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競争均衡

非分割財の交換経済はエージェントたちが金銭などの分割可能な交換媒体を使うことができない状況を想定したモデルですが、仮に、非分割財の交換経済に対して何らかの価格体系を便宜的に導入すると、競争均衡(competitive equilibrium)に相当する概念をどのような形で表現できるでしょうか。このような問題について考える上で参考になるのは、市場均衡理論に登場する純粋交換経済(pure exchange economy)のモデルです。

純粋交換経済モデルの構成要素は消費者と経済資源です。初期時点において、すべての経済資源は消費者たちによって所有されています。また、消費者は資源配分どうしを比較する選好関係を持っています。仮に、すべての経済資源がある市場価格のもとで取引可能である場合、純粋交換経済における競争均衡(competitive equilibrium)とは、直感的には、以下の条件をすべて満たす資源配分と価格体系の組を指します。

  1. それぞれの消費者は、与えられた価格体系と自身の初期保有によって規定される予算制約のもとで、自身の選好に照らし合わせて最良の資源配分を実現している。
  2. すべての商品市場において需要と供給が均衡している。

非分割財の交換経済はエージェントたちが金銭を用いずに商品を交換する状況を想定したモデルですが、モデルの構造は純粋交換経済と同様です。そこで、非分割財の交換経済において何らかの価格体系を便宜的に導入した場合、そこでの競争均衡はどのような形で特徴づけられるか考察します。

復習になりますが、非分割財の交換経済においてエージェントの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、交換経済は、\begin{equation*}
\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A\right)
\end{equation*}と定式化されます。ただし、\(I\)はエージェント集合、\(h_{i}\)はエージェント\(i\in I\)が初期保有する商品、\(\succsim _{i}\)はエージェント\(i\)が商品どうしを比較する選好関係であり、これは商品集合\(H=\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I}\)上に定義された二項関係です。また、\(A\)は配分集合であり、それぞれの配分\(a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}\in A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\in H \\
&&\left( b\right) \ \bigcup\limits_{i\in I}\left\{ a_{i}\right\} =H \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in I:\left( i\not=j\Rightarrow
a_{i}\not=a_{j}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たします。

以上の経済に価格体系を導入します。具体的には、それぞれの商品\(h\in H\)の価格を\(p_{h}\in \mathbb{R} _{+}\)で表記すると、すべての商品の価格からなるベクトルが、\begin{equation*}
p=\left( p_{h}\right) _{h\in H}\in \mathbb{R} _{+}^{\left\vert H\right\vert }
\end{equation*}として得られます。純粋交換経済における競争均衡が資源配分と価格ベクトルの組として表現されるのと同様、非分割財の交換経済における競争均衡もまた、配分と価格ベクトルの組\begin{equation*}
\left( a_{I},p\right) \in A\times \mathbb{R} _{+}^{\left\vert H\right\vert }
\end{equation*}として表現します。では、競争均衡はどのような性質を満たす組\(\left( a_{I},p\right) \)として特徴づけられるでしょうか。

まず、非分割財の交換経済における需給均衡条件について考えます。非分割財の交換経済が与えられたとき、初期配分\(h_{I}\in A\)では商品集合\(H\)に属するすべての商品がエージェント集合\(I\)に属するエージェントたちに1つずつ配分されています。他の任意の配分\(a_{I}\in A\)においても同様であるため、資源配分の候補を配分集合\(A\)から選ぶ限りにおいて、その配分は自動的に市場の需給均衡条件を満たしています。

続いて、非分割財の交換経済におけるエージェントの選好最大化条件について考えます。非分割財の交換経済が与えられたとき、配分と価格ベクトルの組\(\left( a_{I},p\right) \)が競争均衡であるためには、まず、それぞれのエージェントの予算制約が満たされている必要があります。具体的には、与えられた価格体系\(p\)のもとでエージェント\(i\)が初期保有する商品\(h_{i}\)を販売すれば、エージェント\(i\)はその商品の価格\(p_{h_{i}}\)に相当する所得を得ます。一方、配分\(a_{I}\)においてエージェント\(i\)に割り当てられる商品\(a_{i}\)を価格体系\(p\)のもとで購入するためには、その商品の価格\(p_{a_{i}}\)に相当する金額を支払う必要があります。したがって、価格体系\(p\)のもとで配分\(a_{I}\)が予算制約を満たすことは、\begin{equation*}
\forall i\in I:p_{a_{i}}\leq p_{h_{i}}
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。さらに、価格体系\(p\)と配分\(a_{I}\)のもとで任意のエージェント\(i\)の選好が最大化されていることとは、エージェント\(i\)が自身の選好\(\succsim _{i}\)に照らし合わせて、\(a_{I}\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)を、価格体系\(p\)のもとで自身が入手可能な任意の商品以上に評価していること、すなわち、\begin{equation*}
\forall i\in I,\ \forall h\in H:\left( p_{h}\leq p_{h_{i}}\Rightarrow
a_{i}\succsim _{i}h\right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。競争均衡とは、以上の2つの条件を満たす配分と価格ベクトルの組\(\left( a_{I},p\right) \)として特徴づけられます。

議論を整理しましょう。非分割財の交換経済(の私的価値モデル)が与えられたとき、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分と価格ベクトルの組\(\left( a_{I},p\right) \in A\times \mathbb{R} _{+}^{\left\vert H\right\vert }\)が競争均衡(competitive equilibrium)であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:p_{a_{i}}\leq p_{h_{i}} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I,\ \forall h\in H:\left( p_{h}\leq
p_{h_{i}}\Rightarrow a_{i}\succsim _{i}h\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。ただし、\(\left( a\right) \)は予算制約であり、\(\left( b\right) \)は選好最大化の条件です。また、状態\(\succsim _{I}\)と配分\(a_{I}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(\succsim _{I}\)において\(\left( a_{I},p\right) \)が競争均衡になるような価格ベクトル\(p\)が存在場合には、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は競争的(competitive)であると言います。

例(競争均衡)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}
h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。このとき、以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{equation*}が\(\succsim _{I}\)において競争的であることを示します。具体的には、以下の価格体系\begin{equation*}
p=\left( p_{h_{1}},p_{h_{2}},p_{h_{3}},p_{h_{4}}\right) =\left(
3,2,3,2\right)
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
p_{a_{1}} &=&p_{h_{3}}=3\leq 3=p_{h_{1}} \\
p_{a_{2}} &=&p_{h_{4}}=2\leq 2=p_{h_{2}} \\
p_{a_{3}} &=&p_{h_{1}}=3\leq 3=p_{h_{3}} \\
p_{a_{4}} &=&p_{h_{2}}=2\leq 2=p_{h_{4}}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left( a_{I},p\right) \)が予算制約を満たすことが明らかになりました。続いて、選好最大化の条件の確認です。まず、エージェント\(1\)については、\(p_{h}<p_{h_{1}}\)を満たす商品\(h\)は\(h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\)ですが、\begin{equation*}
a_{1}=h_{3}\succ _{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1}
\end{equation*}が成り立つため、選好最大化が実現しています。エージェント\(2\)については、\(p_{h}<p_{h_{2}}\)を満たす商品\(h\)は\(h_{4}\)ですが、\begin{equation*}
a_{2}=h_{4}\succsim _{2}h_{4}
\end{equation*}が成り立つため、選好最大化が実現しています。エージェント\(3\)については、\(p_{h}<p_{h_{3}}\)を満たす商品\(h\)は\(h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\)ですが、\begin{equation*}
a_{3}=h_{1}\succ _{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2}
\end{equation*}が成り立つため、選好最大化が実現しています。エージェント\(4\)については、\(p_{h}<p_{h_{4}}\)を満たす商品\(h\)は\(h_{2}\)ですが、\begin{equation*}
a_{4}=h_{2}\succsim _{4}h_{2}
\end{equation*}が成り立つため、選好最大化が実現しています。したがって、\(\left( a_{I},p\right) \)が選好最大化の条件を満たすことが明らかになりました。

 

競争均衡メカニズム

非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいてメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が与えられたとき、エージェントたちが申告する選好の組が\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)である場合、それに対してメカニズム\(\phi \)は配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \in A\)を選び取ります。以上を踏まえたとき、それぞれの\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:p_{\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right)
}\leq p_{h_{i}} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I,\ \forall h\in H:\left( p_{h}\leq
p_{h_{i}}\Rightarrow \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \succsim
_{i}h\right)
\end{eqnarray*}を満たす価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{+}^{\left\vert H\right\vert }\)が存在するならば,つまり、エージェントたちが申告する選好の組\(\succsim _{I}\)の内容に関わらず、それに対してメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が\(\succsim _{I}\)のもとで競争的であることが保証される場合には、そのようなメカニズム\(\phi \)を競争均衡メカニズム(competitive equilibrium mechanism)と呼びます。

 

競争均衡と誘因両立性の関係

非分割財の交換経済の私的価値モデルにおける真の状態を\(\succsim _{I}^{\ast }\)で表記します。一方、メカニズム\(\phi \)に直面したエージェントたちが申告する選好の組を\(\succsim _{I}\)で表記します。一般に、エージェントたちは偽りの選好を申告する可能性があるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限りません。メカニズム\(\phi \)が競争均衡メカニズムであるならば、エージェントたちが申告した選好\(\succsim _{I}\)に対してメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとで競争的であることが保証されます。ただ、繰り返しになりますが\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限らないため、先の配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は真の状態\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとで競争的ではないかもしれません。より具体的には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:p_{\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right)
}\leq p_{h_{i}} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I,\ \forall h\in H:\left( p_{h}\leq
p_{h_{i}}\Rightarrow \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \succsim
_{i}^{\ast }h\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{+}^{\left\vert H\right\vert }\)が存在しない可能性があるということです。ただ、メカニズム\(\phi \)が競争均衡メカニズムであることに加えて誘因両立性を満たす場合には、メカニズム\(\phi \)のもとでのゲーム\(G\left( \phi \right) \)において全員が正直戦略にしたがって行動することが均衡になるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致することが保証されます。ゆえに、この場合、\(\phi \left( \succsim _{I}^{\ast }\right) \)が均衡結果になるとともに、それは真の状態\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとで競争的となります。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:p_{\phi _{i}\left( \succsim _{I}^{\ast
}\right) }\leq p_{h_{i}} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I,\ \forall h\in H:\left( p_{h}\leq
p_{h_{i}}\Rightarrow \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \succsim
_{i}^{\ast }h\right)
\end{eqnarray*}をともにたす価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{+}^{\left\vert H\right\vert }\)が存在するということです。競争均衡かつ誘因両立的なメカニズムのもとでは、すべてのエージェントは自身の真の選好を正直に表明するとともに、真の状態に照らし合わせて競争的であるような配分が実現することが理論的に予測できます。

次回はトップ・トレーディング・サイクルメカニズムと呼ばれるメカニズムについて解説します。

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