問題
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{y}{\left\vert y\right\vert }\sqrt{x^{2}+y^{2}} & \left( if\
y\not=0\right) \\
0 & \left( if\ y=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき以下の主張が正しいかどうか、それぞれ理由とともに答えてください。
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結果
| 回答者 | 正解者 |
| 6名 | 2名 |
解答
【1の解答】連続性の定義より、方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}f\left( \left( 0,0\right) +h\left( e_{1},e_{2}\right)
\right) =f\left( 0,0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =f\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標になります。\(e_{2}=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f\left( he_{1},he_{2}\right) &=&f\left( he_{1},0\right) \quad \because
e_{2}=0 \\
&=&0\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =\lim_{h\rightarrow 0}0=0
\end{equation*}が成り立ちます。他方で、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =f\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されました。\(e_{2}\not=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f\left( he_{1},he_{2}\right) &=&\frac{he_{2}}{\left\vert he_{2}\right\vert }\sqrt{\left( he_{1}\right) ^{2}+\left( he_{2}\right) ^{2}}\quad \because
he_{2}\not=0 \\
&=&\frac{he_{2}}{\left\vert h\right\vert \left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } \\
&=&\frac{h}{\left\vert h\right\vert }\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(h\rightarrow 0+\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}f\left( he_{1},he_{2}\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}
\left[ \frac{h}{\left\vert h\right\vert }\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left[ \frac{h}{h}\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right]
\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left[ \frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\lim_{h\rightarrow 0+}\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } \\
&=&\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方で、\(h\rightarrow 0-\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0-}f\left( he_{1},he_{2}\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}
\left[ \frac{h}{\left\vert h\right\vert }\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left[ \frac{h}{-h}\frac{e_{2}}{\left\vert
e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right]
\quad \because h<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left[ -\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\right) \lim_{h\rightarrow 0+}\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\\
&=&\left( -\frac{e_{2}}{\left\vert e_{2}\right\vert }\right) \cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となり両者は一致するため、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。他方で、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}f\left( he_{1},he_{2}\right) =f\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されました。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続であることが示されました。
【2の解答】\(f\)の点\(\left(0,0\right) \)における変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{x}\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h,0\right)
-f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0-0}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方、\(f\)の点\(\left(0,0\right) \)における変数\(y\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{y}\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0,0+h\right)
-f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \frac{h}{\left\vert h\right\vert }\sqrt{0^{2}+h^{2}}-0\right] \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{h^{2}}}{\left\vert h\right\vert } \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left\vert h\right\vert }{\left\vert
h\right\vert } \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。これらはいずれも有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( 0,0\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
【3の解答】方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)の点\(\left( 0,0\right) \)における\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \left( 0,0\right) +h\left( e_{1},e_{2}\right) \right) -f\left(
0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) -f\left(
0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) -0}{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) }{h}
\end{eqnarray*}となります。まず、\(e_{2}=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},0\right) }{h}\quad \because
e_{2}=0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。続いて、\(e_{2}>0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert
he_{2}\right\vert }\sqrt{\left( he_{1}\right) ^{2}+\left( he_{2}\right) ^{2}}\quad \because e_{2}>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert h\right\vert
\left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert h\right\vert
e_{2}}\left\vert h\right\vert \sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\quad
\because e_{2}>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } \\
&=&\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\end{eqnarray*}となります。最後に、\(e_{2}<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert
he_{2}\right\vert }\sqrt{\left( he_{1}\right) ^{2}+\left( he_{2}\right) ^{2}}\quad \because e_{2}<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert h\right\vert
\left\vert e_{2}\right\vert }\sqrt{h^{2}\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{h}\frac{he_{2}}{\left\vert
h\right\vert e_{2}}\left\vert h\right\vert \sqrt{\left(
e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right) \quad \because e_{2}<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }\right) \\
&=&-\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) }
\end{eqnarray*}となります。これらはいずれも有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において任意の方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、そこでの方向微分係数は、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } & \left( if\ e_{2}>0\right) \\
0 & \left( if\ e_{2}=0\right) \\
-\sqrt{\left( e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) } & \left( if\ e_{2}<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であることが明らかになりました。
【4の解答】仮に\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であるならば、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( 0,0\right) \)はそこでの勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( 0,0\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}と一致します。さらに全微分の定義より、このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{f\left(
h_{1},h_{2}\right) -f\left( 0,0\right) -\nabla f\left( 0,0\right) \cdot
\left( h_{1},h_{2}\right) }{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{f\left(
h_{1},h_{2}\right) -0-\left( 0,1\right) \cdot \left( h_{1},h_{2}\right) }{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{\frac{h_{2}}{\left\vert h_{2}\right\vert }\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}-h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{h_{2}\left( \frac{1}{\left\vert h_{2}\right\vert }\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}-1\right) }{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}=0
\end{equation*}が成り立つはずですが、実際にはこれは成り立ちません。実際、\(\mathbb{R} ^{2}\)の点を項とする以下の点列\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{n},\frac{1}{n}\right\}
\end{equation*}に注目したとき、この点列は\(n\rightarrow \infty \)の場合に点\(\left( 0,0\right) \)へ収束する一方、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left( \frac{1}{n}\right) \left( \frac{1}{\left\vert \frac{1}{n}\right\vert }\sqrt{\left( \frac{1}{n}\right)
^{2}+\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}}-1\right) }{\sqrt{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}}} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left( \sqrt{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{n}\right)
^{2}}-1\right) }{\sqrt{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}}}\quad \because n>0 \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{n}{\sqrt{2}}\right) \\
&=&1-\infty \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるからです。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能でないことが示されました。
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