最大化問題の最適選択関数と価値関数
変数\(x\in X\subset \mathbb{R} \)とパラメータ\(t\in T\subset \mathbb{R} \)に関する関数\begin{equation*}f:X\times T\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられている状況を想定します。パラメータの値\(t\)を具体的に選んだ上で関数\(f\)に代入すると、変数\(x\)に関する1変数関数\begin{equation*}f\left( \cdot ,t\right) :X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られるため、この1変数関数を目的関数とする最大化問題\begin{equation}
\max_{x\in X}f\left( x,t\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義できます。つまり、パラメータ\(t\)の値を選び固定した上で、関数\(f\left( \cdot ,t\right) \)の値を最大化するような変数\(x\)の値を特定するということです。
パラメータ\(t\)の値が変化すれば目的関数\(f\left(\cdot ,t\right) \)の形状も変化するため、それに応じて最大化問題\(\left( 1\right) \)およびその解も変化し、その解のもとでの関数\(f\left( \cdot ,t\right) \)の最大値も変化します。さて、パラメータのそれぞれの値\(t\)に対して、最大化問題\(\left( 1\right) \)に解が必ず1つずつ存在する状況を想定するのであれば、それぞれの値\(t\in T\)に対して、最大化問題\(\left( 1\right) \)の解を特定する関数\begin{equation*}x^{\ast }:T\rightarrow X
\end{equation*}が定義可能です。つまり、この関数\(x^{\ast }\)がそれぞれの\(t\in T\)に対して定める値\(x^{\ast }\left( t\right) \in X\)は最大化問題\(\left( 1\right) \)の解であるため、以下の関係\begin{equation*}f\left( x^{\ast }\left( t\right) ,t\right) =\max_{x\in X}f\left( x,t\right)
\end{equation*}が成り立ちます。この関数\(x^{\ast }\)を最適選択関数（optimal choice function）と呼びます。さらにこのとき、それぞれの値\(t\in T\)に対して、最大化問題\(\left( 1\right) \)の解\(x^{\ast }\left(t\right) \)のもとでの関数\(f\left(\cdot ,t\right) \)の値の最大値\begin{equation*}V\left( t\right) =f\left( x^{\ast }\left( t\right) ,t\right) =\max_{x\in
X}f\left( x,t\right)
\end{equation*}を特定する関数\begin{equation*}
V:T\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数\(V\)を価値関数（value function）と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。パラメータの値\(t\in \mathbb{R} \)のもとでの最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} }f\left( x,t\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} }-x^{2}+tx
\end{equation*}です。目的関数\(f\left( \cdot,t\right) \)の導関数および2階の導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{df\left( x,t\right) }{dx} &=&-2x+t \\
\frac{d^{2}f\left( x,t\right) }{d^{2}x} &=&-2<0
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\frac{df\left( x,t\right) }{dx}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-2x+t=0
\end{equation*}を満たす\(x\)が最大化問題\(\left( 1\right) \)の解です。これを解くことにより、\begin{equation*}x=\frac{t}{2}
\end{equation*}を得ます。任意の値\(t\in \mathbb{R} \)について同様の議論が成立するため、最適選択関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( t\right) =\frac{t}{2}
\end{equation*}を定めるとともに、価値関数\(V:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}V\left( t\right) &=&f\left( x^{\ast }\left( t\right) ,t\right) \\
&=&-\left[ x^{\ast }\left( t\right) \right] ^{2}+tx^{\ast }\left( t\right)
\\
&=&-\frac{t^{2}}{4}+\frac{t^{2}}{2} \\
&=&\frac{t^{2}}{4}
\end{eqnarray*}を定めることが明らかになりました。
\end{equation*}として定式化されます。企業は商品の販売価格\(p\)を自由に選べない一方で、生産量\(q\)を自由に選べるものとします。つまり、企業にとって生産量\(q\)が変数であり、販売価格\(p\)はパラメータです。企業は利潤の最大化を目指すのであれば、市場価格\(p\in \mathbb{R} _{++}\)に直面した場合に解くべき問題は、目的関数が\(\pi \left( \cdot ,p\right) \)であるような最大化問題\begin{equation*}\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}\pi \left( q,p\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}pq-C\left( q\right)
\end{equation*}として定式化されます。最適選択関数\(q^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの値\(p\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\(q^{\ast }\left( p\right) \)は、企業が販売価格\(p\)に直面した場合に選ぶべき最適な生産量であり、\begin{equation*}pq^{\ast }\left( p\right) -C\left( q^{\ast }\left( p\right) \right)
=\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}pq-C\left( q\right)
\end{equation*}を満たします。また、価値関数\(V:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの値\(p\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値は、最適な生産量\(q^{\ast}\left( p\right) \)を選択した場合に企業が得る最大化された利潤であり、\begin{equation*}V\left( p\right) =pq^{\ast }\left( p\right) -C\left( q^{\ast }\left(
p\right) \right) =\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}pq-C\left( q\right)
\end{equation*}を満たします。
包絡線定理が必要とされる背景
パラメータのそれぞれの値\(t\in T\)に対して、最大化問題\begin{equation}\max_{x\in X}f\left( x,t\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}に解が1つずつ存在する状況を想定します。この場合、それぞれの値\(t\)に対して\(\left( 1\right) \)を解くだけではなく、パラメータの値\(t\)の変化に応じて\(\left( 1\right) \)の解がどのように変化し、それに伴い\(\left( 1\right) \)の目的関数の最大値がどのように変化するかを分析することも重要な課題になります。具体的には、パラメータの値が\(t\in T\)である場合の\(\left( 1\right) \)の目的関数の最大値は価値関数\(V:T\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}V\left( t\right) =\max_{x\in X}f\left( x,t\right)
\end{equation*}と表されるため、価値関数\(V\)の微分係数\(\frac{dV\left( t\right) }{dt}\)や導関数\(\frac{dV}{dt}\)を特定すれば目標は達成されます。
価値関数\(V\)の微分係数や導関数を特定するためにはそれに先立ち価値関数\(V\)を特定する必要があります。具体的には、価値関数\(V\)と最適選択関数\(x^{\ast }\)の間には以下の関係\begin{equation*}\forall t\in T:V\left( t\right) =f\left( x^{\ast }\left( t\right) ,t\right)
\end{equation*}が成り立つため、最大化問題\(\left( 1\right) \)を解いた上で最適選択関数\(x^{\ast }\)を特定し、それを目的関数\(f\left( x,t\right) \)に代入すれば価値関数\(V\)を特定できます。ただ、このような作業を実際に行うのは面倒です。このような作業を経由せずに、価値関数\(V\)の微分係数や導関数を直接特定できればより望ましいと言えます。ここで役に立つのが包絡線定理（envelope theorem）です。
\end{equation*}を定めるものとします。パラメータの値\(t\in \mathbb{R} \)のもとでの最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} }f\left( x,t\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} }-x^{2}+tx
\end{equation*}です。先に明らかにしたように、最適選択関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( t\right) =\frac{t}{2}
\end{equation*}を定め、価値関数\(V:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}V\left( t\right) =\frac{t^{2}}{4}
\end{equation*}を定めます。したがって、価値関数\(V\)は微分可能であり、導関数\(\frac{dV}{dt}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\frac{dV\left( t\right) }{dt}=\frac{t}{2}
\end{equation*}を定めます。ただし、包絡線定理を使えば、価値関数\(V\)を具体的に特定することなく微分\(\frac{dv}{dt}\)を直接特定できます。
\end{equation*}です。市場価格\(p\in \mathbb{R} _{++}\)に直面した場合の利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}\pi \left( q,p\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}pq-C\left( q\right)
\end{equation*}です。最適選択関数\(q^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの値\(p\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\(q^{\ast }\left( p\right) \)は、企業が販売価格\(p\)に直面した場合に選ぶべき最適な生産量であり、\begin{equation*}pq^{\ast }\left( p\right) -C\left( q^{\ast }\left( p\right) \right)
=\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}pq-C\left( q\right)
\end{equation*}を満たします。また、価値関数\(V:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの値\(p\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値は、最適な生産量\(q^{\ast}\left( p\right) \)を選択した場合に企業が得る最大化された利潤であり、\begin{equation*}V\left( p\right) =pq^{\ast }\left( p\right) -C\left( q^{\ast }\left(
p\right) \right) =\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}pq-C\left( q\right)
\end{equation*}を満たします。価値関数\(V\)が微分可能である場合、導関数\(\frac{dV}{dp}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が定める値は、企業による利潤最大化を前提とした上での、市場価格\(p\)が変化した場合の利潤の変化を表します。ただし、包絡線定理を使えば、価値関数\(V\)を具体的に特定することなく微分\(\frac{dv}{dp}\)を直接特定できます。
包絡線定理
パラメータのそれぞれの値\(t\in T\)に対して、最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in X}f\left( x,t\right)
\end{equation*}に解が1つずつ存在する状況を想定します。このとき、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in T:V\left( t\right) =f\left( x^{\ast }\left( t\right) ,t\right)
\end{equation*}が成り立つため、価値関数\(V\)の微分を考える代わりに関数\(f\left( x^{\ast}\left( t\right) ,t\right) \)の微分について考えることができます。
関数\(f\left( x^{\ast }\left( t\right) ,t\right) \)は1変数のベクトル値関数\(\left( x^{\ast }\left( t\right) ,t\right) \)と2変数の実数値関数\(f\left( x,t\right) \)の合成関数であるため、ベクトル値関数\(\left(x^{\ast }\left( t\right) ,t\right) \)が微分可能であり、2変数関数\(f\left(x,t\right) \)が全微分可能である場合には合成関数の微分を用いて関数\(f\left( x^{\ast }\left( t\right) ,t\right) \)の微分を特定できます。具体的には以下の通りです。
\end{equation*}に解が1つずつ存在するものとする。この場合、最適選択関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} \supset T\rightarrow X\)および価値関数\(V:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。関数\(x^{\ast }\)が内点\(t_{0}\in T\)において微分可能であり、関数\(f\)が点\(\left( x^{\ast }\left(t_{0}\right) ,t_{0}\right) \)において全微分可能であるならば、以下の関係\begin{equation*}\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}=\left. \frac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}\right\vert _{\left( x,t\right) =\left( x^{\ast }\left(
t_{0}\right) ,t_{0}\right) }
\end{equation*}が成り立つ。
通常、価値関数\(V\)の微分係数\(\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}\)を求めるためには、最適選択関数\(x^{\ast }\)を特定した上で、以下の関係\begin{equation*}\forall t\in T:V\left( t\right) =f\left( x^{\ast }\left( t\right) ,t\right)
\end{equation*}を用いて価値関数\(V\)を特定し、さらにそれを変数\(t\)について微分することになります。一方、包絡線定理が要求する条件が満たされる場合には、\begin{equation*}\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}=\left. \frac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}\right\vert _{\left( x,t\right) =\left( x^{\ast }\left(
t_{0}\right) ,t_{0}\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つため、この場合、\(\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}\)を求めるために価値関数\(V\)を特定する必要はなく、目的関数\(f\left( x,t\right) \)をパラメータ\(t\)について偏微分して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}
\end{equation*}を得た上で、それを最適解\begin{equation*}
\left( x,t\right) =\left( x^{\ast }\left( t_{0}\right) ,t_{0}\right)
\end{equation*}で評価して、\begin{equation*}
\left. \frac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}\right\vert _{\left(
x,t\right) =\left( x^{\ast }\left( t_{0}\right) ,t_{0}\right) }
\end{equation*}を特定すれば目標は達成されます。
\end{equation*}に解が1つずつ存在するものとします。この場合、最適選択関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} \supset T\rightarrow X\)および価値関数\(V:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(x^{\ast }\)が\(T\)上で微分可能であり、関数\(f\)が\(X\times T\)上で全微分可能であるならば、先の命題より、以下の関係\begin{equation*}\frac{dV\left( t\right) }{dt}=\left. \frac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}\right\vert _{x=x^{\ast }\left( t\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。パラメータの値\(t\in \mathbb{R} \)のもとでの最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} }f\left( x,t\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} }-x^{2}+tx
\end{equation*}です。先に明らかにしたように、最適選択関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( t\right) =\frac{t}{2}
\end{equation*}を定め、価値関数\(V:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}V\left( t\right) =\frac{t^{2}}{4}
\end{equation*}を定めます。したがって、価値関数\(V\)は微分可能であり、導関数\(\frac{dV}{dt}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\frac{dV\left( t\right) }{dt}=\frac{t}{2}
\end{equation*}を定めます。同じことを包絡線定理を用いて導きます。目的関数\(f\left( x,t\right) \)をパラメータ\(t\)について偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t} &=&\frac{\partial }{\partial
t}\left( -x^{2}+tx\right) \\
&=&x
\end{eqnarray*}となるため、包絡線定理より、\begin{eqnarray*}
\frac{dV\left( t\right) }{dt} &=&\left. \frac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}\right\vert _{x=x^{\ast }\left( t\right) } \\
&=&\left. x\right\vert _{x=x^{\ast }\left( t\right) } \\
&=&x^{\ast }\left( t\right) \\
&=&\frac{t}{2}
\end{eqnarray*}となり、先と同じ結果が得られました。
\end{equation*}です。市場価格\(p\in \mathbb{R} _{++}\)に直面した場合の利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}\pi \left( q,p\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}pq-C\left( q\right)
\end{equation*}です。最適選択関数\(q^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの値\(p\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\(q^{\ast }\left( p\right) \)は、企業が販売価格\(p\)に直面した場合に選ぶべき最適な生産量であり、\begin{equation*}pq^{\ast }\left( p\right) -C\left( q^{\ast }\left( p\right) \right)
=\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}pq-C\left( q\right)
\end{equation*}を満たします。また、価値関数\(V:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの値\(p\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値は、最適な生産量\(q^{\ast}\left( p\right) \)を選択した場合に企業が得る最大化された利潤であり、\begin{equation*}V\left( p\right) =pq^{\ast }\left( p\right) -C\left( q^{\ast }\left(
p\right) \right) =\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}pq-C\left( q\right)
\end{equation*}を満たします。包絡線定理が要求する条件が満たされる場合、\begin{eqnarray*}
\frac{dV\left( p\right) }{dp} &=&\left. \frac{\partial \pi \left( q,p\right)
}{\partial p}\right\vert _{q=q^{\ast }\left( p\right) } \\
&=&\left. \frac{\partial }{\partial p}\left[ pq-C\left( q\right) \right] \right\vert _{q=q^{\ast }\left( p\right) } \\
&=&\left. q\right\vert _{q=q^{\ast }\left( p\right) } \\
&=&q^{\ast }\left( p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。パラメータの値\(t\in \mathbb{R} \)のもとでの最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} }f\left( x,t\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} }t-\left( x-t\right) ^{2}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- 最適選択関数\(x^{\ast }\)を求めてください。
- 価値関数\(V\)を求めてください。
- 価値関数\(V\)を微分して導関数を特定してください。
- 包絡線定理を用いて価値関数\(V\)の導関数を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。パラメータの値\(t\in \mathbb{R} \)のもとでの最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} }f\left( x,t\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} }t-\left( x-t\right) ^{2}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- 最適選択関数\(x^{\ast }\)を求めてください。
- 価値関数\(V\)を求めてください。
- 価値関数\(V\)を微分して導関数を特定してください。
- 包絡線定理を用いて価値関数\(V\)の導関数を特定してください。
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