な基準は効率性(efficiency)です。

組合せオークション環境において状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選びます。このとき、2つの結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) ,\left( a_{I}^{\prime},t_{I}^{\prime }\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)の間に、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:u_{i}\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime
},\theta _{I}\right) \geq u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:u_{i}\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime
},\theta _{I}\right) >u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}^{\prime }=\sum_{i\in I}t_{i}
\end{eqnarray*}という条件がすべて成り立つ場合、\(\theta _{I}\)において\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)は\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)を広義パレート支配する(weaklyPareto dominate)と言います。同じことを、\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)は\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)によって広義パレート支配される(weakly Pareto dominated)と言うこともできます。

条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は、任意の入札者にとって\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)は\(\left(a_{I},t_{I}\right) \)以上に望ましく、少なくとも1人の入札者にとって\(\left( a_{I}^{\prime},t_{I}^{\prime }\right) \)は\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)よりも望ましいことを意味します。条件\(\left(c\right) \)は、入札者たちが\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)に直面したときに、彼らの間で所得移転を行うことで\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)へ移行できることを意味します。したがって、状態\(\theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)が別の結果\(\left( a,t\right) \)を広義パレート支配することとは、入札者の間で資源の再配分を行うことで\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から\(\left(a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)へ移行することが物理的に可能であるとともに、そのような移行により全員の満足度を低下させることなく少なくとも1人の満足度を高めることができます。そのような意味において、\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)へ移行することを広義のパレート改善(weakly Pareto inprovement)と呼びます。誰かの犠牲を伴わずに誰かの満足度を高めることができるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、広義のパレート改善は目標とすべき指標の1つとして位置付けられます。

例(準線型環境の場合)
組合せオークションにおいて入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性を仮定する場合、入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left(\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{I}\right) -t_{i}
\end{equation*}となります。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は配分を金銭評価する評価関数です。このとき、状態\(\theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime}\right) \)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)を広義パレート支配することとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:v_{i}\left( a_{I}^{\prime },\theta
_{I}\right) -t_{i}^{\prime }\geq v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i}
\\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:v_{i}\left( a_{I}^{\prime },\theta
_{I}\right) -t_{i}^{\prime }>v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}^{\prime }=\sum_{i\in I}t_{i}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして表現されます。入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性に加えて私的価値と非外部性を仮定する場合、入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =\theta _{i}\left( a_{i}\right)
-t_{i}
\end{equation*}となります。ただし、\(\theta _{i}:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \)はパッケージへの評価額を特定する評価関数です。このとき、状態\(\theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)を広義パレート支配することとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:\theta _{i}\left( a_{i}^{\prime }\right)
-t_{i}^{\prime }\geq \theta _{i}\left( a_{i}\right) -t_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:\theta _{i}\left( a_{i}^{\prime }\right)
-t_{i}^{\prime }>\theta _{i}\left( a_{i}\right) -t_{i} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}^{\prime }=\sum_{i\in I}t_{i}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして表現されます。

状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)が他のいかなる結果によっても広義パレート支配されない場合、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:u_{i}\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime
},\theta _{I}\right) \geq u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:u_{i}\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime
},\theta _{I}\right) >u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}^{\prime }=\sum_{i\in I}t_{i}
\end{eqnarray*}をすべて満たす結果\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)が存在しない場合、\(\theta _{I}\)において\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)は狭義パレート効率的(strictly Pareto efficient)であると言います。狭義パレート効率的な結果は状態\(\theta _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\theta _{I}\)において狭義パレート効率的な結果が別の状態\(\theta _{I}^{\prime }\)においても狭義パレート効率的であるとは限りません。

状態\(\theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)が狭義パレート効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists j\in I:u_{j}\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime },\theta
_{I}\right) >u_{j}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right)
\end{equation*}を満たす結果\(\left( a_{I}^{\prime},t_{I}^{\prime }\right) \)を任意に選びます。\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から\(\left(a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)へ移行すると、少なくとも1人の入札者\(j\)の満足度が高まるということです。さて、狭義パレート効率性の定義より\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)は\(\left(a_{I},t_{I}\right) \)を広義パレート支配しないため、このとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:u_{i}\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime
},\theta _{I}\right) \geq u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \sum_{i\in I}t_{i}^{\prime }=\sum_{i\in I}t_{i}
\end{eqnarray*}の少なくとも一方は成り立ちません。言い換えると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a^{\prime }\right) \ \exists i\in I:u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta
_{I}\right) >u_{i}\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime },\theta _{I}\right)
\\
&&\left( b^{\prime }\right) \sum_{i\in I}t_{i}^{\prime }\not=\sum_{i\in
I}t_{i}
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立ちます。つまり、狭義パレート効率的な結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)を出発点に、ある入札者\(j\)の満足度を高める形で別の結果\(\left( a_{I}^{\prime},t_{I}^{\prime }\right) \)へ移行しようとすると、少なくとも1人の入札者\(i\)の満足度が低くなってしまうか、そもそもそのような移行が物理的に不可能です。狭義パレート効率的な結果が与えられたとき、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義パレート効率的な結果は目指すべき目標になり得ます。

例(準線型環境の場合)
組合せオークションにおいて入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性を仮定する場合、入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left(\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{I}\right) -t_{i}
\end{equation*}となります。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は配分を金銭評価する評価関数です。このとき、状態\(\theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)が狭義パレート効率的であることとは、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:v_{i}\left( a_{I}^{\prime },\theta
_{I}\right) -t_{i}^{\prime }\geq v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i}
\\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:v_{i}\left( a_{I}^{\prime },\theta
_{I}\right) -t_{i}^{\prime }>v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}^{\prime }=\sum_{i\in I}t_{i}
\end{eqnarray*}を満たす結果\(\left( a_{I}^{\prime},t_{I}^{\prime }\right) \)が存在しないことを意味します。入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性に加えて私的価値と非外部性を仮定する場合、入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left(\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =\theta _{i}\left( a_{i}\right)
-t_{i}
\end{equation*}となります。ただし、\(\theta _{i}:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \)はパッケージへの評価額を特定する評価関数です。このとき、状態\(\theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)が狭義パレート効率的であることとは、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:\theta _{i}\left( a_{i}^{\prime }\right)
-t_{i}^{\prime }\geq \theta _{i}\left( a_{i}\right) -t_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:\theta _{i}\left( a_{i}^{\prime }\right)
-t_{i}^{\prime }>\theta _{i}\left( a_{i}\right) -t_{i} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}^{\prime }=\sum_{i\in I}t_{i}
\end{eqnarray*}を満たす結果\(\left( a_{I}^{\prime},t_{I}^{\prime }\right) \)が存在しないことを意味します。
例(狭義パレート効率的な結果)
入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\end{equation*}であるものとします。パッケージ集合は、\begin{equation*}
2^{X}=\left\{ \phi ,\left\{ x_{1}\right\} ,\left\{ x_{2}\right\} ,\left\{
x_{1},x_{2}\right\} \right\}
\end{equation*}です。入札者たちの評価関数からなる組\(\theta _{I}\)が以下の表で与えられています。

$$\begin{array}{ccccc}\hline
入札者\backslash パッケージ & \phi & \left\{ x_{1}\right\} & \left\{ x_{2}\right\} & \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \\ \hline
1 & 0 & 50 & 50 & 300 \\ \hline
2 & 0 & 100 & 0 & 100 \\ \hline
3 & 0 & 0 & 100 & 100 \\ \hline
\end{array}$$

表:パッケージへの評価額

任意の入札者の利得関数が準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定を満たすものとします。以下の結果\begin{equation*}
\left( a_{I},t_{I}\right) =\left( a_{1},a_{2},a_{3},t_{1},t_{2},t_{3}\right)
=\left( \left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,\phi ,\phi ,200,0,0\right)
\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\theta _{I}\)のもとで狭義パレート効率的です。実際、結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)においてそれぞれのエージェントが得る利得は、\begin{eqnarray*}\theta _{1}\left( a_{1}\right) -t_{1} &=&300-200=100 \\
\theta _{2}\left( a_{2}\right) -t_{2} &=&0-0=0 \\
\theta _{3}\left( a_{3}\right) -t_{3} &=&0-0=0
\end{eqnarray*}ですが、配分\(a_{I}\)を変更すると入札者\(1\)の状態が悪化し、配分\(a_{I}\)は一定のままで所得移転\(t_{I}\)を変更すると(\(t_{1}+t_{2}+t_{3}=200\)を満たす範囲で)入札者\(2\)または\(3\)の状態が悪化するからです。一方、以下の結果\begin{equation*}\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) =\left(
a_{1},a_{2},a_{3},t_{1},t_{2},t_{3}\right) =\left( 0,\left\{ x_{1}\right\}
,\left\{ x_{2}\right\} ,0,100,100\right)
\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\theta _{I}\)のもとで狭義パレート効率的ではありません。実際、結果\(\left( a_{I}^{\prime },t_{I}^{\prime }\right) \)においてそれぞれのエージェントが得る利得は、\begin{eqnarray*}\theta _{1}\left( a_{1}^{\prime }\right) -t_{1}^{\prime } &=&0-0=0 \\
\theta _{2}\left( a_{2}^{\prime }\right) -t_{2}^{\prime } &=&100-100=0 \\
\theta _{3}\left( a_{3}^{\prime }\right) -t_{3}^{\prime } &=&100-100=0
\end{eqnarray*}である一方、先の結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)へ移行すれば広義のパレート改善が可能だからです。

 

配分効率的な結果

組合せオークション環境において入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性の仮定が成り立つものとします。この場合、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{I}\right) -t_{i}
\end{equation*}となります。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は評価関数です。その一方で、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}\sum_{i\in I}t_{i}
\end{equation*}となります。したがって、入札者たちの利得と主催者の利得の総和を社会的余剰(social welfare)と定義するのであれば、それは、\begin{eqnarray*}
\sum_{i\in I}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) +\sum_{i\in I}t_{i}
&=&\sum_{i\in I}\left[ v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i}\right] +\sum_{i\in I}t_{i} \\
&=&\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、準線型性とリスク中立性を認める場合、結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)がもたらす社会的余剰を評価する際には所得移転の部分が相殺されるため、配分\(a_{I}\)から入札者たちが得る利得の総和だけが重要になります。

準線型性とリスク中立性を認める場合、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)のもとで社会的余剰が最大化されるのであれば、すなわち、\begin{equation*}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =\max_{a_{I}\in
A_{I}}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I}^{\prime },\theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(\theta _{I}\)において\(a_{I}\)は配分効率的(allocative efficient)であると言います。配分効率的な配分は状態\(\theta _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\theta _{I}\)において配分効率的な配分が別の状態\(\theta _{I}^{\prime }\)においても配分効率的であるとは限りません。

例(準線型環境の場合)
組合せオークションにおいて入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性に加えて私的価値と非外部性を仮定する場合、入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =\theta _{i}\left( a_{i}\right)
-t_{i}
\end{equation*}となります。このとき、状態\(\theta _{I}\)において配分\(a_{I}\)が配分効率的であることとは、\begin{equation*}\sum_{i\in I}\theta _{i}\left( a_{i}\right) =\max_{a_{I}^{\prime }\in
A_{I}}\sum_{i\in I}\theta _{i}\left( a_{i}^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

準線型性とリスク中立性を認める場合、結果が狭義パレート効率的であることと、その結果を構成する配分が配分効率的であることは必要十分になります。

命題(狭義パレート効率性と配分効率性の関係)
組合せオークション環境において準線型性とリスク中立性の仮定が成り立つものとする。状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)と結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(\theta _{I}\)において\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)が狭義パレート効率的であることと、\(\theta _{I}\)において\(a_{I}\)が配分効率的であることは必要十分条件である。
証明

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つまり、準線型性とリスク中立性を認める場合、結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)を構成する所得移転\(t_{I}\)は社会的余剰に影響を与えないため、結果の効率性は配分\(a_{I}\)の性質として特徴づけられます。つまり、結果が狭義パレート効率的であることとは、その結果を構成する配分から入札者たちが得る利得の総和が最大化されることを意味します。

例(配分効率的な結果)
入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\end{equation*}であるものとします。パッケージ集合は、\begin{equation*}
2^{X}=\left\{ \phi ,\left\{ x_{1}\right\} ,\left\{ x_{2}\right\} ,\left\{
x_{1},x_{2}\right\} \right\}
\end{equation*}です。入札者たちの評価関数からなる組\(\theta _{I}\)が以下の表で与えられています。

$$\begin{array}{ccccc}\hline
入札者\backslash パッケージ & \phi & \left\{ x_{1}\right\} & \left\{ x_{2}\right\} & \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \\ \hline
1 & 0 & 50 & 50 & 300 \\ \hline
2 & 0 & 100 & 0 & 100 \\ \hline
3 & 0 & 0 & 100 & 100 \\ \hline
\end{array}$$

表:パッケージへの評価額

任意の入札者の利得関数が準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定を満たすものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( \left\{ x_{1},x_{2}\right\}
,\phi ,\phi \right)
\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\theta _{I}\)のもとで配分効率的です。実際、配分\(a_{I}\)のもとで実現する社会的余剰は、\begin{equation*}\theta _{1}\left( a_{1}\right) +\theta _{2}\left( a_{2}\right) +\theta
_{3}\left( a_{3}\right) =300+0+0=300
\end{equation*}ですが、配分\(a_{I}\)を変更すると社会的余剰は減少してしまうからです。しかも、先の命題より、任意の\(t_{I}\)について\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)は狭義パレート効率的でもあります。一方、以下の配分\begin{equation*}a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
}\right) =\left( \phi ,\left\{ x_{1}\right\} ,\left\{ x_{2}\right\} \right)
\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\theta _{I}\)のもとで配分効率的ではありません。実際、配分\(a_{I}^{\prime }\)のもとで実現する社会的余剰は、\begin{equation*}\theta _{1}\left( a_{1}^{\prime }\right) +\theta _{2}\left( a_{2}^{\prime
}\right) +\theta _{3}\left( a_{3}^{\prime }\right) =0+100+100=200
\end{equation*}ですが、先の配分\(a_{I}\)と比較すると、\(a_{I}^{\prime }\)のもとで社会的余剰は最大化されていないからです。

 

狭義事後効率的なメカニズム

組合せオークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。状態が\(\theta _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとでは入札者たちは正直戦略にもとづいて\(\theta _{I}\)を入札し、その入札に対してメカニズムは結果\(\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) \right) \)を定めますが、この結果が\(\theta _{I}\)のもとで狭義パレート効率的であることが保証される場合、このメカニズム\(\left( a,t\right) \)は狭義事後効率的(strictly ex-post efficient)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、制度設計者はどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが狭義事後効率的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡結果が狭義パレート効率的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が狭義事後効率的であることとは、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta
_{I}\right) \geq u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta
_{I}\right) ,\theta _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta
_{I}\right) >u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta
_{I}\right) ,\theta _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}=\sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta
_{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が狭義事後効率的であることとは、入札者たちが入札する評価関数からなる組\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( a,t\right) \)が定める結果\(\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left(\theta _{I}\right) \right) \)が\(\theta _{I}\)のもとで狭義パレート効率的であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta
_{I}\right) \geq u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta
_{I}\right) ,\theta _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta
_{I}\right) >u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta
_{I}\right) ,\theta _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}=\sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta
_{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が狭義事後効率的であるための条件と同様です。ただし、この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定める結果は入札者たちが入札する評価関数のもとで狭義パレート効率的である一方で、入札者たちの真の評価関数のもとで狭義パレート効率的であるとは限らないため注意が必要です。

例(準線型環境の場合)
組合せオークションにおいて入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性を仮定する場合、入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left(\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{I}\right) -t_{i}
\end{equation*}となります。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は配分を金銭評価する評価関数です。このとき、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が狭義事後効率的であることとは、\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right)
-t_{i}\geq v_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right)
-t_{i}\left( \theta _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right)
-t_{i}>v_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right)
-t_{i}\left( \theta _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}=\sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta
_{I}\right)
\end{eqnarray*}を満たす結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)が存在しないことを意味します。入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性に加えて私的価値と非外部性を仮定する場合、入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta_{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =\theta _{i}\left( a_{i}\right)
-t_{i}
\end{equation*}となります。ただし、\(\theta _{i}:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \)はパッケージへの評価額を特定する評価関数です。このとき、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が狭義事後効率的であることとは、\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:\theta _{i}\left( a_{i}\right) -t_{i}\geq
\theta _{i}\left( a_{i}\left( \theta _{I}\right) \right) -t_{i}\left( \theta
_{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:\theta _{i}\left( a_{i}\right)
-t_{i}>\theta _{i}\left( a_{i}\left( \theta _{I}\right) \right) -t_{i}\left(
\theta _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i\in I}t_{i}=\sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta
_{I}\right)
\end{eqnarray*}を満たす結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)が存在しないことを意味します。メカニズム\(\left( a,t\right) \)が均衡を持つことを前提としない場合にも、\(\left( a,t\right) \)が狭義事後効率的であることは同様にして定義されます。

 

配分効率的なメカニズム

組合せオークション環境において入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性の仮定が成り立つものとします。さらに、メカニズム\(\left(a,t\right) \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。状態が\(\theta _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとでは入札者たちは正直戦略にもとづいて\(\theta _{I}\)を入札し、その入札に対してメカニズムは結果\(\left( a\left( \theta_{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) \right) \)を定めますが、この結果を構成する配分\(a\left( \theta _{I}\right) \)が\(\theta _{I}\)のもとで配分効率的であることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は配分効率的(allocative efficient)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、制度設計者はどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが配分効率的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が配分効率的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が配分効率的であることとは、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right)
=\max_{a_{I}\in A_{I}}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が配分効率的であることとは、入札者たちが入札する支払い意思額からなる組\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( a,t\right) \)が定める配分\(a\left( \theta _{I}\right) \)が\(\theta_{I}\)のもとで配分効率的であること、すなわち、\begin{equation*}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right)
=\max_{a_{I}\in A_{I}}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が配分効率的であるための条件と同様です。ただし、この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定める結果は入札者たちが入札する評価関数のもとで配分効率的である一方で、入札者たちの真の評価関数のもとで配分効率的であるとは限らないため注意が必要です。

例(準線型環境の場合)
組合せオークションにおいて入札者の利得関数に関して準線型性とリスク中立性に加えて私的価値と非外部性を仮定する場合、入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =\theta _{i}\left( a_{i}\right)
-t_{i}
\end{equation*}となります。このとき、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が配分効率的であることとは、\begin{equation*}\sum_{i\in I}\theta _{i}\left( a_{i}\left( \theta _{I}\right) \right)
=\max_{a_{I}\in A_{I}}\sum_{i\in I}\theta _{i}\left( a_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

準線型性とリスク中立性を認める場合、状態が与えられたとき、ある結果が狭義パレート効率的であることと、その結果を構成する配分が配分効率的であることは必要十分条件です。したがって、メカニズムが狭義パレート効率的であることと配分効率的であることは必要十分です。

命題(狭義パレート効率性と配分効率性の関係)
組合せオークション環境において準線型性とリスク中立性の仮定が成り立つものとする。このとき、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が狭義事後効率的であることと、\(\left( a,t\right) \)が配分効率的であることは必要十分である。
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関連知識

組合せオークションのモデル

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組合せオークションの準線型環境

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ある配分を出発点に、そこからプレイヤーのグループ(提携)が内部で商品を交換することでグループ内でのパレート改善が可能である場合、その配分はその提携によってブロックされると言います。また、いかなる提携によってもブロックされない配分をコアと呼び、コアを常に選び取るメカニズムをコア選択メカニズムと呼びます。