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安定的な配分

復習になりますが、非分割財の交換経済が与えられたとき、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)がコアであることとは、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)の組が存在しないことを意味します。条件\(\left( a\right) \)は、提携\(T\)に属するエージェントたちが彼らの間で商品を交換することを通じて自力で\(a_{T}^{\prime }\)を実現できることを意味し、条件\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)は、提携\(T\)に属するエージェントたちにとって\(a_{T}^{\prime }\)が\(a_{T}\)をパレート支配することを意味します。以上を踏まえると、配分\(a_{I}\)がコアである場合には、エージェントたちに\(a_{I}\)を提示したとき、いかなる提携も、提携の内部でコアから逸脱してパレート改善しようとしてもそれは不可能であることを意味します。

以上の解説は、出発点である初期配分\(h_{I}\)を念頭に置いたものです。つまり、エージェントたちが商品を交換する前の時点においてコア\(a_{I}\)を提示されたとき、任意の提携はコア\(a_{I}\)を拒否してそこから逸脱しようとする理由を持たないということです。では、エージェントたちが商品を実際に交換してコア\(a_{I}\)を実現した後にも、任意の提携はコア\(a_{I}\)に留まり続ける動機を持つのでしょうか。つまり、エージェントたちが商品を再交換する可能性を考慮した場合においても、コアはコアであり続けるのでしょうか。以下の例が示唆するように、初期時点においてコアであるような配分は、商品の交換後においてもコアであり続けるとは限りません。

例(コア)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}
h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{1} \\
h_{1} &\succ &_{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{2} &\succ &_{3}h_{3}\succ _{3}h_{1}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の2つの配分\begin{eqnarray*}
a_{I} &=&\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( h_{3},h_{1},h_{2}\right) \\
a_{I}^{\prime } &=&\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
}\right) =\left( h_{2},h_{1},h_{3}\right)
\end{eqnarray*}はともに\(\succsim _{I}\)におけるコアです(確認してください)。まず、初期配分\(h_{I}\)を出発点にエージェントたちが商品を交換し、コア\(a_{I}\)が実現した状況を想定します。つまり、初期配分を\(a_{I}\)とする新たな交換経済について考えるということです。この新たな交換経済において、すべてのエージェントは自身にとって最も望ましい商品を初期保有しているため、\(\succsim _{I}\)のもとで初期配分\(a_{I}\)は依然としてコアです。したがって、エージェントたちは商品を再交換する動機を持ちません。続いて、初期配分\(h_{I}\)を出発点にエージェントたちが商品を交換し、もう一方のコア\(a_{I}^{\prime }\)が実現した状況を想定します。つまり、初期配分を\(a_{I}^{\prime }\)とする新たな交換経済について考えるということです。この新たな交換経済において、\(a_{I}^{\prime }\)はもはやコアではありません。実際、この新たな交換経済においてエージェント\(1\)が初期保有する商品は\(a_{1}^{\prime }=h_{2}\)であり、エージェント\(3\)が初期保有する商品は\(a_{3}^{\prime }=h_{3}\)ですが、彼らから構成される提携\(\left\{ 1,3\right\} \)に注目すると、彼らが商品を交換して局所的な配分\begin{equation*}
a_{\left\{ 1,3\right\} }^{\prime \prime }=\left( a_{1}^{\prime \prime
},a_{3}^{\prime \prime }\right) =\left( h_{3},h_{2}\right)
\end{equation*}を実現することで、彼らはともにより望ましい状態へ移行できるからです。したがって、この提携\(\left\{ 1,3\right\} \)に属するエージェントたちは商品を再交換する動機を持ちます。以上を踏まえると、\(a_{I}\)は\(a_{I}^{\prime }\)よりも頑健であると言えます。

非分割財の交換経済が与えられたとき、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)がコアであるものとします。さらに、このコア\(a_{I}\)を初期配分とする新たな非分割財の交換経済について考えたとき、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)が依然としてコアであるならば、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=a_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)の組が存在しない場合には、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は安定的(stable)であると言います。非分割財の交換経済に複数のコアが存在するとき、安定的なコアはそうではないコアよりも、より頑強であるという意味においてより望ましいと言えます。なぜなら、エージェントたちが商品の再交換を行う可能性を考慮したとき、安定的なコアを出発点に商品を再交換しようとする提携は存在しない一方で、安定的ではないコアに関しては、そこから商品を再交換しようとする提携が存在し得るからです。

非分割財の交換経済においてエージェントの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が安定的であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=a_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}を満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)の組が存在しないこととして表現されます。

 

安定メカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が与えられたとき、エージェントたちが申告する選好の組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)の内容に関わらず、それに対してメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \in A\)が\(\succsim _{I}\)のもとで安定的である場合には、そのようなメカニズム\(\phi \)は安定的(stable)であると言います。より正確には、メカニズム\(\phi \)が安定的であることとは、それぞれの\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=\phi _{j}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)のペアが存在しないことを意味します。

非分割財の交換経済においてエージェントの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、あるメカニズム\(\phi \)がコア選択であることは、それぞれの\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=\phi _{j}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succsim _{i}\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}を満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)のペアが存在しないことを意味します。

 

安定性と誘因両立性の関係

非分割財の交換経済における真の状態を\(\succsim _{I}^{\ast }\)で表記します。一方、メカニズム\(\phi \)に直面したエージェントたちが申告する選好の組を\(\succsim _{I}\)で表記します。一般に、エージェントたちは偽りの選好を申告する可能性があるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限りません。メカニズム\(\phi \)が安定的であるならば、エージェントたちが申告した選好\(\succsim _{I}\)に対してメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとで安定的であることが保証されます。ただ、繰り返しになりますが\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限らないため、先の配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は真の状態\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとで安定的ではないかもしれません。より具体的には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=\phi _{j}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}^{\ast }\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}^{\ast }\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}\)のペアが存在するかもしれないということです。ただ、メカニズム\(\phi \)が安定的であることに加えて誘因両立性を満たす場合には、メカニズム\(\phi \)のもとでのゲーム\(G\left( \phi \right) \)において全員が正直戦略にしたがって行動することが均衡になるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致することが保証されます。ゆえに、この場合、\(\phi \left( \succsim _{I}^{\ast }\right) \)が均衡結果になるとともに、それは真の状態\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとで安定的となります。つまり、安定的かつ誘因両立的なメカニズムのもとでは、すべてのエージェントは自身の真の選好を正直に表明するとともに、真の状態に照らし合わせて安定的であるような配分が実現することが理論的に予測できます。

非分割財の交換経済においてエージェントの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、あるメカニズム\(\phi \)が安定的であるとともに誘因両立性を満たす場合には、すべてのエージェントは自身の真の選好を正直に申告するとともに、そこでは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=\phi _{j}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succsim _{i}^{\ast }\phi _{i}\left(
\succsim _{I}^{\ast }\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}\succ _{i}^{\ast }\phi _{i}\left(
\succsim _{I}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}\)のペアが存在しないことが理論的に予測できます。

次回はメカニズムが満たすべき望ましい性質の1つである競争均衡と呼ばれる概念について解説します。

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