半順序と狭義半順序の関係

半順序と狭義順序（復習）

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}であるとともに、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in R
\end{equation*}を満たすものとして記号\(R\left( x,y\right) \)の意味を定義するということです。このとき、\begin{equation*}\lnot R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \not\in R
\end{equation*}という関係もまた成立することに注意してください。

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が半順序であることとは、\(R\)が反射律と反対称律と推移律を満たすことを意味します。つまり、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall x\in A:R\left( x,x\right) \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ \left( R\left( x,y\right)
\wedge R\left( y,x\right) \right) \Rightarrow x=y\right] \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( R\left( x,y\right)
\wedge R\left( y,z\right) \right) \Rightarrow R\left( x,z\right) \right] \end{eqnarray*}が成り立つことを認める場合、\(R\)を半順序と呼びます。多くの場合、半順序を表す記号として\(\leq \)を採用します。つまり、集合\(A\)上の半順序\(R\)が与えられたとき、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}x\leq y\Leftrightarrow R\left( x,y\right)
\end{equation*}を満たすものとして記号\(x\leq y\)の意味を定義するということです。この場合、\begin{equation*}\lnot \left( x\leq y\right) \Leftrightarrow \lnot R\left( x,y\right)
\end{equation*}という関係もまた成立します。半順序を表す記号\(\leq \)を用いて反射律と反対称律と推移律を改めて表現すると、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall x\in A:x\leq x \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq
x\right) \Rightarrow x=y\right] \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq
z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \end{eqnarray*}となります。

一方、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が狭義半順序であることとは、\(R\)が非対称律と推移律を満たすことを意味します。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right)
\Rightarrow \lnot R\left( y,x\right) \right] \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( R\left( x,y\right)
\wedge R\left( y,z\right) \right) \Rightarrow R\left( x,z\right) \right] \end{eqnarray*}が成り立つことを認める場合、\(R\)を狭義半順序と呼びます。多くの場合、狭義半順序を表す記号として\(<\)を採用します。つまり、集合\(A\)上の狭義半順序\(R\)が与えられたとき、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow R\left( x,y\right)
\end{equation*}を満たすものとして記号\(x<y\)の意味を定義するということです。この場合、\begin{equation*}\lnot \left( x<y\right) \Leftrightarrow \lnot R\left( x,y\right)
\end{equation*}という関係もまた成立します。狭義半順序を表す記号\(<\)を用いて非対称律と推移律を改めて表現すると、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ x<y\Rightarrow \lnot \left(
y<x\right) \right] \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( x<y\wedge
y<z\right) \Rightarrow x<z\right] \end{eqnarray*}となります。

半順序と狭義半順序の間には深い関係があります。具体的には、集合\(A\)の半順序が与えられれば、それを用いて集合\(A\)上の狭義半順序を生成することができます。逆に、集合\(A\)の狭義半順序が与えられれば、それを用いて集合\(A\)上の半順序を生成することができます。順番に解説します。

半順序から生成される狭義半順序

集合\(A\)上の半順序\(\leq \)を任意に選びます。つまり、\(\leq \)は反射律と反対称律に加えて推移律を満たすということ、具体的には、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall x\in A:x\leq x \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq
x\right) \Rightarrow x=y\right] \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq
z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \end{eqnarray*}が成り立つということです。このとき、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(R\)を新たに定義します。つまり、2つの要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、半順序\(\leq \)のもとで\(x\leq y\)と\(x\not=y\)がともに成り立つ場合、そしてその場合にのみ新たな二項関係\(R\)のもとで\(R\left( x,y\right) \)が成り立つものと定義するということです。この場合、\begin{eqnarray*}\lnot R\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( x\leq y\wedge
x\not=y\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x\leq y\right) \vee \lnot \left(
x\not=y\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x\leq y\right) \vee x=y
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lnot R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \lnot \left( x\leq y\right) \vee x=y
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、2つの要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、半順序\(\leq \)のもとで\(\lnot \left( x\leq y\right) \)または\(x=y\)の少なくとも一方が成り立つ場合、そしてその場合にのみ新たな二項関係\(R\)のもとで\(\lnot R\left( x,y\right) \)が成り立ちます（\(R\left( x,y\right) \)が成り立たない）。

集合\(A\)上の半順序\(\leq \)を用いて新たな二項関係\(R\)を上のように定義した場合、この新たな二項関係\(R\)は集合\(A\)上の狭義半順序になることが保証されます。つまり、\(R\)は非対称律と推移律を満たすことが示されるということです。具体的には、\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right)
\Rightarrow \lnot R\left( y,x\right) \right] \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( R\left( x,y\right)
\wedge R\left( y,z\right) \right) \Rightarrow R\left( x,z\right) \right] \end{eqnarray*}がともに成り立つということです。

狭義半順序から生成される半順序

半順序が与えられればそれを用いることにより狭義半順序を生成できることが明らかになりました。それとは逆に、狭義半順序から半順序を生成することもできます。具体的には以下の通りです。

集合\(A\)上の狭義半順序\(<\)を任意に選びます。つまり、\(<\)は非対称律と推移律を満たすということ、具体的には、\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ x<y\Rightarrow \lnot \left(
y<x\right) \right] \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( x<y\wedge
y<z\right) \Rightarrow x<z\right] \end{eqnarray*}が成り立つということです。このとき、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x<y\vee x=y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(R\)を新たに定義します。つまり、2つの要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、狭義半順序\(<\)のもとで\(x<y\)または\(x=y\)の少なくとも一方が成り立つ場合、そしてその場合にのみ新たな二項関係\(R\)のもとで\(R\left( x,y\right) \)が成り立つものと定義するということです。この場合、\begin{eqnarray*}\lnot R\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( x<y\vee x=y\right)
\quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x<y\right) \wedge \lnot \left( x=y\right)
\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x<y\right) \wedge x\not=y
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lnot R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \lnot \left( x<y\right) \wedge
x\not=y
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、2つの要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、狭義半順序\(<\)のもとで\(\lnot \left( x<y\right) \)と\(x\not=y\)がともに成り立つ場合、そしてその場合にのみ新たな二項関係\(R\)のもとで\(\lnot R\left( x,y\right) \)が成り立ちます（\(R\left( x,y\right) \)が成り立たない）。

集合\(A\)上の狭義半順序\(<\)を用いて新たな二項関係\(R\)を上のように定義した場合、この新たな二項関係\(R\)は集合\(A\)上の半順序になることが保証されます。つまり、\(R\)は反射律と反対称律に加えて推移律を満たすことが示されるということです。具体的には、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall x\in A:R\left( x,x\right) \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ \left( R\left( x,y\right)
\wedge R\left( y,x\right) \right) \Rightarrow x=y\right] \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( R\left( x,y\right)
\wedge R\left( y,z\right) \right) \Rightarrow R\left( x,z\right) \right] \end{eqnarray*}がすべて成り立つということです。

半順序と狭義半順序の関係

以上の2つの命題より、集合\(A\)上の半順序\(\leq \)から狭義半順序\(<\)を生成したり、逆に、狭義半順序\(<\)から半順序\(\leq \)を生成できることが明らかになりました。したがって、半順序や狭義半順序について考える際には、どちらを先に定義しても問題はありません。多くの場合、半順序\(\leq \)を先に定義し、そこから間接的に狭義半順序\(<\)を定義するアプローチを採用します。つまり、集合\(A\)上の半順序\(\leq \)が与えられたとき、そこから、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(<\)を定義するということです。先の命題より、このように定義された\(<\)は\(A\)上の狭義半順序になるため、これを\(<\)で表記しても問題はありません。先に示したように、この場合、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}x\leq y\Leftrightarrow \left( x<y\vee x=y\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。加えて、以下の命題が成り立ちます。

集合\(A\)上の二項関係\(\leq \)が与えられたとき、2つの要素\(x,y\in A\)を任意に選ぶと、\(x\leq y\)と\(y\leq x\)の真理値表の組み合わせに応じて論理的には上の真理値表にあるような\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)までの4通りの場合が起こり得ます。\(\left( a\right) \)は\(x\)と\(y\)が等しい場合、\(\left( b\right) \)は\(x\)が\(y\)より小さい場合、\(\left( c\right) \)は\(y\)が\(x\)より小さい場合に相当する一方で、\(\left( d\right) \)では\(x\)と\(y\)の関係に関する情報が存在せず、この場合にはそもそも\(x\)と\(y\)を比較することができません。

半順序と狭義半順序に関する推移律

半順序や狭義半順序はそれぞれ推移律を満たしますが、両者の間にも以下が成り立ちます。