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非分割財の交換経済における効率的メカニズム

目次

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狭義パレート効率的な配分

非分割財の交換経済において、何らかの均衡を遂行できるような商品交換メカニズムを設計する場合、そもそもどのような均衡を目指すべきかという問題が発生します。マッチメイカーが何らかの意味において社会的に望ましい均衡を遂行しようとする場合、望ましさの基準として何を採用すべきであるかが問題になります。代表的な基準は効率性(efficiency)です。

非分割財の交換経済において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)の間に、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}という条件がともに成り立つ場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}\)を広義パレート支配する(weakly Pareto dominate)と言います。同じことを、\(a_{I}\)は\(a_{I}^{\prime }\)によって広義パレート支配される(weakly Pareto dominated)と言うこともできます。

条件\(\left( a\right) \)は、任意のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)以上に望ましいことを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、少なくとも1人のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)よりも望ましいことを意味します。したがって、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)を広義パレートする場合、\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することにより、全員の満足度を低下させることなく少なくとも1人の満足度を高めることができます。そのような意味において、\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することを広義のパレート改善(weakly Pareto improvement)と呼びます。誰かの犠牲を伴わずに誰かの満足度を高めることができるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、広義のパレート改善は目標とすべき指標の1つとして位置付けられます。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}^{\prime }\)が配分\(a_{I}\)を広義パレート支配することとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}という条件がともに成り立つこととして表現されます。つまり、任意のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)のもとで割り当てられる商品が\(a_{I}^{\prime }\)のもとで割り当てられる商品以上に望ましく、なおかつ、少なくとも1人のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)のもとで割り当てられる商品が\(a_{I}^{\prime }\)のもとで割り当てられる商品よりも望ましいということです。

状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が他のいかなる配分によっても広義パレート支配されない場合、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は狭義パレート効率的(strictly Pareto efficient)であると言います。狭義パレート効率的な配分は状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において狭義パレート効率的な配分が別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても狭義パレート効率的であるとは限りません。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が狭義パレート効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists j\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{j}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\)を任意に選びます。\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行すると、少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、狭義パレート効率性の定義より\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}^{\prime }\)を広義パレート支配しないため、このとき、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{equation*}は成り立たず、したがって、\begin{equation*}
\exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、狭義パレート効率的な配分\(a_{I}\)を出発点に、あるエージェント\(j\)の満足度を高める形で別の配分\(a_{I}^{\prime }\)へ移行しようとすると、少なくとも1人のエージェント\(i\)の満足度が低くなってしまいます。狭義パレート効率的な配分が与えられたとき、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義パレート効率的な配分は目指すべき目標になり得ます。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が狭義パレート効率的であることとは、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在しないことを意味します。
例(狭義パレート効率的な配分)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)において狭義パレート効率的ではありません。実際、以下の配分\begin{equation*}a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
},a_{4}^{\prime }\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}によって先の配分\(a_{I}\)は広義パレート支配されるからです(演習問題)。ちなみに、上の配分\(a_{I}^{\prime }\)を広義パレート支配する別の配分は存在しないため(演習問題)、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は狭義パレート効率的な配分です。

 

広義パレート効率的な配分

非分割財の交換経済において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)の間に、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}という条件が成り立つ場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}\)を狭義パレート支配する(strictly Pareto dominate)と言います。同じことを、\(a_{I}\)は\(a_{I}^{\prime }\)によって狭義パレート支配される(strictly Pareto dominated)と言うこともできます。

上の条件は、任意のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)よりも望ましいことを意味します。したがって、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)を狭義パレートする場合、\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することにより、全員の満足度を高めることができます。そのような意味において、\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することを狭義のパレート改善(strictly Pareto improvement)と呼びます。全員の満足度を高めることができるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、狭義のパレート改善は目標とすべき指標の1つとして位置付けられます。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}^{\prime }\)が配分\(a_{I}\)を狭義パレート支配することとは、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{equation*}という条件が成り立つこととして表現されます。つまり、任意のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)のもとで割り当てられる商品が\(a_{I}^{\prime }\)のもとで割り当てられる商品よりも望ましいということです。

状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が他のいかなる配分によっても狭義パレート支配されない場合、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は広義パレート効率的(weakly Pareto efficient)であると言います。広義パレート効率的な配分は状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において広義パレート効率的な配分が別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても広義パレート効率的であるとは限りません。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が広義パレート効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists j\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{j}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\)を任意に選びます。\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行すると、少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、広義パレート効率性の定義より\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}^{\prime }\)を狭義パレート支配しないため、このとき、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}は成り立たず、したがって、\begin{equation*}
\exists i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、広義パレート効率的な配分\(a_{I}\)を出発点に、あるエージェント\(j\)の満足度を高める形で別の配分\(a_{I}^{\prime }\)へ移行しようとすると、少なくとも1人のエージェント\(i\)の満足度は向上しません(悪化する可能性もある)。広義パレート効率的な配分が与えられたとき、そこから狭義パレート改善を実現するのは不可能であるため、広義パレート効率的な配分は目指すべき目標になり得ます。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が広義パレート効率的であることとは、それに対して、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在しないことを意味します。
例(広義パレート効率的な配分)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{2},h_{1},h_{3},h_{4}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)において広義パレート効率的ではありません。実際、以下の配分\begin{equation*}a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
},a_{4}^{\prime }\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}によって先の配分\(a_{I}\)は狭義パレート支配されるからです(演習問題)。ちなみに、上の配分\(a_{I}^{\prime }\)を狭義パレート支配する別の配分は存在しないため(演習問題)、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は広義パレート効率的な配分です。

 

狭義パレート効率的な配分と広義パレート効率的な配分の関係

状態が与えられたとき、ある配分が狭義パレート効率的であるならば、その配分は広義パレート効率的でもあります。

命題(パレート効率的な配分)
非分割財の交換経済において、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)のもとで配分\(a_{I}\in A\)が狭義パレート効率的であるならば、\(\succsim_{I}\)のもとで\(a_{I}\)は広義パレート効率的である。
証明

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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、状態が与えられたとき、広義パレート効率的な配分は狭義パレート効率的であるとは限りません(演習問題)。

 

狭義事後効率的なメカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めますが、この配分が\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的であることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は狭義事後効率的(strictly ex-post efficient)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが狭義事後効率的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が狭義パレート効率的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であるための条件と同様です。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\succsim _{i}\phi _{i}\left( \succsim _{I} \right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim _{I} \right)
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。メカニズム\(\phi \)が均衡を持つことを前提としない場合にも、\(\phi \)が狭義事後効率的であることは同様にして定義されます。

 

広義事後効率的なメカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めますが、この配分が\(\succsim _{I}\)のもとで広義パレート効率的であることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は広義事後効率的(weakly ex-post efficient)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが広義事後効率的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が広義パレート効率的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であることとは、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi
\left( \succsim _{I}\right)
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が\(\succsim _{I}\)のもとで広義パレート効率的であること、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi
\left( \succsim _{I}\right)
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であることの条件と同様です。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim _{I} \right)
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。メカニズム\(\phi \)が均衡を持つことを前提としない場合にも、\(\phi \)が広義事後効率的であることは同様にして定義されます。

 

狭義事後効率的なメカニズムと広義事後効率的なメカニズムの関係

狭義事後効率的なメカニズムは広義事後効率的でもあります。

命題(事後効率的なメカニズム)
非分割財の交換経済において、メカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が狭義事後効率的であるならば、\(\phi \)は広義事後効率的である。
証明

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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、広義事後効率的なメカニズムは狭義事後効率的であるとは限りません。

次回はメカニズムが満たすべき望ましい性質の1つであるコア選択と呼ばれる概念について解説します。

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