個人合理的なメカニズム
組合せオークション環境において何らかの均衡を遂行できるメカニズムの設計に成功した場合においても、そもそも入札者たちがメカニズムに参加しなければ、メカニズムが意図する結果を遂行できない可能性があります。ただ、オークションの主催者は入札者たちに対してメカニズムへ参加するよう強制できるとは限りません。入札者たちをメカニズムへ参加させるためには、入札者たちがメカニズムに参加しても損をしないことを制度の中で保証する必要があります。
何らかの均衡を遂行するメカニズムが与えられたとき、すべての入札者にとって、均衡において直面する結果がメカニズムに参加しない場合に直面する結果以上に望ましいことが保証されている場合、そのようなメカニズムは個人合理的（indivisual rational）であると言います。
入札者は個人合理的なメカニズムに参加しても損することはありません。したがって、個人合理性はすべての入札者をメカニズムに参加させる上で最低限必要な条件です。このような意味において、個人合理性は参加制約（participation constraint）とも呼ばれます。
事後個人合理的なメカニズム
組合せオークション環境において状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選びます。このとき、結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)が、\begin{equation*}\forall i\in I:u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) \geq 0
\end{equation*}を満たすのであれば、つまり、任意のエージェントにとって結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から得る利得が\(0\)以上である場合には、状態\(\theta _{I}\)において\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)は事後個人合理的（ex-post individual rational）であると言います。ただし、ここでの利得\(0\)は、入札者がオークションに参加しない場合に得られる留保利得に相当します。一般に、事後個人合理的な結果は状態\(\theta _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\theta _{I}\)において事後個人合理的な結果が、別の状態\(\theta _{I}^{\prime }\)においても事後個人合理的であるとは限りません。
-t_{i}
\end{equation*}となります。したがって、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)が事後個人合理的であることとは、\begin{equation*}\forall i\in I:\theta _{i}\left( a_{i}\right) -t_{i}\geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall i\in I:\theta _{i}\left( a_{i}\right) \geq t_{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
組合せオークション環境におけるメカニズムが何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。このメカニズムにおいて入札者たちは真の評価関数を正直に申告し、それに対してメカニズムが結果を決定した後、その結果が実行される直前にメカニズムから自由に抜けられるものとします。以上の条件のもとでもなお、すべての入札者にはメカニズムから抜ける動機がない場合、そのメカニズムは事後個人合理的（ex-post individual rational）であると言います。
状態が\(\theta _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとで入札者たちは正直戦略にもとづいて\(\theta _{I}\)を入札し、その入札に対してメカニズムは均衡結果\(\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left(\theta _{I}\right) \right) \)を定めます。この結果が状態\(\theta _{I}\)のもとで事後個人合理的であるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall i\in I:u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta
_{I}\right) ,\theta _{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、任意の入札者\(i\)はメカニズムから離脱する動機がありません。ただ、入札者たちのタイプは私的情報であるため、メカニズムを設計する段階において、オークションの主催者は真の状態を特定できません。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態\(\theta _{I}\)において先の条件が成り立つこと、すなわち、\begin{equation}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:u_{i}\left( a\left(
\theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) \geq 0
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを保証する必要があります。誘因両立的なメカニズムメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることの定義は以上の通りです。
メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることとは、入札者たちが申告する評価関数からなる組\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだときに、それに対して\(\left( a,t\right) \)が定める結果\(\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right)\right) \)が\(\theta _{I}\)のもとで事後個人合理的であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:u_{i}\left( a\left(
\theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。この条件は形式的には\(\left( 1\right) \)と一致します。ただし、この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定める結果は入札者たちが申告する評価関数からなる状態のもとで事後個人合理的である一方で、真の状態のもとで個人合理的であるとは限りません。つまり、真の意味で事後個人合理的な配分を遂行するためには、メカニズムは事後個人合理的であるとともに誘因両立的である必要があるということです。
-t_{i}
\end{equation*}となります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることは、\begin{equation}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:\theta _{i}\left(
a_{i}\left( \theta _{I}\right) \right) \geq t_{i}\left( \theta _{I}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。つまり、状態\(\theta _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、任意の入札者\(i\)にとって真の評価関数\(\theta _{i}\)を正直に表明することが最適になるとともに、均衡結果において自身が得るパッケージへの真の評価額\(\theta _{i}\left( a_{i}\left( \theta _{I}\right) \right) \)が自身に課される所得移転\(t_{i}\left( \theta _{I}\right) \)以上になるということです。一方、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が均衡を持つことを前提としない場合、\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることは、\begin{equation*}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:\theta _{i}\left(
a_{i}\left( \theta _{I}\right) \right) \geq t_{i}\left( \theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは形式的には\(\left( 1\right) \)と一致します。つまり、入札者たちが申告する評価関数\(\theta _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、任意の入札者\(i\)にとって、自身が得るパッケージを自身が申告した評価関数にもとづいて評価した値\(\theta _{i}\left( a_{i}\left( \theta_{I}\right) \right) \)が、自身に課される所得移転\(t_{i}\left( \theta_{I}\right) \)以上になるということです。
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