ある配分を出発点に、そこからさらに誰かの満足度を高めようとすると他の人の犠牲が伴うような状態であるとき、その配分はパレート効率的であると言います。また、パレート効率的な配分を常に選び取るメカニズムをパレート効率的なメカニズムと呼びます。
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パレート支配

非分割財の交換経済において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)の間に、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ a_{I}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つのであれば、つまり、任意のプレイヤーにとって\(a_{I}\)は\(a_{I}^{\prime }\)以上に望ましく、少なくとも1人のプレイヤーにとって\(a_{I}\)は\(a_{I}^{\prime }\)よりも望ましい場合には、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は\(a_{I}^{\prime }\)をパレート支配する(Pareto dominate)と言います。同じことを、\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}\)にパレート支配される(Pareto dominated)と言うこともできます。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が別の配分\(a_{I}^{\prime }\)をパレート支配する場合、\(a_{I}^{\prime }\)から\(a_{I}\)へ移行することにより、誰かの満足度を低下させることなく他の誰かの満足度を高めることができます。そのような意味において、\(a_{I}^{\prime }\)から\(a_{I}\)へ移行することをパレート改善(Pareto improvement)と呼びます。他の人の犠牲を伴わずに誰かの満足度を高めることができるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、パレート改善は目標とすべき指標の1つとして位置付けられます。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)について、\(a_{I}\)が\(a_{I}^{\prime }\)をパレート支配することとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{i}\succ _{i}a_{i}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして表現されます。つまり、任意のプレイヤー\(i\)にとって、配分\(a_{I}\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)が配分\(a_{I}^{\prime }\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}^{\prime }\)以上に望ましく、少なくとも1人のプレイヤー\(i\)にとって\(a_{i}\)が\(a_{i}^{\prime }\)よりも望ましいということです。

 

パレート効率的な配分

状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において、配分\(a_{I}\in A\)が配分集合\(A\)に属する他のいかなる配分によってもパレート支配されない場合、つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在しない場合には、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)はパレート効率的(Pareto efficient)であるとかパレート最適(Pareto optimal)であると言います。パレート効率的な配分は状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)においてパレート効率的な配分が、別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においてもパレート効率的であるとは限りません。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)がパレート効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}
\exists j\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{j}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\)を任意に選びます。\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行すると、少なくとも1人のプレイヤー\(j\)の満足度が高まるということです。さて、パレート効率性の定義より\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}\)をパレート支配しないため、このとき、\begin{equation*}
\forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{equation*}は成り立ちません。言い換えると、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}
\exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、パレート効率的な配分\(a_{I}\)を出発点に、あるプレイヤー\(j\)の満足度を高める形で別の配分\(a_{I}^{\prime }\)へ移行すると、少なくとも1人のプレイヤー\(i\)の満足度が低くなってしまいます。パレート効率的であることとは、そこからさらに誰かの満足度を高めようとすると他の人の犠牲が伴うような状態であるということです。言い換えると、パレート効率的な配分が与えられたとき、そこからパレート改善を実現するのは不可能であるということです。そのような意味において、パレート効率的な配分は目指すべきものの1つとなります。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)がパレート効率的であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在しないこととして表現されます。

例(パレート効率的な配分)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、プレイヤー集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はプレイヤー\(i\)が初期保有する商品です。プレイヤーたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}
h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)においてパレート効率的ではありません。実際、以下の配分\begin{equation*}
a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
},a_{4}^{\prime }\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}によって先の配分\(a_{I}\)はパレート支配されるからです(確認してください)。ちなみに、上の配分\(a_{I}^{\prime }\)をパレート支配する別の配分は存在しないため(確認してください)、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)はパレート効率的な配分です。

 

パレート効率的なメカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が与えられたとき、プレイヤーたちが申告する選好の組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)の内容に関わらず、それに対してメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \in A\)が\(\succsim _{I}\)のもとでパレート効率的である場合には、そのようなメカニズム\(\phi \)はパレート効率的(Pareto efficient)であるとかパレート最適(Pareto optimal)であると言います。より正確には、メカニズム\(\phi \)がパレート効率的であるとは、それぞれの\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}を満たす\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、あるメカニズム\(\phi \)がパレート効率的であることは、それぞれの\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\succsim _{i}\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}を満たす\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。

 

パレート効率的かつ誘因両立的なメカニズム

非分割財の交換経済における真の状態を\(\succsim _{I}^{\ast }\)で表記します。一方、メカニズム\(\phi \)に直面したプレイヤーたちが申告する選好の組を\(\succsim _{I}\)で表記します。一般に、プレイヤーたちは偽りの選好を申告する可能性があるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限りません。メカニズム\(\phi \)がパレート効率的であるならば、プレイヤーたちが申告した選好\(\succsim _{I}\)に対してメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとでパレート効率的であることが保証されます。ただ、繰り返しになりますが\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限らないため、先の配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は真の状態\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとでパレート効率的であるとは限りません。より具体的には、\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとで\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)をパレート支配する別の配分が、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}^{\ast }\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}^{\ast }\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす\(a_{I}\in A\)が存在し得るということです。ただ、メカニズム\(\phi \)がパレート効率性に加えて誘因両立性を満たす場合には、メカニズム\(\phi \)のもとでのゲーム\(G\left( \phi \right) \)において全員が正直戦略にしたがって行動することが均衡になるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致することが保証されます。ゆえに、この場合、\(\phi \left( \succsim _{I}^{\ast }\right) \)が均衡結果になるとともに、それは真の状態\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとでパレート効率的となります。つまり、パレート効率的かつ誘因両立的なメカニズムのもとでは、すべてのプレイヤーは自身の真の選好を正直に表明するとともに、真の状態に照らし合わせてパレート効率的な配分が実現することが理論的に予測できます。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、あるメカニズム\(\phi \)がパレート効率性と誘因両立性を満たす場合には、すべてのプレイヤーは自身の真の選好を正直に申告するとともに、そこでは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\succsim _{i}^{\ast }\phi _{i}\left(
\succsim _{I}^{\ast }\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{i}\succ _{i}^{\ast }\phi _{i}\left(
\succsim _{I}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす\(a_{I}\in A\)が存在しないことが理論的に予測できます。

次回はメカニズムが満たすべき望ましい性質の1つであるコア選択と呼ばれる概念について解説します。

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