確認テスト I（順序集合）

以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}
\end{equation*}上に定義された二項関係\begin{equation*}
R\subset A\times A
\end{equation*}の隣接行列が、\begin{equation*}
M_{R}=\left( m_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}であるものとします。\(R\)が半順序であることを示してください。

以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ 2,3,4,6,8,10\right\}
\end{equation*}上に整除関係\(|\)を定義すれば、\begin{equation*}\left( A,|\right)
\end{equation*}は半順序集合になります。\(|\)の隣接行列\begin{equation*}M_{|}
\end{equation*}を明らかにしてください。

集合\(A\)上の二項関係\begin{eqnarray*}R &\subset &A\times A \\
S &\subset &A\times A
\end{eqnarray*}がともに\(A\)上の半順序であるものとします。この場合、\begin{equation*}R\cap S\subset A\times A
\end{equation*}もまた\(A\)上の半順序であることを証明してください。

集合\(A\)上の二項関係\begin{eqnarray*}R &\subset &A\times A \\
S &\subset &A\times A
\end{eqnarray*}がともに\(A\)上の半順序であるものとします。この場合、\begin{equation*}R\cup S\subset A\times A
\end{equation*}は\(A\)上の半順序であるとは限らないことを示す反例を挙げてください。

包含関係\(\subset \)は半順序であるため、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( \left\{ \phi ,\left\{ a\right\} ,\left\{
b,a\right\} ,\left\{ d,a,b\right\} ,\left\{ f,d,b,a\right\} \right\}
,\subset \right) \\
&&\left( b\right) \ \left( \left\{ \phi ,\left\{ a\right\} ,\left\{
a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} ,\subset
\right)
\end{eqnarray*}はいずれも半順序集合です。では、これらは全順序集合でしょうか。それぞれについて理由とともに答えてください。（各5点）

以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ 2,3,4,5,8,10,12,24,30\right\}
\end{equation*}上に整除関係\(|\)を定義すれば、\begin{equation*}\left( A,|\right)
\end{equation*}は半順序集合になります。以下の問いに答えてください。（各5点）

1. \(A\)の極大元を求めてください。
2. \(A\)の極小元を求めてください。
3. \(A\)の最大元を求めてください。
4. \(A\)の最小元を求めてください。
5. 集合\(\left\{ 8,12\right\} \)の上界を求めてください。
6. 集合\(\left\{ 8,12\right\} \)の下界を求めてください。
7. 集合\(\left\{ 4,8\right\} \)の上限を求めてください。
8. 集合\(\left\{ 4,8\right\} \)の下限を求めてください。