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非分割財の交換経済における個人合理的メカニズム

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個人合理的なメカニズム

非分割財の交換経済において何らかの均衡を遂行できる商品交換メカニズムの設計に成功した場合においても、そもそもエージェントたちがメカニズムに参加しなければ、メカニズムが意図する配分を遂行できなくなってしまいます。ただ、マッチメイカーはエージェントたちに対してメカニズムに参加するよう強制できるとは限りません。エージェントたちをメカニズムへ参加させるためには、エージェントたちがメカニズムに参加しても損をしないことを制度の中で保証する必要があります。

何らかの均衡を遂行するメカニズムが与えられたとき、すべてのエージェントにとって、均衡において直面する結果が、メカニズムに参加しない場合に直面する結果以上に望ましいことが保証されている場合、そのようなメカニズムは個人合理的(indivisual rational)であると言います。

エージェントは個人合理的なメカニズムに参加しても損することはありません。したがって、個人合理性はすべてのエージェントをメカニズムに参加させる上で最低限必要な条件です。このような意味において、個人合理性は参加制約(participation constraint)とも呼ばれます。

 

個人合理的な配分

非分割財の交換経済において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、配分\(a_{I}\in A\)が、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}を満たすのであれば、つまり、任意のエージェントにとって配分\(a_{I}\)が初期配分\(h_{I}\)以上に望ましい場合には、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理的(indivisualrational)であると言います。一般に、個人合理的な配分は状態\(\succsim_{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において個人合理的な配分が、別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても個人合理的であるとは限りません。状態\(\succsim _{I}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall i\in I:h_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}という関係が明らかに成り立ちます。つまり、初期配分\(h_{I}\)は常に個人合理的です。これは、非分割財の交換経済には個人合理的な配分が必ず存在することを意味します。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が個人合理的であることとは、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{i}\succsim _{i}h_{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、任意のエージェント\(i\)にとって、配分\(a_{I}\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)が自身の初期保有\(h_{i}\)以上に望ましいということです。
例(個人合理的な配分)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であり、状態\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{1}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{1}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{equation*}に注目すると、エージェント\(3\)について、\begin{equation*}h_{3}\succ _{3}h_{2}=a_{3}
\end{equation*}が成り立つため、\(\succsim_{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理的ではありません。一方、以下の配分\begin{equation*}a_{I}^{\prime }=\left( h_{2},h_{1},h_{4},h_{3}\right)
\end{equation*}に注目すると、それぞれのエージェントに関して、\begin{eqnarray*}
a_{1}^{\prime } &=&h_{2}\succ _{1}h_{1} \\
a_{2}^{\prime } &=&h_{1}\succ _{2}h_{2} \\
a_{3}^{\prime } &=&h_{4}\succ _{3}h_{3} \\
a_{4}^{\prime } &=&h_{3}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\succsim_{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は個人合理的です。

 

事後個人合理的なメカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。以上の条件のもとで、すべてのエージェントにはなおもメカニズムから逸脱しようとするインセンティブがない場合には、そのメカニズムは事後個人合理的(ex-post individual rational)であると言います。

市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定め、その配分からそれぞれのエージェント\(i\)は商品\(\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \)を得ます。一方、エージェント\(i\)がメカニズムに参加しない場合には初期配分\(h_{I}\)を構成する自身の初期保有\(h_{i}\)をそのまま保有し続けます。メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、メカニズムが事後個人合理的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、任意のエージェントが任意の均衡において直面する配分が初期配分以上に望ましいことを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が事後個人合理的であることとは、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}:\phi \left(
\succsim _{I}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が個人合理的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( s_{I}\left( \succsim _{I}\right) \right) \)が\(\succsim _{I}\)のもとで個人合理的であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall i\in I:\phi \left(
\succsim _{I}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。この条件は\(\left( 1\right) \)と一致します。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が事後個人合理的であることとは、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}:\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \succsim _{i}h_{i} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。メカニズム\(\phi \)が均衡を持つことを前提としない場合、\(\phi \)が事後個人合理的であることとは、\begin{equation*}\forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall i\in I:\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \succsim _{i}h_{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは\(\left( 1\right) \)と一致します。

次回はメカニズムが満たすべき望ましい性質の1つであるパレート効率性と呼ばれる概念について解説します。

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