非分割財の交換問題におけるメカニズム

インセンティブの問題

商品を1つずつ所有している複数のプレイヤーが何らかのルールにもとづいて商品を交換しようとしている状況を非分割財の交換問題と呼ばれる環境として定式化しました。続いて問題になるのは、プレイヤーたちがどのように商品を交換すべきか、その最適な方法を考えることです。ただ、話がそう単純ではないことを以下で順を追って解説します。

それぞれのプレイヤーは交換対象である商品どうしを比較する選好を持っていますが、これは自分だけが知っている情報であり、他のプレイヤーたちはそれを事前に観察できません。仮に、あるプレイヤーが他のプレイヤーたちに対して、商品を交換する前に自身の選好を打ち明けたとしましょう。しかし、それを聞いた他のプレイヤーたちは、その発言の真偽を確認する術がありません。そのプレイヤーは嘘をついているかもしれないし、本当のことを言っているかもしれない。プレイヤーにとって選好は自身の頭の中にある情報である以上、そのプレイヤーが事前に伝えてきた選好の真偽を他のプレイヤーが判定することは原理的に不可能です。これは全てのプレイヤーの選好について当てはまります。このとき、それぞれのプレイヤーにとって自身の選好は私的情報（private information）であると言います。それぞれのプレイヤーが考える選好はその人だけが私的に持っている情報であり、他のプレイヤーたちはそれを事前に知ることはできないということです。また、市場参加者の中に私的情報を持つプレイヤーが存在するとき、その市場では情報の非対称性（asymmetric information）が成立していると言います。非分割財の交換問題ではプレイヤーの間に情報の非対称性が成立しています。

商品の交換ルールを設計する制度設計者は、何らかの意味において社会的に望ましい配分を実現しようとします。仮に制度設計者がプレイヤーたちの真の選好を観察できるならば、観察した真の選好の組を基準に社会的に望ましい配分を特定し、それを遂行すればよいことになります。しかし、実際には、先に解説したような情報の非対称性が成立しているため、制度設計者はプレイヤーたちの真の選好を観察できず、したがって社会的に望ましい配分を事前に特定することはできません。制度設計者はプレイヤーたちに自身の選好を申告させた上で、申告された選好の組を基準に社会的に望ましい配分を特定し、それを遂行せざるを得ません。ただ、それぞれのプレイヤーが申告する選好は、そのプレイヤーの真の選好と一致するとは限りません。プレイヤーは自身にとって望ましい配分を実現するために戦略的に行動しますが、その一環として、偽りの選好を表明する可能性があるからです。プレイヤーの選好は私的情報であるため、プレイヤーが嘘をついて真の選好とは異なる選好を申告しても、制度設計者はそれが嘘であるかどうかを知る術がないのです。プレイヤーたちが偽りの選好を表明する場合、制度設計者は偽りの選好の組を基準に社会的に望ましい配分を決定することとなり、それは真の選好のもとで社会的に望ましい配分とは異なるものになってしまう可能性があります。情報の非対称性に起因するこのような問題をインセンティブの問題（incentive problem）と呼びます。

インセンティブの問題を引き起こす原因が情報の非対称性である以上、インセンティブの問題を解決するためには、何らかの方法を通じて情報の非対称性を解消する必要があります。言い換えると、何らかの方法を通じて、それぞれのプレイヤーの真の選好を収集する必要があります。ただ、繰り返しになりますが、プレイヤーに選好を申告させても正直に答えるとは限りませんし、そもそも正直に答えているかどうかを判別する方法が存在しません。

ただ、それぞれのプレイヤーにとって、自分の真の選好を正直に申告することが最も得であるような商品の交換ルールを設計すれば、そのようなルールのもと、プレイヤーたちは自分の真の選好を自ら進んで正直に表明するため、結果として情報の非対称性は解消されます。さらに、その交換ルールが同時に、申告された選好の組を基準に社会的に望ましい配分を導くような形で設計されていれば、真の意味で社会的に望ましい配分を遂行できることになります。ただ、そもそも、そのような交換ルールを設計することは可能なのでしょうか。また、可能である場合、具体的にはどのようなルールがそのような要件を満たすのでしょうか。このような問題への解を得ることが私たちの目標です。

一般に、情報の非対称性が成立する市場において、私的情報を持っている参加者をエージェント（agent）と呼びます。市場において情報の非対称性が成立するとき、エージェントが自身の利益を最大化するために戦略的に振る舞う結果、その市場ではインセンティブの問題が発生します。インセンティブの問題を解消することを目的に設計されるルールをメカニズム（mechanism）と呼び、メカニズムを設計する主体をプリンシパル（principal）と呼びます。プリンシパルは適切なメカニズムを設計することを通じて、エージェントたちの行動を社会的に望ましい方向へ誘導しようとします。非分割財の交換問題におけるエージェントは商品を交換しようとしているプレイヤーたちです。プレイヤーは選好を私的情報として持っています。プレイヤーたちがより望ましい商品を手に入れるために真の選好とは異なる選好を申告する結果、交換経済ではインセンティブの問題が発生します。そこで、制度設計者はプリンシパルとして適切なメカニズム、すなわち商品交換ルールを設計し、プレイヤーたちの行動を社会的に望ましい方向へ誘導しようとします。以上の視点を踏まえた上で、非分割財の交換問題を描写するモデルを見直します。

タイプと状態

非分割財の交換問題において、それぞれのプレイヤーは選好を私的情報として持つエージェントです。そこで、以降ではプレイヤーをエージェントと呼びます。エージェント\(i\in I\)が持つ私的情報をエージェント\(i\)のタイプ（type）と呼びます。具体的には、それぞれのエージェント\(i\)のタイプは、自身が商品どうしを比較する商品集合\(H\)上に定義された選好関係\(\succsim _{i}\)として集約的に表現できるものとみなします。

エージェント\(i\)の真のタイプ、すなわち真の選好は1つだけですが、それを観察できるのはエージェント\(i\)だけであり、他の任意のエージェントや制度設計者はそれを事前に観察できません。このような事情をモデル化するために、エージェント\(i\)の選好\(\succsim _{i}\)は様々な値を取り得るものとし、その中の真の値を知っているのはエージェント\(i\)自身だけであるものとみなします。具体的には、エージェント\(i\)の選好がとり得る値からなる集合を\(\mathcal{R}_{i}\)で表し、これをエージェント\(i\)の選好集合（preference set）やタイプ集合（type set）などと呼びます。\(\succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}\)です。エージェント\(i\)の選好\(\succsim_{i}\)は選好集合\(\mathcal{R}_{i}\)に属する様々な値を取り得ますが、\(\succsim _{i}\)の真の値を知っているのはエージェント\(i\)だけです。他の任意のエージェントや制度設計者は、\(\succsim _{i}\)のとり得る値の範囲\(\mathcal{R}_{i}\)を知っていますが、その中のどの値が真の値であるかは知らないものと仮定することで、エージェント\(i\)の選好が私的情報であるという状況を表現するということです。

すべてのエージェントの選好関係からなる組を\(\succsim _{I}=(\succsim _{i})_{i\in I}\)で表記し、これを選好プロファイル（preferenceprofile）やタイププロファイル（type profile）などと呼びます。エージェント\(i\)以外のエージェントたちの選好の組を\(\succsim _{-i}=\left( \succsim _{j}\right) _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }\)で表記します。\(\succsim _{I}=\left( \succsim _{i},\succsim _{-i}\right) \)です。

すべてのエージェントの選好集合からなる集合を\(\left\{ \mathcal{R}_{i}\right\} _{i\in I}\)で表記し、その直積集合を\(\mathcal{R}_{I}=\prod_{i\in I}\mathcal{R}_{i}\)で表記します。\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)です。また、エージェント\(i\)以外のエージェントたちの選好集合の直積を\(\mathcal{R}_{-i}=\prod_{j\in I\backslash \{i\}}\mathcal{R}_{j}\)で表記します。\(\succsim _{-i}\in \mathcal{R}_{-i}\)です。

エージェントたちの選好の組\(\succsim _{I}\)は問題としている非分割財の交換問題の状態（state of the world）とも呼ばれます。すべてのエージェントたちの真の選好から構成される状態\(\succsim _{I}\)は、その交換問題の真の状態（true state）に相当します。ただ、それぞれのエージェント\(i\)が知っているのは自身の真の選好\(\succsim _{i}\)だけであり、交換問題の真の状態\(\succsim _{I}\)を構成する残りの要素\(\succsim _{-i}\)については正確に知らず、\(\succsim _{-i}\)がとり得る値の範囲\(\mathcal{R}_{-i}\)だけを知っています。つまり、選好\(\succsim _{i}\)を持つエージェント\(i\)が直面し得る状態からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ \left( \succsim _{i},\succsim _{-i}\right) \right\} _{\succsim
_{-i}\in \mathcal{R}_{-i}}
\end{equation*}であり、エージェント\(i\)はこのことを認識しています。他の任意のエージェントについても同様です。

メカニズム

仮に制度設計者が問題としている交換問題の真の状態\(\succsim _{I}\)を観察できるならば、観察した\(\succsim _{I}\)を基準に社会的に望ましい配分を配分集合\(A\)の中から選び取ることが原理的に可能であるため、インセンティブの問題は発生しません。しかし、実際には、制度設計者は真の状態\(\succsim _{I}\)を事前に観察できず、状態がとり得る値の範囲\(\mathcal{R}_{I}\)だけを知っています。このような状況においてインセンティブの問題を解消するために、制度設計者は何らかの商品交換ルール、すなわちメカニズム設計する必要があります。

具体的には、制度設計者はエージェントたちに選好を申告させると同時に、申告された選好の組に応じて特定の配分を選択するルールをあらかじめ設計します。これをメカニズム（mechanism）や直接メカニズム（direct mechanism）などと呼びます。より正確には、メカニズムとは、エージェントたちが申告する選好の組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、何らかの配分\begin{equation*}\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( \phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right) \right) _{i\in I}\in A
\end{equation*}を定める写像\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)として定式化されます。ただし、\(\phi_{i}\left( \succsim _{I}\right) \)はメカニズムが定める配分\(\phi \left(\succsim _{I}\right) \)においてエージェント\(i\)に割り当てられる商品であるため、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \in H
\\
&&\left( b\right) \ \bigcup\limits_{i\in I}\left\{ \phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right) \right\} =H \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in I:\left[ i\not=j\Rightarrow \phi
_{i}\left( \succsim _{I}\right) \not=\phi _{j}\left( \succsim _{I}\right) \right] \end{eqnarray*}を満たす必要があります。つまり、\(\left( a\right) \)メカニズムが定める配分においてそれぞれのプレイヤーに割り当てられる商品は初期時点において誰かが所有している商品であり、\(\left( b\right) \)配分においてそれぞれの商品は必ず誰かに割り当てられており、\(\left( c\right) \)配分において同じ商品が異なるエージェントに割り当てられることはない、ということです。

制度設計者はメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)を利用して以下の流れのもとで資源配分を行います。

1. 制度設計者はメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)を設計し、それをエージェントたちに提示する。
2. それぞれのエージェント\(i\in I\)は提示されたメカニズム\(\phi \)に同意すれば次のステップへ進む。同意しない場合には商品交換に参加せず、自身が初期保有する商品\(h_{i}\in H\)をそのまま需要する。
3. メカニズム\(\phi \)に同意したそれぞれのエージェント\(i\)は自身の選好\(\succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}\)を制度設計者へ申告する。その際、他のエージェントたちが申告する選好を観察することはできない。また、エージェントは真の選好を正直に申告するとは限らない。
4. 仮にすべてのエージェントがメカニズム\(\phi \)に同意する場合、制度設計者は全員が申告してきた選好からなる組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を得る。その上で、\(\succsim _{I}\)に対して先に提示したメカニズム\(\phi \)にもとづいて配分\(\phi \left(\succsim _{I}\right) \in A\)を選び取り、これを遂行する。その結果、それぞれのエージェント\(i\)は商品\(\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \in H\)を入手する。

ここでの1つ目のポイントは、制度設計者はエージェントたちに交渉の余地のないオファー（take-it-or-leave-it offer）をしているという点です。つまり、エージェントたちは提示されたメカニズムに同意するか否かの二択に直面しており、メカニズムの内容に対してプリンシパルと交渉する余地は与えられていません。

2つ目のポイントは、制度設計者は自身が最初に提示したメカニズムを後で撤回し、別のメカニズムを再提示することはできないという点です。このとき、制度設計者は自身が提示したメカニズムにコミット（commit）していると言います。なお、メカニズムに同意しないエージェントは自身が初期保有する商品をそのまま需要するため、自身が初期保有する商品への満足度はそのエージェントにとっての留保効用（reservation utility）に相当します。

3つ目のポイントは、制度設計者はエージェントたちの真の選好の組を事前に観察できないため、直接メカニズムはエージェントたちが申告してきた選好の組に対して配分を定める形にならざるを得ないということです。しかも、それぞれのエージェントが申告する選好は真の選好であるとは限りません。エージェントは偽りの選好を表明することが得であると判断するならば戦略的に嘘をつく可能性があるからです。しかも、選好はエージェントの私的情報である以上、エージェントが表明する選好が真の選好であるか否かを第三者は判定できません。ただ、制度設計者がメカニズムを巧みに設計すれば、エージェントたちが真の選好を表明するように誘導すると同時に、社会的に望ましい配分を実現できる可能性があります。この点については後述します。