教材一覧
CHALLENGE PROBLEM

【挑戦問題】2変数関数の連続性と微分可能性

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

問題

問題

スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{y}{\left\vert y\right\vert }\sqrt{x^{2}+y^{2}} & \left( if\
y\not=0\right) \\
0 & \left( if\ y=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき以下の主張が正しいかどうか、それぞれ理由とともに答えてください。

  1. \(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続。
  2. \(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において(任意の変数に関して)偏微分可能
  3. \(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において(任意の方向ベクトルに関して)方向微分可能
  4. \(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能

プレミアム会員の方は下部にあるメールフォーム(ログインすると表示されます)から答案を送ってください(手書きの答案を撮影した画像を送ることもできます)。答案の提出期限は2021年2月28日です。答案の提出期限は過ぎましたが、引き続きコメント欄に答案などを投稿していただくことは可能です。

 

結果

回答者 正解者
6名 2名

 

解答

【1の解答】連続性の定義より、方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}f\left( \left( 0,0\right) +h\left( e_{1},e_{2}\right)
\right) =f\left( 0,0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =f\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標になります。\(e_{2}=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f\left( he_{1},he_{2}\right) &=&f\left( he_{1},0\right) \quad \because
e_{2}=0 \\
&=&0\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =\lim_{h\rightarrow 0}0=0
\end{equation*}が成り立ちます。他方で、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =f\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されました。\(e_{2}\not=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f\left( he_{1},he_{2}\right) &=&\frac{he_{2}}{\left\vert he_{2}\right\vert }\sqrt{\left( he_{1}\right) ^{2}+\left( he_{2}\right) ^{2}}\quad \because
he_{2}\not=0 \\
&=&\frac{he_{2}}{\left\vert h\right\vert \left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } \\
&=&\frac{h}{\left\vert h\right\vert }\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(h\rightarrow 0+\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}f\left( he_{1},he_{2}\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}
\left[ \frac{h}{\left\vert h\right\vert }\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left[ \frac{h}{h}\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left[ \frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\lim_{h\rightarrow 0+}\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } \\
&=&\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方で、\(h\rightarrow 0-\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0-}f\left( he_{1},he_{2}\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}
\left[ \frac{h}{\left\vert h\right\vert }\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left[ \frac{h}{-h}\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \quad \because h<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left[ -\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\right) \lim_{h\rightarrow 0+}\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\\
&=&\left( -\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\right) \cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となり両者は一致するため、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。他方で、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =f\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されました。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続であることが示されました。

【2の解答】\(f\)の点\(\left(0,0\right) \)における変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{x}\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h,0\right)
-f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0-0}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方、\(f\)の点\(\left(0,0\right) \)における変数\(y\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{y}\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0,0+h\right)
-f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \frac{h}{\left\vert h\right\vert }\sqrt{0^{2}+h^{2}}-0\right] \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{h^{2}}}{\left\vert h\right\vert } \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left\vert h\right\vert }{\left\vert
h\right\vert } \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。これらはいずれも有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( 0,0\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。

【3の解答】方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)の点\(\left( 0,0\right) \)における\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \left( 0,0\right) +h\left( e_{1},e_{2}\right) \right) -f\left(
0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) -f\left(
0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) -0}{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) }{h}
\end{eqnarray*}となります。まず、\(e_{2}=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},0\right) }{h}\quad \because
e_{2}=0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。続いて、\(e_{2}>0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert
he_{2}\right\vert }\sqrt{\left( he_{1}\right) ^{2}+\left( he_{2}\right) ^{2}}\quad \because e_{2}>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert h\right\vert
\left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert h\right\vert
e_{2}}\left\vert h\right\vert \sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\quad
\because e_{2}>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } \\
&=&\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\end{eqnarray*}となります。最後に、\(e_{2}<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert
he_{2}\right\vert }\sqrt{\left( he_{1}\right) ^{2}+\left( he_{2}\right) ^{2}}\quad \because e_{2}<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert h\right\vert
\left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert
h\right\vert e_{2}}\left\vert h\right\vert \sqrt{\left(
e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right) \quad \because e_{2}<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right) \\
&=&-\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\end{eqnarray*}となります。これらはいずれも有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において任意の方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、そこでの方向微分係数は、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } & \left( if\ e_{2}>0\right) \\
0 & \left( if\ e_{2}=0\right) \\
-\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } & \left( if\ e_{2}<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であることが明らかになりました。

【4の解答】仮に\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であるならば、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( 0,0\right) \)はそこでの勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( 0,0\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}と一致します。さらに全微分の定義より、このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{f\left(
h_{1},h_{2}\right) -f\left( 0,0\right) -\nabla f\left( 0,0\right) \cdot
\left( h_{1},h_{2}\right) }{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{f\left(
h_{1},h_{2}\right) -0-\left( 0,1\right) \cdot \left( h_{1},h_{2}\right) }{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{\frac{h_{2}}{\left\vert h_{2}\right\vert }\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}-h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{h_{2}\left( \frac{1}{\left\vert h_{2}\right\vert }\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}-1\right) }{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}=0
\end{equation*}が成り立つはずですが、実際にはこれは成り立ちません。実際、\(\mathbb{R} ^{2}\)の点を項とする以下の点列\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{n},\frac{1}{n}\right\}
\end{equation*}に注目したとき、この点列は\(n\rightarrow \infty \)の場合に点\(\left( 0,0\right) \)へ収束する一方、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left( \frac{1}{n}\right) \left( \frac{1}{\left\vert \frac{1}{n}\right\vert }\sqrt{\left( \frac{1}{n}\right)
^{2}+\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}}-1\right) }{\sqrt{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}}} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left( \sqrt{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{n}\right)
^{2}}-1\right) }{\sqrt{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}}}\quad \because n>0 \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{n}{\sqrt{2}}\right) \\
&=&1-\infty \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるからです。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能でないことが示されました。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
OTHER PROBLEMS

過去の出題

【挑戦問題】最大整数関数の微分

プレミアム会員向けの挑戦問題です。入力した実数に対して、それを超えない最大の整数を返す関数の導関数を求める計算問題です。回答提出期限は【2021年3月7日】です。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録