非分割財の交換経済におけるパレート効率的メカニズム

狭義パレート効率的な配分

非分割財の交換経済が環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A,\left\{ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\}
_{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(h_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)が初期時点において保有する商品、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。

非分割財の交換経済において何らかの均衡を遂行できるような商品交換メカニズムを設計する場合、そもそもどのような均衡を目指すべきかという問題が発生します。マッチメイカーが何らかの意味において社会的に望ましい均衡を遂行しようとする場合、望ましさの基準として何を採用すべきであるかが問題になります。代表的な基準は効率性（efficiency）です。

非分割財の交換経済において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)の間に以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}\)を広義パレート支配する（weakly Pareto dominate）と言います。同じことを、\(a_{I}\)は\(a_{I}^{\prime }\)によって広義パレート支配される（weakly Pareto dominated）と言うこともできます。

条件\(\left( a\right) \)は、任意のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)以上に望ましいことを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、少なくとも1人のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)よりも望ましいことを意味します。したがって、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)を広義パレートする場合、\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することにより、全員の満足度を低下させることなく少なくとも1人の満足度を高めることができます。そのような意味において、\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することを広義のパレート改善（weakly Pareto improvement）と呼びます。誰かの犠牲を伴わずに誰かの満足度を高めることができるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、広義のパレート改善は目標とすべき指標の1つに位置付けられます。

状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が他のいかなる配分によっても広義パレート支配されない場合、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は狭義パレート効率的（strictly Pareto efficient）であると言います。狭義パレート効率的な配分は状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において狭義パレート効率的な配分が別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても狭義パレート効率的であるとは限りません。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が狭義パレート効率的であるものとします。これに対して、以下の条件\begin{equation*}\exists j\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{j}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\)を任意に選びます。\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行すると、少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、狭義パレート効率性の定義より\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}^{\prime }\)を広義パレート支配しないため、このとき、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{equation*}は成り立たず、したがって、\begin{equation*}
\exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、狭義パレート効率的な配分\(a_{I}\)を出発点に、あるエージェント\(j\)の満足度を高める形で別の配分\(a_{I}^{\prime }\)へ移行しようとすると、少なくとも1人のエージェント\(i\)の満足度が低くなってしまいます。狭義パレート効率的な配分が与えられたとき、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義パレート効率的な配分は目指すべき目標になり得ます。

広義パレート効率的な配分

非分割財の交換経済において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)の間に以下の関係\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\succsim_{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}\)を狭義パレート支配する（strictly Pareto dominate）と言います。同じことを、\(a_{I}\)は\(a_{I}^{\prime }\)によって狭義パレート支配される（strictly Pareto dominated）と言うこともできます。

上の条件は、任意のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)よりも望ましいことを意味します。したがって、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)を狭義パレートする場合、\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することにより全員の満足度を高めることができます。そのような意味において、\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することを狭義のパレート改善（strictly Pareto improvement）と呼びます。全員の満足度を高めることができるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、狭義のパレート改善は目標とすべき指標の1つに位置付けられます。

状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が他のいかなる配分によっても狭義パレート支配されない場合、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は広義パレート効率的（weakly Pareto efficient）であると言います。広義パレート効率的な配分は状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において広義パレート効率的な配分が別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても広義パレート効率的であるとは限りません。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が広義パレート効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists j\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{j}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\)を任意に選びます。\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行すると、少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、広義パレート効率性の定義より\(a_{I}^{\prime }\)は\(a_{I}^{\prime }\)を狭義パレート支配しないため、このとき、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}は成り立たず、したがって、\begin{equation*}
\exists i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、広義パレート効率的な配分\(a_{I}\)を出発点に、あるエージェント\(j\)の満足度を高める形で別の配分\(a_{I}^{\prime }\)へ移行しようとすると、少なくとも1人のエージェント\(i\)の満足度は向上しません（悪化する可能性もある）。広義パレート効率的な配分が与えられたとき、そこから狭義パレート改善を実現するのは不可能であるため、広義パレート効率的な配分は目指すべき目標になり得ます。

狭義パレート効率的な配分と広義パレート効率的な配分の関係

状態が与えられたとき、ある配分が狭義パレート効率的であるならば、その配分は広義パレート効率的でもあります。

先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、状態が与えられたとき、広義パレート効率的な配分は狭義パレート効率的であるとは限りません（演習問題）。

狭義事後効率的なメカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めますが、この配分が\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的であることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は狭義事後効率的（strictly ex-post efficient）であると言います。

メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが狭義事後効率的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が狭義パレート効率的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) \)が\(\hat{\succsim}_{I}\)のもとで狭義パレート効率的であること、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \hat{\succsim}_{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \hat{\succsim}_{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であるための条件と実質的に等しいです。

広義事後効率的なメカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めますが、この配分が\(\succsim _{I}\)のもとで広義パレート効率的であることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は広義事後効率的（weakly ex-post efficient）であると言います。

メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが広義事後効率的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が広義パレート効率的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であることとは、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi
\left( \succsim _{I}\right)
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) \)が\(\hat{\succsim}_{I}\)のもとで広義パレート効率的であること、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall i\in I:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \hat{\succsim}_{I}\right] \ \phi
\left( \hat{\succsim}_{I}\right)
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であるための条件と実質的に等しいです。

狭義事後効率的なメカニズムと広義事後効率的なメカニズムの関係

狭義事後効率的なメカニズムは広義事後効率的でもあります。

先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、広義事後効率的なメカニズムは狭義事後効率的であるとは限りません。

演習問題