個人合理的なメカニズム
非分割財の交換問題において何らかの均衡を遂行できる商品交換メカニズムの設計に成功した場合においても、そもそもエージェントたちがメカニズムに参加しなければ、メカニズムが意図する配分を遂行できなくなってしまいます。ただ、制度設計者はエージェントたちに対してメカニズムに参加するよう強制できるとは限りません。エージェントたちをメカニズムへ参加させるためには、エージェントたちがメカニズムに参加しても損をしないことを制度の中で保証する必要があります。
何らかの均衡を遂行するメカニズムが与えられたとき、すべてのエージェントにとって、均衡において直面する結果が、メカニズムに参加しない場合に直面する結果以上に望ましいことが保証されている場合、そのようなメカニズムは個人合理的（indivisual rational）であると言います。
エージェントは個人合理的なメカニズムに参加しても損することはありません。したがって、個人合理性はすべてのエージェントをメカニズムに参加させる上で最低限必要な条件です。このような意味において、個人合理性は参加制約（participation constraint）とも呼ばれます。
個人合理的な配分
非分割財の交換問題において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、配分\(a_{I}\in A\)が、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}を満たすのであれば、つまり、任意のエージェントにとって配分\(a_{I}\)が初期配分\(h_{I}\)以上に望ましい場合には、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理的（indivisualrational）であると言います。一般に、個人合理的な配分は状態\(\succsim_{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において個人合理的な配分が、別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても個人合理的であるとは限りません。状態\(\succsim _{I}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall i\in I:h_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}という関係が明らかに成り立ちます。つまり、初期配分\(h_{I}\)は常に個人合理的です。これは、非分割財の交換問題には個人合理的な配分が必ず存在することを意味します。
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つため、エージェント\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、エージェント\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。したがって、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が個人合理的であることとは、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{i}\succsim _{i}h_{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、任意のエージェント\(i\)にとって、配分\(a_{I}\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)が自身が初期保有する商品\(h_{i}\)以上に望ましいということです。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であるとともに、任意のプレイヤー\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。プレイヤーたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が以下の表で与えられているものとします。
$$\begin{array}{ccccc}\hline
プレイヤー\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
1 & h_{3} & h_{2} & h_{4} & h_{1} \\ \hline
2 & h_{4} & h_{1} & h_{2} & h_{3} \\ \hline
3 & h_{1} & h_{4} & h_{3} & h_{2} \\ \hline
4 & h_{3} & h_{2} & h_{1} & h_{4} \\ \hline
\end{array}$$
以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{equation*}に注目すると、エージェント\(3\)について、\begin{equation*}h_{3}\succ _{3}h_{2}=a_{3}
\end{equation*}が成り立つため、先の\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理的ではありません。一方、以下の配分\begin{equation*}a_{I}^{\prime }=\left( h_{2},h_{1},h_{4},h_{3}\right)
\end{equation*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
a_{1}^{\prime } &=&h_{2}\succ _{1}h_{1} \\
a_{2}^{\prime } &=&h_{1}\succ _{2}h_{2} \\
a_{3}^{\prime } &=&h_{4}\succ _{3}h_{3} \\
a_{4}^{\prime } &=&h_{3}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は個人合理的です。
事後個人合理的なメカニズム
非分割財の交換問題におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。以上の条件のもとで、すべてのエージェントにはなおもメカニズムから逸脱しようとするインセンティブがない場合には、そのメカニズムは事後個人合理的（ex-post individualrational）であると言います。
状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは均衡配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めます。一方、エージェントたちがメカニズムに参加しない場合には初期配分\(h_{I}\)が実現します。メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、メカニズムが事後個人合理的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、任意のエージェントが任意の均衡において直面する配分が初期配分以上に望ましいことを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が事後個人合理的であることとは、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}:\phi \left(
\succsim _{I}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。
メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が個人合理的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi\left( \succsim _{I}\right) \)が\(\succsim _{I}\)のもとで個人合理的であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall i\in I:\phi \left(
\succsim _{I}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。この条件は形式的には\(\left( 1\right) \)と一致します。ただし、この場合、メカニズム\(\phi \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定めるマッチングはエージェントたちが申告する選好プロファイルのもとで個人合理的である一方で、エージェントたちの真の選好のもとで個人合理的であるとは限りません。つまり、真の意味で個人合理的な配分を遂行するためには、メカニズムは個人合理的であるとともに誘因両立的である必要があるということです。
\succsim _{I}\right) \succsim _{i}h_{i} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。つまり、状態\(\succsim _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、任意のエージェント\(i\)は自身の真の選好\(\succsim _{i}\)を正直に表明することが均衡になるとともに、均衡配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)において、真の選好\(\succsim _{i}\)のもとで自身の初期保有\(h_{i}\)以上に望ましいものと評価する商品\(\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \)を入手できることが保証されているということです。一方、メカニズム\(\phi \)が均衡を持つことを前提としない場合、\(\phi \)が事後個人合理的であることとは、\begin{equation*}\forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall i\in I:\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \succsim _{i}h_{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは形式的には\(\left( 1\right) \)と一致します。つまり、エージェントたちが申告する選好\(\succsim _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、任意のエージェント\(i\)は、自身が表明した選好\(\succsim _{i}\)のもとで自身の初期保有\(h_{i}\)以上に望ましいものと評価する商品\(\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \)を入手できることが保証されているということです。
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