非分割財の交換経済におけるメカニズムが与えられたとき、プレイヤーたちが申告する選好の内容に関わらず、メカニズムが定める配分が任意のプレイヤーにとって初期配分以上に望ましいことが保証されるならば、そのようなメカニズムは個人合理性を満たすと言います。
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個人合理的な配分

非分割財の交換経済において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、ある配分\(a_{I}\in A\)が、\begin{equation*}
\forall i\in I:a_{I}\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}を満たすのであれば、つまり、任意のプレイヤーにとって配分\(a_{I}\)が初期配分\(h_{I}\)以上に望ましい場合には、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理性(individually rational)を満たすと言います。一般に、個人的な配分は状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において個人合理的な配分が、別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても個人合理的であるとは限りません。状態\(\succsim _{I}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\forall i\in I:h_{I}\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}という関係が明らかに成り立ちます。つまり、初期配分\(h_{I}\)は常に個人合理的です。これは、非分割財の交換経済には個人合理的な配分が必ず存在することを意味します。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、ある配分\(a_{I}\in A\)が個人合理的であることは、\begin{equation*}
\forall i\in I:a_{i}\succsim _{i}h_{i}
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。つまり、任意のプレイヤー\(i\)にとって、配分\(a_{I}\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)が、自身が初期保有する商品\(h_{i}\)以上に望ましいということです。

例(個人合理的な配分)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、プレイヤー集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はプレイヤー\(i\)が初期保有する商品です。プレイヤーたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}
h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{equation*}に注目すると、プレイヤー\(3\)に関して、\begin{equation*}
h_{3}\succ _{3}h_{2}=a_{3}
\end{equation*}が成り立つため、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理的ではありません。一方、以下の配分\begin{equation*}
a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
},a_{4}^{\prime }\right) =\left( h_{2},h_{1},h_{4},h_{3}\right)
\end{equation*}に注目すると、それぞれのプレイヤーに関して、\begin{eqnarray*}
a_{1}^{\prime } &=&h_{2}\succ _{1}h_{1} \\
a_{2}^{\prime } &=&h_{1}\succ _{2}h_{2} \\
a_{3}^{\prime } &=&h_{4}\sim _{3}h_{3} \\
a_{4}^{\prime } &=&h_{3}\sim _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は個人合理的です。

 

個人合理的なメカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が与えられたとき、プレイヤーたちが申告する選好の組が\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)である場合、それに対してメカニズム\(\phi \)は配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \in A\)を選び取ります。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall i\in I:\phi \left(
\succsim _{I}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}が成り立つ場合には、つまり、プレイヤーたちが申告する選好の組\(\succsim _{I}\)の内容に関わらず、それに対してメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が任意のプレイヤーにとって\(\succsim _{I}\)のもとで個人合理的であることが保証される場合には、そのようなメカニズム\(\phi \)は個人合理性(individually rational)や事後個人合理性(ex-post individual rational)を満たすと言います。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、あるメカニズム\(\phi \)が個人合理性を満たすことは、\begin{equation*}
\forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall i\in I:\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \succsim _{i}h_{i}
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。つまり、プレイヤーたちが申告する選好の組\(\succsim _{I}\)の内容に関わらず、メカニズム\(\phi \)のもとでそれぞれのプレイヤー\(i\)に割り当てられる商品\(\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \)は、自身が表明した選好\(\succsim _{i}\)のもとで、自身が初期保有する商品\(h_{i}\)以上に望ましいことが保証されるということです。

 

個人合理的かつ誘因両立的なメカニズム

非分割財の交換経済における真の状態を\(\succsim _{I}^{\ast }\)で表記します。一方、メカニズム\(\phi \)に直面したプレイヤーたちが申告する選好の組を\(\succsim _{I}\)で表記します。一般に、プレイヤーたちは偽りの選好を申告する可能性があるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限りません。メカニズム\(\phi \)が個人合理的であるならば、\begin{equation*}
\forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall i\in I:\phi \left(
\succsim _{I}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、プレイヤーたちが申告した選好\(\succsim _{I}\)に照らし合わせてメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を評価するとき、任意のプレイヤーにとって\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は初期配分\(h_{I}\)以上に望ましいことが保証されます。ただ、繰り返しになりますが\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限らないため、上の配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)に対して、\begin{equation*}
\phi \left( \succsim _{I}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}^{\ast }\right] \ h_{I}
\end{equation*}を満たさないプレイヤー\(i\)が存在する可能性があります。より具体的には、\begin{equation*}
h_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}^{\ast }\right] \ \phi \left(
\succsim _{I}\right)
\end{equation*}を満たすプレイヤー\(i\)が存在し得るということです。つまり、真の状態\(\succsim _{I}^{\ast }\)に照らし合わせてメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を評価するとき、初期配分\(h_{I}\)を\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)より望ましいものと考えるプレイヤー\(i\)が存在する可能性があります。ただ、メカニズム\(\phi \)が個人合理性に加えて誘因両立性を満たす場合には、メカニズム\(\phi \)のもとでのゲーム\(G\left( \phi \right) \)において全員が正直戦略にしたがって行動することが均衡になるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致することが保証されます。ゆえに、この場合、\(\phi \left( \succsim _{I}^{\ast }\right) \)が均衡結果になるとともに、そこにおいて、\begin{equation*}
\forall i\in I:\phi \left( \succsim _{I}^{\ast }\right) \ \succsim _{i}^{A}
\left[ \succsim _{I}^{\ast }\right] \ h_{I}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、個人合理的かつ誘因両立的なメカニズムのもとでは、すべてのプレイヤーは自身の真の選好を正直に表明するとともに、すべてのプレイヤーは真の状態に照らし合わせて初期配分以上に望ましい配分に直面することが理論的に予測できます。言い換えると、すべてのプレイヤーはメカニズムに参加した場合に損をしないことが保証されるということです。したがって、誘因両立性を満たすメカニズムが与えられたとき、そのメカニズムがさらに個人合理性を満たすことは、すべてのプレイヤーを自発的にメカニズムへ参加させるために最低限満たすべき条件となります。このような事情を踏まえた上で、個人合理性を参加制約(participation constraint)と呼ぶこともあります。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、あるメカニズム\(\phi \)が個人合理性と誘因両立性を満たす場合には、\begin{equation*}
\forall i\in I:\phi _{i}\left( \succsim _{I}^{\ast }\right) \succsim
_{i}^{\ast }h_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、そのようなメカニズムのもとでは、すべてのプレイヤーは自身の真の選好を正直に申告するとともに、すべてのプレイヤーは自身の真の選好に照らし合わせて自身が初期保有する商品以上に望ましい商品を入手できることが理論的に予測できます。

次回はメカニズムが満たすべき望ましい性質の1つであるパレート効率性と呼ばれる概念について解説します。

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