距離空間における有界集合
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が与えられたとき、その直径を、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\}
\end{equation*}と定義します。その上で、集合\(A\subset X\)の直径が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}d\left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)は\(X\)において有界である（bounded）と言います。一方、集合\(A\subset X\)の直径が有限な実数として定まらない場合には、すなわち、\begin{equation*}d\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)は\(X\)において有界ではない（unbounded）と言います。
空集合\(\phi \)の直径に関しては、便宜上、\begin{equation*}d\left( \phi \right) =-\infty
\end{equation*}と定めますが、空集合\(\phi \)は有界であるものと定めます。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}の直径は、\begin{eqnarray*}
d\left( A\right) &=&\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} \\
&=&\sup \left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,3\right) \right\} \\
&=&[0,3) \\
&=&3
\end{eqnarray*}ですが、これが有限な実数であるため\(A\)は有界です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。空ではない部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(A\)が1点集合である場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。\(A\)が複数の要素を持つ場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0,1\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。いずれの場合にも\(A\)の直径は有限な実数であるため、離散距離空間の任意の非空な部分集合は有界であることが明らかになりました。
距離空間の部分集合は有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}A=[0,+\infty )
\end{equation*}の直径は、\begin{eqnarray*}
d\left( A\right) &=&\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} \\
&=&\sup \left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \lbrack 0,+\infty )\right\} \\
&=&\sup [0,+\infty ) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}ですが、これは有限な実数ではないため\(A\)は有界ではありません。
距離を用いた有界性の表現
距離空間の非空な部分集合が有界であることを距離関数を用いて以下のように表現することもできます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
以上の命題より、距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることは、\(A\)の任意の2つの点の間の距離がある有限な実数以下であることと必要十分であることが明らかになりました。この条件を以下のように言い換えることもできます。
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
以上の命題より、距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることは、\(A\)の任意の点からの距離が有限な実数よりも小さくなるような\(X\)の点が存在することと必要十分であることが明らかになりました。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}に注目すると、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} &=&\left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,3\right) \right\} \\
&=&[0,3)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\exists 3>0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <3
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より\(A\)は有界です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists 2>0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <2
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(A\)は有界です。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}A=[0,+\infty )
\end{equation*}に注目すると、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} &=&\left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \lbrack 0,+\infty )\right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <\varepsilon
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(A\)は有界ではありません。
点の近傍を用いた有界性の表現
距離空間\(X\)の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍（neighborhood of \(a\)）や開近傍（open neighborhoodof \(a\)）などと呼びます。また、\(a\)を近傍の中心（center）と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径（radius）と呼びます。距離関数\(d\)の対称性より、任意の\(a,x\in X\)について、\begin{equation*}d\left( x,a\right) =d\left( a,x\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(a\in X\)が中心であり半径が\(\varepsilon >0\)であるような近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( a,x\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
距離空間の非空な部分集合が有界であることを点の近傍を用いて以下のように表現することもできます。
x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。ただし、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ d\left( x,y\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}である。
上の命題より、距離空間\(X\)の非空な部分集合が有界であることは、\(X\)上の何らかの点を中心とする何らかの近傍によって\(A\)が覆われることと必要十分であることが明らかになりました。ただ、実際には、\(X\)上の点を適当に選んだ上で、その点を中心とする近傍だけを候補とすれば十分です。つまり以下の命題が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。ただし、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}である。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}に注目します。以下の近傍\begin{eqnarray*}
N_{3}\left( 1\right) &=&\left( 1-3,1+3\right) \\
&=&\left( -2,4\right)
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{equation*}
A\subset N_{3}\left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(A\)は有界です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、点\(a\in A\)を適当に選び、以下の近傍\begin{equation*}N_{2}\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( a,x\right) <2\right\}
\end{equation*}を構成します。このとき、任意の\(y\in A\)について、\(d\)の定義より\(d\left(a,y\right) <2\)すなわち\(y\in N_{2}\left( a\right) \)が成り立つため、\begin{equation*}A\subset N_{2}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(A\)は有界です。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}A=[0,+\infty )
\end{equation*}に注目します。\(x\in \mathbb{R} \)と\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}について、\begin{equation*}
A\subset N_{\varepsilon }\left( x\right)
\end{equation*}は成り立たないため、\(A\)は有界ではありません。
距離空間における全有界集合
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:A\subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)は\(X\)上において全有界（totally bounded）であるとかプレコンパクト（precompact）であるなどと言います。つまり、\(A\)が全有界であることとは、正の実数\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、半径がいずれも\(\varepsilon \)であるような有限個の近傍によって\(A\)を必ず覆うことができることを意味します。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}に注目します。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して有限個の近傍\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( 0\right) &=&\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)
\\
N_{\varepsilon }\left( \frac{\varepsilon }{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\varepsilon ,\frac{3}{2}\varepsilon \right) \\
N_{\varepsilon }\left( \varepsilon \right) &=&\left( 0,2\varepsilon \right)
\\
&&\vdots \\
N_{\varepsilon }\left( 3-\frac{\varepsilon }{2}\right) &=&\left( 3-\frac{3}{2}\varepsilon ,3+\frac{1}{2}\varepsilon \right) \\
N_{\varepsilon }\left( 3\right) &=&\left( 3-\varepsilon ,3+\varepsilon
\right)
\end{eqnarray*}を構成すると、これらの近傍の和集合は\(\left( -\varepsilon ,3+\varepsilon \right) \)と一致し、さらに\(\left( 0,3\right) \subset \left(-\varepsilon ,3+\varepsilon \right) \)すなわち\(\left(0,3\right) \subset A\)が成り立つため\(A\)は全有界です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が無限集合である場合、\(A\)は全有界ではありません（演習問題）。
全有開な集合は有界
距離空間の非空な部分集合が全有界である場合、それは必ず有界です。
有開な集合は全有界であるとは限らない
距離空間の非空な部分集合が全有界である場合、それは有界であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、有界集合は全有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が無限集合である場合、先に示したように、\(A\)は有界である一方で全有界ではありません。
演習問題
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\left( 0,+\infty \right)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上において有界でしょうか。議論してください。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上において有界でしょうか。議論してください。
\end{equation*}もまた\(X\)上において有界であることを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が無限集合である場合、\(A\)は全有界ではないことを示してください。
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