コア
組合せオークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得が、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =\theta _{i}\left( a_{i}\right)
-t_{i}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(\theta_{i}:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \)はパッケージへの支払い意思額を特定する評価関数であり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \theta _{i}\left( \phi \right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \forall P,P^{\prime }\in 2^{X}:\left[ P\subset P^{\prime
}\Rightarrow \theta _{i}\left( P\right) \leq \theta _{i}\left( P^{\prime
}\right) \right]
\end{eqnarray*}を満たすものと仮定します。状態が\(\theta _{I}\in\Theta _{I}\)である場合に入札者たちが直面する戦略的状況を協力ゲームとみなした場合、それは提携型ゲーム\begin{equation*}\mathcal{G}\left( \theta _{I}\right) =\left( I_{0},w_{\theta _{I}}\right)
\end{equation*}として定式化されます。ただし、このゲームのプレイヤー集合は、\begin{equation*}
I_{0}=I\cup \left\{ 0\right\} =\left\{ 0,1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であり、提携値関数\(w_{\theta _{I}}:2^{I_{0}}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの提携\(C\in2^{I_{0}}\)に対して定める提携値は、\begin{equation*}w_{\theta _{I}}\left( C\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\max\limits_{a_{I}\in A}\sum\limits_{i\in C}\theta _{i}\left( a_{i}\right)
& \left( if\ 0\in C\right) \\
0 & \left( if\ 0\not\in C\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。
状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)が与えられたとき、すべてのプレイヤーたちが直面する利得からなる組\(u_{I_{0}}=\left( u_{i}\right) _{i\in I_{0}}\in \mathbb{R} ^{n+1}\)が以下の条件\begin{equation}\sum_{i\in I_{0}}u_{i}=w_{\theta _{I}}\left( I_{0}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす場合、状態\(\theta _{I}\)において利得の組\(u_{I_{0}}\)は全体合理的（group rational）であると言います。\(0\in I_{0}\)および提携値の定義より、\(\left( 1\right) \)は、\begin{equation*}\sum_{i\in I_{0}}u_{i}=\max\limits_{a_{I}\in A}\sum\limits_{i\in
I_{0}}\theta _{i}\left( a_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、利得の組\(u_{I_{0}}\)のもとで全員が直面する利得の総和が、売り手\(0\)の商品を全員の間で効率的に配分した場合の社会的余剰と一致するということです。
I_{0} &=&\left\{ 0,1,2,3\right\} \\
X &=&\left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I_{0}\)の評価関数\(\theta _{i}:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の表で与えられているものとします。
$$\begin{array}{ccccc}\hline
プレイヤー\backslash パッケージ & \phi & \left\{ x_{1}\right\} & \left\{ x_{2}\right\} & \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 7 & 3 & 7 \\ \hline
2 & 0 & 2 & 8 & 8 \\ \hline
3 & 0 & 0 & 0 & 10 \\ \hline
\end{array}$$
以上の状態\(\theta _{I}\)のもとでの提携型ゲーム\(\mathcal{G}\left( \theta _{I}\right) \)において、提携値関数\(w_{\theta _{I}}:2^{I_{0}}\rightarrow \mathbb{R} \)が提携\(I_{0}\)に対して定める提携値は、\begin{eqnarray*}w_{\theta _{I}}\left( I_{0}\right) &=&\max\limits_{a_{I}\in
A}\sum\limits_{i\in I_{0}}\theta _{i}\left( a_{i}\right) \quad \because
0\in I_{0} \\
&=&\theta _{0}\left( \phi \right) +\theta _{1}\left( \left\{ x_{1}\right\}
\right) +\theta _{2}\left( \left\{ x_{2}\right\} \right) +\theta _{3}\left(
\phi \right) \\
&=&0+7+8+0 \\
&=&15
\end{eqnarray*}であるため、利得の組\(u_{I_{0}}=\left( u_{0},u_{1},u_{2},u_{3}\right) \)が全体合理的であるための条件は、\begin{equation*}u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}=15
\end{equation*}となります。
状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)が与えられたとき、すべてのプレイヤーたちが直面する利得からなる組\(u_{I_{0}}=\left( u_{i}\right) _{i\in I_{0}}\in \mathbb{R} ^{n+1}\)が以下の条件\begin{equation}\forall i\in I_{0}:u_{i}\geq w_{\theta _{I}}\left( \left\{ i\right\} \right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす場合、状態\(\theta _{I}\)において利得の組\(u_{I_{0}}\)は個人合理的（individually rational）であると言います。提携値の定義より、売り手\(0\)だけから構成される提携\(\left\{0\right\} \)の提携値は、\begin{equation*}w_{\theta _{I}}\left( \left\{ 0\right\} \right) =\max\limits_{a_{I}\in
A}\theta _{0}\left( a_{0}\right) =0
\end{equation*}であり、入札者\(i\in I\)だけから構成される提携\(\left\{ i\right\} \)の提携値は、\begin{equation*}w_{\theta _{I}}\left( \left\{ i\right\} \right) =0
\end{equation*}であるため、\(\left( 2\right) \)は、\begin{equation*}\forall i\in I_{0}:u_{i}\geq 0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、利得の組\(u_{I_{0}}\)のもとでそれぞれのプレイヤーが直面する利得が非負であるということです。
I_{0} &=&\left\{ 0,1,2,3\right\} \\
X &=&\left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I_{0}\)の評価関数\(\theta _{i}:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の表で与えられているものとします。
$$\begin{array}{ccccc}\hline
プレイヤー\backslash パッケージ & \phi & \left\{ x_{1}\right\} & \left\{ x_{2}\right\} & \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 7 & 3 & 7 \\ \hline
2 & 0 & 2 & 8 & 8 \\ \hline
3 & 0 & 0 & 0 & 10 \\ \hline
\end{array}$$
以上の状態\(\theta _{I}\)のもとでの提携型ゲーム\(\mathcal{G}\left( \theta _{I}\right) \)において、提携値関数\(w_{\theta _{I}}:2^{I_{0}}\rightarrow \mathbb{R} \)がプレイヤー個人からなる提携に対して定める提携値は、\begin{eqnarray*}w_{\theta _{I}}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\max\limits_{a_{I}\in
A}\theta _{0}\left( a_{0}\right) =0 \\
w_{\theta _{I}}\left( \left\{ 1\right\} \right) &=&w_{\theta _{I}}\left(
\left\{ 2\right\} \right) =w_{\theta _{I}}\left( \left\{ 3\right\} \right) =0
\end{eqnarray*}であるため、利得の組\(u_{I_{0}}=\left( u_{0},u_{1},u_{2},u_{3}\right) \)が個人合理的であるための条件は、\begin{equation*}\forall i\in I_{0}:u_{i}\geq 0
\end{equation*}となります。
状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において、プレイヤーたちが利得の組\(u_{I_{0}}=\left( u_{i}\right) _{i\in I_{0}}\in \mathbb{R} ^{n+1}\)に直面した状況を想定します。提携\(C\subset I_{0}\)が利得の組\(u_{I_{0}}\)を受け入れた場合、提携\(C\)全体で確保できる利得の総和は、\begin{equation*}\sum_{i\in C}u_{i}
\end{equation*}である一方、提携\(C\)が利得の組\(u_{I_{0}}\)を受け入れずに提携内で協力した場合、提携\(C\)全体で確保できる利得の総和は、\begin{equation*}w_{\theta _{I}}\left( C\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\sum_{i\in C}u_{i}<w_{\theta _{I}}\left( C\right)
\end{equation*}が成り立つのであれば、この提携\(C\)は利得の組\(u_{I_{0}}\)を受け入れる道理がありません。そこで、利得の組\(u_{I_{0}}\)に対して以上の条件を満たす提携\(C\)が存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists C\in 2^{I_{0}}:\sum_{i\in C}u_{i}<w_{\theta _{I}}\left( C\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、状態\(\theta _{I}\)において利得の組\(u_{I_{0}}\)は提携\(C\)によってブロックされる（blocked）と言います。逆に、状態\(\theta _{I}\)において利得の組\(u_{I_{0}}\)をブロックする提携が存在しない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall C\in 2^{I_{0}}:\sum_{i\in C}u_{i}\geq w_{\theta _{I}}\left( C\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、状態\(\theta _{I}\)において利得の組\(u_{I_{0}}\)は安定的（stable）であると言います。この場合、任意の提携\(C\)にとって、利得の組\(u_{I_{0}}\)を受け入れずに提携の内部で協力しても、集団としての利得を増やせる保証はありません。
安定的な利得の組は個人合理的でもあります。実際、状態\(\theta _{I}\)において利得の組\(u_{I_{0}}\)が安定的である場合、プレイヤー\(i\in I_{0}\)を任意に選んだ上で提携\(\left\{ i\right\} \)を構成すると、\(u_{I_{0}}\)の安定性より、\begin{equation*}u_{i}\geq w_{\theta _{I}}\left( \left\{ i\right\} \right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(u_{I_{0}}\)が個人合理的であることの定義に他ならないからです。
I_{0} &=&\left\{ 0,1,2,3\right\} \\
X &=&\left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I_{0}\)の評価関数\(\theta _{i}:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の表で与えられているものとします。
$$\begin{array}{ccccc}\hline
プレイヤー\backslash パッケージ & \phi & \left\{ x_{1}\right\} & \left\{ x_{2}\right\} & \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 7 & 3 & 7 \\ \hline
2 & 0 & 2 & 8 & 8 \\ \hline
3 & 0 & 0 & 0 & 10 \\ \hline
\end{array}$$
以上の状態\(\theta _{I}\)のもとでの提携型ゲーム\(\mathcal{G}\left( \theta _{I}\right) \)において、提携値関数\(w_{\theta _{I}}:2^{I_{0}}\rightarrow \mathbb{R} \)が提携\(I_{0}\)に対して定める提携値は、\begin{equation*}w_{\theta _{I}}\left( I_{0}\right) =15
\end{equation*}です。売り手\(0\)を含む他の提携の提携値は、\begin{eqnarray*}w_{\theta _{I}}\left( \left\{ 0,1,2\right\} \right) &=&15 \\
w_{\theta _{I}}\left( \left\{ 0,1,3\right\} \right) &=&w_{\theta
_{I}}\left( \left\{ 0,2,3\right\} \right) =w_{\theta _{I}}\left( \left\{
0,3\right\} \right) =10 \\
w_{\theta _{I}}\left( \left\{ 0,2\right\} \right) &=&8 \\
w_{\theta _{I}}\left( \left\{ 0,1\right\} \right) &=&7
\end{eqnarray*}であり、売り手\(0\)を含まない任意の提携の提携値は\(0\)であるため、利得の組\(u_{I_{0}}=\left(u_{0},u_{1},u_{2},u_{3}\right) \)が安定的であるための条件は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}\geq 15 \\
&&\left( b\right) \ u_{0}+u_{1}+u_{2}\geq 15 \\
&&\left( c\right) \ u_{0}+u_{1}+u_{3}\geq 10 \\
&&\left( d\right) \ u_{0}+u_{2}+u_{3}\geq 10 \\
&&\left( e\right) \ u_{1}+u_{2}+u_{3}\geq 0 \\
&&\left( f\right) \ u_{0}+u_{1}\geq 7 \\
&&\left( g\right) \ u_{0}+u_{2}\geq 8 \\
&&\left( h\right) \ u_{0}+u_{3}\geq 10 \\
&&\left( i\right) \ u_{1}+u_{2}\geq 0 \\
&&\left( j\right) \ u_{1}+u_{3}\geq 0 \\
&&\left( k\right) \ u_{2}+u_{3}\geq 0 \\
&&\left( l\right) \ u_{i}\geq 0\ \left( i=0,1,2,3\right)
\end{eqnarray*}となります。
状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において利得の組\(u_{I_{0}}=\left( u_{i}\right) _{i\in I_{0}}\in \mathbb{R} ^{n+1}\)が全体合理的かつ個人合理的かつ安定的である場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sum_{i\in I_{0}}u_{i}=w_{\theta _{I}}\left(
I_{0}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I_{0}:u_{i}\geq w_{\theta _{I}}\left(
\left\{ i\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \forall C\in 2^{I_{0}}:\sum_{i\in C}u_{i}\geq w_{\theta
_{I}}\left( C\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、状態\(\theta _{I}\)において利得の組\(u_{I_{0}}\)はコア（core）であると言います。ただし、先に指摘したように、安定性は個人合理性を含意するため、コアを特徴づける条件としては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sum_{i\in I_{0}}u_{i}=w_{\theta _{I}}\left(
I_{0}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall C\in 2^{I_{0}}:\sum_{i\in C}u_{i}\geq w_{\theta
_{I}}\left( C\right)
\end{eqnarray*}だけで十分です。コアは状態\(\theta _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\theta _{I}\)においてコアであるような利得の組\(u_{I_{0}}\)が別の状態\(\theta _{I}^{\prime }\)においてもコアであるとは限りません。
状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)が与えられたとき、コアに相当する利得の組は一意的に定まるとは限りません。そこで、状態\(\theta _{I}\)のもとでのコアからなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{Core}\left( I_{0},w_{\theta _{I}}\right) =\left\{ u_{I_{0}}\in \mathbb{R} ^{n+1}\ |\ \sum_{i\in I_{0}}u_{i}=w_{\theta _{I}}\left( I_{0}\right) \wedge
\forall C\in 2^{I_{0}}:\sum_{i\in C}u_{i}\geq w_{\theta _{I}}\left( C\right)
\right\}
\end{equation*}で表記します。
I_{0} &=&\left\{ 0,1,2,3\right\} \\
X &=&\left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I_{0}\)の評価関数\(\theta _{i}:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の表で与えられているものとします。
$$\begin{array}{ccccc}\hline
プレイヤー\backslash パッケージ & \phi & \left\{ x_{1}\right\} & \left\{ x_{2}\right\} & \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 7 & 3 & 7 \\ \hline
2 & 0 & 2 & 8 & 8 \\ \hline
3 & 0 & 0 & 0 & 10 \\ \hline
\end{array}$$
これまでの議論から明らかになったように、以上の状態\(\theta _{I}\)において利得の組\(u_{I_{0}}=\left(u_{i}\right) _{i\in I_{0}}\in \mathbb{R} ^{n+1}\)がコアであるための条件は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}=15 \\
&&\left( b\right) \ u_{0}+u_{1}+u_{2}\geq 15 \\
&&\left( c\right) \ u_{0}+u_{1}+u_{3}\geq 10 \\
&&\left( d\right) \ u_{0}+u_{2}+u_{3}\geq 10 \\
&&\left( e\right) \ u_{1}+u_{2}+u_{3}\geq 0 \\
&&\left( f\right) \ u_{0}+u_{1}\geq 7 \\
&&\left( g\right) \ u_{0}+u_{2}\geq 8 \\
&&\left( h\right) \ u_{0}+u_{3}\geq 10 \\
&&\left( i\right) \ u_{1}+u_{2}\geq 0 \\
&&\left( j\right) \ u_{1}+u_{3}\geq 0 \\
&&\left( k\right) \ u_{2}+u_{3}\geq 0 \\
&&\left( l\right) \ u_{i}\geq 0\ \left( i=0,1,2,3\right)
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{eqnarray*}
u_{3} &=&15-\left( u_{0}+u_{1}+u_{2}\right) \quad \because \left( a\right)
\\
&\leq &15-15\quad \because \left( b\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}および\(\left( l\right) \)より、\begin{equation}u_{3}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得るため、さらに、これと\(\left( a\right) ,\left( h\right) \)より、\begin{eqnarray}u_{0}+u_{1}+u_{2} &=&15 \quad \cdots (2) \\
u_{0} &\geq &10 \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right),\left( 3\right) \)が成り立つ場合にはすべての条件が満たされるため、コアからなる集合は、\begin{equation*}\mathrm{Core}\left( I_{0},w_{\theta _{I}}\right) =\left\{ u_{I_{0}}\in \mathbb{R} _{+}^{4}\ |\ u_{0}+u_{1}+u_{2}=15\wedge u_{3}=0\wedge u_{0}\geq 10\right\}
\end{equation*}となります。
コア選択メカニズム
引き続き、組合せオークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。組合せオークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。状態が\(\theta _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとでは入札者たちは正直戦略にもとづいて\(\theta _{I}\)を入札し、その入札に対してメカニズムは結果\(\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta_{I}\right) \right) \)を定め、均衡結果において入札者\(i\in I\)が得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) =\theta _{i}\left( a_{i}\left( \theta _{I}\right) \right)
-t_{i}\left( \theta _{I}\right)
\end{equation*}であり、売り手\(0\)が得る利得は、\begin{equation*}u_{0}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) =\sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta _{I}\right)
\end{equation*}となります。以上の均衡利得からなる組が\(\theta _{I}\)のもとでコアであることが保証される場合、すなわち、\begin{equation*}\left( u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right)
,\theta _{I}\right) \right) _{i\in I_{0}}\in \mathrm{Core}\left(
I_{0},w_{\theta _{I}}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、このメカニズム\(\left( a,t\right) \)はコア選択メカニズム（core selecting mechanism）であると言います。
メカニズムを設計する段階において、制度設計者はどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムがコア選択であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡利得がコアであることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)がコア選択メカニズムであることとは、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right)
,\theta _{I}\right) \right) _{i\in I_{0}}\in \mathrm{Core}\left(
I_{0},w_{\theta _{I}}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
メカニズム\(\left( a,t\right) \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)がコア選択メカニズムであることとは、入札者たちが入札する評価関数からなる組\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( a,t\right) \)が定める結果\(\left( a\left( \theta_{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) \right) \)のもとでプレイヤーたちが得る利得からなる組が\(\theta _{I}\)のもとでコアであること、すなわち、任意の\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)に対して、\begin{equation*}\left( u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right)
,\theta _{I}\right) \right) _{i\in I_{0}}\in \mathrm{Core}\left(
I_{0},w_{\theta _{I}}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)がコア選択メカニズムであるための条件と同様です。ただし、この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定める結果のもとでプレイヤーたちが得る利得からなる組は入札者たちが入札する評価関数のもとでコアである一方で、入札者たちの真の評価関数のもとでコアであるとは限らないため注意が必要です。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】